I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.

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1 I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1

2 C ONTENIDO Modelos parametricos y no parametricos Métodos de identificación Análisis de la respuesta transitoria Análisis de la correlación Algunos comandos en Matlab Ejemplos Analisis de Fourier Analisis espectral Algunos comandos en Matlab Ejemplos 2

3 Modelos parametricos y no parametricos 3

4 E L PROBLEMA DE LA IDENTIFICACION El problema de la identificación consiste en encontrar relaciones matemáticas entre secuencias de entrada y las secuencias de salida. En general t = 1,...N En el caso de un sistema dinámico, el termino φ(t) contendría la información de las entradas y salidas anteriores a t 4

5 E L PROBLEMA DE LA IDENTIFICACION Entonces, el problema matemático que se formula es la construcción de una función En general se busca una función g que sea parametrizable A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo 5

6 C LASIFICACION DE LOS MODELOS De acuerdo a la estructura (al numero de parametros) los modelos se clasifican en, Modelos parametricos Modelos no parametricos 6

7 M ODELOS NO PARAMÉTRICOS El modelo no puede representarse con un número finito de parámetros Respuesta al impulso, respuesta en frecuencia 7

8 Métodos de Identificación t t Y U U Y Proceso Modelo 8

9 M ÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN Métodos no paramétricos, que permiten obtener modelos no paramétricos del sistema bajo estudio. Métodos paramétricos, que permiten obtener modelos paramétricos. Proximo capitulo 9

10 M ÉTODOS NO PARAMÉTRICOS Algunos de estos métodos son: análisis de la respuesta transitoria, análisis de la correlación, análisis espectral, análisis de la respuesta en frecuencia, análisis de Fourier, etc. 10

11 Análisis de la respuesta transitoria 11

12 S ISTEMA GENERADOR DE DATOS Se supone el sistema generador de datos dado por 12

13 S ISTEMA GENERADOR DE DATOS Se supone el sistema generador de datos dado por e es un ruido blanco q es el operador retardo 13

14 A NÁLISIS DE LA RESPUESTA IMPULSO Esta metodología de identificación consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso. 14

15 S ALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO La salida esta dada por En terminos de la respuesta al impulso 15

16 S ALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO Amplitud del pulso La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre 16

17 E STIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO El valor estimado de los coeficientes de la respuesta impulso se determina a partir de: con un error de estimación de: v ( t )/α. ¿Qué tan importante es el error de estimacion? 17

18 E JEMPLO 1 Respuesta impulsional del sistema Ver ident_elg_Ej1.m 18

19 E JEMPLO 1 Respuesta del sistema Respuesta impulsiva sin ruido Respuesta impulsiva con ruido 19

20 E JERCICIO En el programa ident_elg_Ej1.m Hacer una figura con la informacion requerida 20

21 P ROBLEMAS DEL METODO DE LA RESPUESTA AL PULSO Los problemas que se plantean en el análisis de la respuesta impulso son: gran sensibilidad al ruido, dificultades con las colas del impulso debido a su larga duración y bajas amplitudes, queda restringido al estudio de sistemas estables. 21

22 R ESPUESTA AL PASO Otro analisis transitorio es la respuesta a un escalón 22

23 E STIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO El valor estimado de los coeficientes de la respuesta impulso se determina a partir de: con un error de estimación de: ( v ( t ) – v ( t –1))/α. 23

24 E JERCICIO Encontrar la expresion para el valor estimado de los coeficientes de la respuesta impulso a partir de la respuesta al paso. Encontrar la expresion para el error cometido 24

25 Análisis de la correlación 25

26 S ISTEMA GENERADOR DE DATOS 26

27 S ISTEMA GENERADOR DE DATOS Se supone el sistema generador de datos dado por e es un ruido blanco q es el operador retardo 27

28 E NTRADA AL SISTEMA Se escoge como entrada al sistema u ( t ) un ruido blanco, cuya función de autocorrelacion es: 28

29 R ESPUESTA DEL SISTEMA entonces en terminos de la respuesta al impulso la correlacion cruzada entre la entrada y la salida es: 29

30 E STIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impulso puede ponerse del siguiente modo: 30

31 E STIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impuso puede estimarse de la estimacion de la correlacion-cruzada a partir de las N muestras 31

