Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comunicación

Presentación del tema: "Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comunicación"— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comunicación

2 Controladores y calibración
Para diseñar un controlador las especificaciones no deberían ser más estrictas de lo necesario. La posterior calibración del controlador ajustará su respuesta si hay cambios en el modelo inicial o en los elementos de la planta. El método para diseñar un sistema de control dependerá del tipo de sistema y cómo se presenten las especificaciones.

3 Controladores y calibración
Para sistemas con una entrada y una salida, el método más básico es el de estimación y modificación, en el que se diseña un modelo capaz de realizar la tarea adecuada. En otras ocasiones hay partes del sistema que no se pueden cambiar, sobre las que no se puede actuar, obligando a usar otros modos de modificar o compensar el sistema. Un primer paso en compensación es la variación de la ganancia en lazo abierto, pero este método no siempre es válido porque tiene limitaciones. En otros casos es necesario introducir redes de compensación.

4 Controladores y calibración Redes de compensación
Redes de compensación: dispositivos introducidos en el sistema para mejorar la estabilidad de un sistema de control. La compensación de sistemas de control se realiza mayoritariamente mediante una configuración fija en la que el controlador se colocará en un determinado punto del sistema, hablándose de compensación serie, realimentada, o mediante la realimentación de variables de estado, presentando cada una de ellas ventajas e inconvenientes.

5 Controladores y calibración Redes de compensación
Existen tres tipos de redes de compensación en función de las necesidades que se presenten: Redes de adelanto Redes de atraso Redes de atraso adelanto

6 Controladores y calibración Redes de compensación
Redes de adelanto de fase: son aquellas en las que la salida en estado estable presenta un adelanto de fase con respecto a la entrada. Mejoran la estabilidad del sistema sin variar la exactitud. Aumentan en una unidad el orden del sistema. El adelanto máximo de fase ɸm vendrá determinado por la tangente a la circunferencia y se producirá para La pendiente de la curva de transferencia es de 6 dB/oct.

7 Controladores y calibración Redes de compensación

8 Controladores y calibración Redes de compensación
Redes de atraso: si la salida en estado estable presenta un atraso con respecto a la entrada. Aumentan en una unidad el orden del sistema. Mejoran la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta transitoria. Incrementan en una unidad el orden del sistema. La pendiente de la curva de transferencia es de -6 dB/oct.

9 Controladores y calibración Redes de compensación

10 Controladores y calibración Redes de compensación
Redes de atraso-adelanto: son aquellas en las que aparecen tanto un atraso como un adelanto de fase, pero en regiones de frecuencia distintas. El atraso se produce en la zona de baja frecuencia y el adelanto en la zona de alta frecuencia. Aumentan en dos unidades el orden del sistema.

11 Controladores y calibración Redes de compensación

12 Controladores y calibración Reglas de calibración
Para la calibración de los sistemas de control se utilizan diversos métodos. Entre estos, los más utilizados son el método del lugar de las raíces y el método de la respuesta en frecuencia. Cada uno de estos métodos se aplicará de forma diferente si se utilizan redes de adelanto, atraso o adelanto-atraso.

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Método del lugar de las raíces: Se denomina lugar de las raíces al lugar geométrico de los polos de G(s) al variar el valor de la ganancia (u otro parámetro del sistema) desde cero hasta infinito o en un margen determinado. El método del lugar de raíces permite conocer cómo afecta la ganancia en lazo abierto en el comportamiento de un sistema realimentado (estabilidad, oscilaciones, velocidad cuando varia la ganancia). Normalmente se usa solo cuando hay especificaciones de respuesta transitoria.

14 Controladores y calibración Reglas de calibración
Método del lugar de las raíces: ejemplo

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Los polos en lazo cerrado se corresponden con las raíces de la ecuación característica, pero estos polos varían cuando varía la ganancia, por este motivo el cálculo debe repetirse para cualquier cambio en el valor de este parámetro. En 1948 W. R. Evans desarrolló un método para su cálculo que permite dibujar las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro. Se trata de conocer en qué lugar están los polos de la función de transferencia de un sistema en función de un parámetro, generalmente la ganancia. Mediante este método el diseñador puede conocer los efectos que tendrán sobre el sistema la ganancia o la adición de ceros y polos. Básicamente, para calibrar un sistema mediante este método, se vuelven a construir los lugares geométricos de las raíces mediante un compensador de tal forma que se puedan colocar polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada para que el sistema sea estable y cumpla las especificaciones requeridas. La adición de ceros al sistema desplaza los polos en lazo cerrado hacia la izquierda, haciendo el sistema más estable. La adición de polos en lazo abierto empeora la estabilidad al desplazar los polos ya existentes hacia la derecha . La determinación del lugar geométrico de las raíces es una tarea laboriosa. En la actualidad existen programas informáticos que permiten su determinación mediante una programación sencilla, por ejemplo el programa gratuito Scilab .

16 Controladores y calibración Reglas de calibración
Siendo un sistema realimentado tal que: para calcular los polos de la función de transferencia el denominador deberá igualarse a cero, con lo que

17 Controladores y calibración Reglas de calibración
Para dibujar el lugar geométrico de las raíces hay que seguir las siguientes reglas : 1.- El número de ramas es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto. 2.- Cada rama comienza en un polo (ks=0) y termina en un cero (ks=∞). Si el numero de ceros z es inferior al número de polos p, existirán p-z ceros en el infinito, hacia los que irán p-z ramas siguiendo p-z asíntotas. 3.- Los puntos del eje real con un número impar de polos y ceros a su derecha pertenecen al lugar geométrico de las raíces (ks>0), y si es par, al lugar inverso (ks<0), teniendo en cuenta que ambos lugares son simétricos con respecto al eje real . 4.- Las p-z asíntotas se cortan en el punto :

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5.- Los ángulos de las asíntotas con el eje real se obtienen mediante las expresiones : siendo q= 0,1,2,..., p-z Los ángulos de salida de los polos y llegada de los ceros se obtienen aplicando el criterio del argumento .

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7.- Los puntos de ruptura son aquellos donde los lugares geométricos entre dos polos dejan el eje real y vienen determinados por 8.- Los puntos de intersección de los lugares de las raíces con el eje imaginario se calculan aplicando el criterio de Routh a la ecuación característica, o bien sustituyendo s por jω en dicha ecuación y obteniendo los valores de ω y k, igualando partes real e imaginaria a cero. 9.- Se puede calcular la ganancia en cualquier punto del lugar de las raíces aplicando la expresión :

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Esta técnica puede adaptarse a otros parámetros diferentes a la ganancia . Una vez conocido el lugar de las raíces del sistema, se han de tener en cuenta las características de ξ y ωn de respuesta transitoria . Para que cumpla las especificaciones hay que ver si el lugar de las raíces pasa por los puntos definidos por estos parámetros y, si no lo hacen, hacerlos pasar. Este método solo se emplea cuando se tienen especificaciones de respuesta transitoria .

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Método de la respuesta en frecuencia: Con este método se analiza la respuesta del sistema ante una señal senoidal cuya frecuencia se varía en un determinado margen. Este método suministra información de la respuesta en frecuencia de la planta. Normalmente se usan los diagramas de Bode y las trazas de Nyquist.

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A partir de los diagramas en función de la frecuencia quedan determinadas una serie de características del sistema. El ajuste del régimen transitorio se realiza por aproximaciones sucesivas. Dependiendo de las características exigidas se utilizará un diagrama u otro. Estos métodos presentan la ventaja de que no es necesario conocer la función de transferencia de la planta. Además nos proporciona información sobre su respuesta en frecuencia: - Baja frecuencia: da una idea de la exactitud y permite calcular los coeficientes estáticos. - Frecuencias medias: permite conocer la estabilidad, margen de frecuencia, margen de ganancia y respuesta transitoria. - Frecuencias altas: da una idea de la complejidad del sistema.

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Diagramas de Bode: Los diagramas de Bode están formados por dos gráficas frente a la frecuencia: el logaritmo de la magnitud de la función de transferencia y el ángulo de fase. La principal ventaja de la representación logarítmica es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma, por lo que su representación se puede llevar a cabo conociendo como afecta cada uno de los términos de la función de transferencia. Para el caso de los factores integral y de derivada, su representación corresponde a rectas con pendientes de -20 dB/década y 20 dB/década y ángulos de -90º y 90º respectivamente, por lo que analizando cada uno de los términos se puede realizar una representación asintótica de la curva exacta. Otra de las ventajas es que se puede hacer una representación asintótica en función de la frecuencia. Al trabajar en escala logarítmica se podrá representar toda la gama de frecuencias sin llegar al cero.

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Diagramas de Bode: ejemplo.

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Tipos de factores que pueden aparecer en la representación: - Factor ganancia k: En la curva se representa mediante un valor 20 log│k│ Si k > 0 → ϕ = 0º Si k < 0 → ϕ = -180º Factor integrador o derivador [jω]±1: su módulo es 20log(ω) Representación 20 dB/dec ó 6 db/oct.

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- Factor de primer orden [1+jωT]±1: El cruce de estas dos rectas se producirá cuando ωT=1 La fase de este factor será:

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Factor cuadrático: realizando operaciones matemáticas se tiene que:

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Procedimiento general para representar una curva mediante el diagrama de Bode: 1.- Se descompone la función sinusoidal en factores de los tipos que se han visto anteriormente. 2.- Se ven las distintas frecuencias de corte y se halla la pendiente entre dos frecuencias consecutivas: Si el sistema es de tipo 0 la representación comienza con una recta paralela al eje real. Si el sistema es de tipo 1 comenzará con una recta de pendiente -6 dB/oct hasta llegar a la primera frecuencia de corte. Si el sistema es de grado 2, la pendiente será de -12 dB/oct.

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Ejemplo: Normalizando esta función queda como: De esta forma, las pulsaciones de corte serán:

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Diagrama de Nyquist o traza polar: El diagrama de Nyquist o traza polar es una representación de una magnitud de la función de transferencia G(jω) (generalmente la ganancia) con respecto al ángulo de fase de esta magnitud, cuando ω varía desde cero hasta infinito. Por lo tanto la traza polar es el lugar geométrico de los vectores cuando ω varía desde cero hasta infinito. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial en lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado. Una ventaja de esta gráfica es que representa las características de la respuesta en frecuencia en el espectro completo.

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Diagrama de Nyquist: ejemplo.

33 Controladores y calibración Reglas de calibración
Cada tipo de factor de la función de transferencia tiene una representación específica : - Factor integrador o derivador [jω]±1: este tipo de factor es un vector de módulo ω sobre el eje imaginario, y sentido positivo o negativo.

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- Factor de primer orden [1+jωT]±1: este factor equivale a una recta paralela al eje imaginario y que pasa por el punto ωT del eje real. Cuando está elevado a -1, equivale a una semicircunferencia que comienza en el eje real y termina en 0.

35 Controladores y calibración Reglas de calibración
Factor cuadrático : su representación comienza en el eje real, corta al eje imaginario en el punto 2ξ y continua con una asíntota para ω=∞. Cuando el factor cuadrático está en el denominador su representación comienza en el eje real, corta al eje imaginario en el punto ξ/2 y termina en (0,0).

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Ejemplo de código usado en Scilab // Diagramas clear z=poly(0,'z'); // vector de tiempo t=0:0.1:32; // //modelo discreto de la planta g=20/(z*z*(z-0.9)); //función de transferencia en lazo abierto gla=g;glas=syslin('c',gla); //función de transferencia en lazo cerrado gu=1;glc=gla/.gu; glcs=syslin('c',glc); //herramientas de programación xset('window',1) Xname(‘ Análisis de la planta con varias herramientas')

37 //Respuesta a un escalón unitario //closed loop subplot(2,2,1);xgrid(4) plot2d(t,csim('step',t,glcs),style=2) xtitle('Respuesta a un escalón unitario','tiempo','y(t)') // //Lugar de las raíces subplot(2,2,2);xgrid(4) evans(glas,2.5) sgrid([ ],[ ],2) //Diagrama de Nyquist subplot(2,2,3) nyquist(glas) //Diagramas de Bode subplot(2,2,4) bode(glas,0.001,10) //

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Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método de la respuesta en frecuencia - A partir del diagrama de Bode se pretende aumentar la fase, mejorando la estabilidad, intentando conseguir que esa máxima fase pase por la pulsación de cruce. Se desplaza la curva hacia arriba para no variar la ganancia a baja frecuencia, para ello se multiplica por un factor 1/α: - Se intenta cambiar o modificar la forma de la curva dando un suficiente grado de adelanto para conseguir compensar un excesivo retardo de la fase. Los pasos a seguir son : 1.- Fijar el valor de la ganancia en lazo abierto para alcanzar las especificaciones en cuanto a los coeficientes de error. 2.- Para la K calculada, obtener el margen de fase del sistema sin compensar. 3.- Viendo la diferencia entre el margen de fase pedido y el dado, calcular cual es el adelanto que hay que introducir, calculando ɸmáx . 4.- Calcular el factor de atenuación α. 5.- Ver sobre el sistema no compensado para qué frecuencia existe un nivel de 10logα. Observar donde se va a producir la nueva frecuencia de corte ωn.

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• Técnicas de compensación de atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia Habrá que atenuar suficientemente a frecuencias altas, además no interesa que el retardo a frecuencias medias sea muy grande, aproximándose entre sí y al origen las frecuencias de cambio de pendiente. Los pasos a seguir son : 1.- Calcular la ganancia en lazo abierto para obtener los coeficientes estáticos de error definidos en las características especificadas 2.- Dado el valor de K, y en la red sin compensar, para ese valor de K realizar el diagrama y obtener MG y MF . 3.- Si el sistema descompensado no satisface los requerimientos habrá que encontrar la frecuencia para la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a -180º más el marge de fase requerido. Posteriormente se bajará la curva para hacer coincidir la frecuencia de cruce con la que se haya obtenido teniendo en cuenta la fase introducida por la red, que tomaremos entre 5⁰ y 12⁰. 4.- Se hará coincidir esa frecuencia con la de cruce de ganancia esto se producirá en la parte derecha de la curva de transferencia de la red. De aquí se obtendrá el valor de β. 5.- Se tendrá que lograr que la pulsación de corte más grande 1/T se encuentre entre 1 octava a 1 década inferior a la frecuencia obtenida anteriormente .

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Técnicas de compensación de adelanto-atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia Los pasos a seguir serán : 1.- Se ve la ganancia que debe tener el sistema para calcular los coeficientes estáticos de error. 2.- Se dibuja la ganancia y si se cumplen las especificaciones. 3.- Ver qué red de retardo se necesita, determinando la nueva frecuencia de cruce. 4.- En esta nueva frecuencia de cruce realizar el adelanto de fase. En este tipo de red, una vez definida β, solo habrá que definir la distancia entre frecuencias, es decir, desplazar T1 con respecto de T2 lo que se desee. En todo caso se deberán utilizar constantes de tiempo físicamente realizables .

41 Controladores y calibración Testado funcional
Una vez implementado el sistema de compensación o control es necesario proceder a realizar las pruebas necesarias para comprobar que se cumplen las especificaciones de diseño. Los test a realizar dependerán del tipo de compensador, del tipo de proceso y del tipo de especificaciones.

42 Bibliografía Enlaces de interés K. Ogata, Modern Control Engineering.
ensadorAtrasoRlocusContinuo_v12s01.pdf ga/Transparencias/Tema09/Tema09.pdf 3%20y%2004-Diagrama%20de%20Nyquist-Estabilidad.pdf garRaices.pdf?cidReq=CONI