32 E STIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO En caso de entrada ruido blanco la estimacion de la respuesta impulsiva es En el caso de otras señales de entrada no es trivial como resolver el problema. A continuacion se propone un metodo. 32

33 C ASO DE ENTRADA CUASI - ESTACIONARIA DETERMINISTICA Si la entrada es cuasi-estacionaria deterministica entonces se usa un filtro L ( q ) denominado “blanqueante” 33

34 E NTRADA CUASI - ESTACIONARIA DETERMINISTICA El filtro L(q) se implementa en el computador 34

35 Algunos comandos en Matlab 35

36 E JERCICIO Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos covf cra 36

37 Ejemplos 37

38 E JEMPLO 2 Estimar la respuesta al impulso del sistema: 38

39 E JEMPLO 2 Respuestas al impulso real (escalones) y estimada (círculos) mediante análisis de correlación. Ver ident_elg_Ej2.m 39

40 E JEMPLO 3 Se desea utilizar el análisis de correlación para estimar la respuesta impulso del sistema discreto con un periodo de muestreo de 1 segundo: q^-1 + 0.5q^-2 y(t) = -------------------------------- u(t) + v(t) 1 - 1.5q^-1 + 0.7q^-2 Ver Problema 2.7 en [Escobet y Morcego, 2003] 40

41 Análisis de Fourier 41

42 E STIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es posible determinar la respuesta en frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida: Si la entrada tiene energía finita 42

43 E STIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA En el caso de tener acceso a datos en un intervalo de tiempo finito 0<t<S, la transformada de Fourier de las señales son 43

44 F UNCIÓN DE T RANSFERENCIA E MPÍRICA (ETFE) La denominada Estimación de la Función de Transferencia Empírica (ETFE) se determina con 44

45 P ROPIEDADES DE LA ETFE se deduce que [Ljung94] 45

46 P ROPIEDADES DE LA ETFE Para entrada periódica y S es un múltiplo del período: ETFE está definida para un número fijo de frecuencias. A estas frecuencias la ETFE converge al valor real y su varianza decrece en función de 1/ N. 46

47 P ROPIEDADES DE LA ETFE Para entrada no periódica: La ETFE converge asintoticamente a la función de transferencia cuando se incrementa el número de datos, a mayor S mayor número de frecuencias evaluadas. La variancia de ETFE no decrece al incrementar S, esta se mantiene constante e igual a la relación señal/ruido para cada frecuencia. 47

48 V ENTAJAS E INCONVENIENTES DEL ANÁLISIS DE F OURIER Es un método fácil y eficiente, especialmente cuando se aplica la FFT. Permite una buena estimación de G ( jw ) cuando la entrada es una señal periódica. Para señales no periódicas la función obtenida es muy fluctuante. 48

49 Algunos comandos en Matlab 49

50 E JERCICIO Consultar en matlab la ayuda del siguiente comando etfe 50

51 Ejemplo 51

52 E JEMPLO 4 Utilizando las técnicas frecuenciales del análisis de Fourier determinar la respuesta frecuencial del sistema descrito en el ejemplo 1. Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003] 52

53 Análisis Espectral 53

54 S ISTEMA GENERADOR DE DATOS Las señales u y v no estan correlacionadas 54

55 E STIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA El espectro discreto es transformado por los sistemas lineales: Entonces, Φ yu (ω) = G 0 (e iω )Φ u (ω) para aquellas frecuencias donde Φu(ω) > 0. 55

56 E STIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA un estimado de la respuesta en frecuencia es Es necesario estimar las dos densidades espectrales 56

57 E STIMACION DE LAS DENSIDADES ESPECTRALES La densidad espectral de una señal cuasi- estacionaria u esta definida por Cuando el estimado se basa en una secuencia finita de datos 57

58 P RINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS PASO 1: estimacion de las funciones de correlación 58

59 P RINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS PASO 2: estimacion de las densidades espectrales es una ventana de tiempo 59

60 P RINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS PASO 3: estimacion de la funcion de transferencia, 60

61 P RINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS PASO 3: estimacion del espectro del ruido y su funcion de transferencia, donde e es una señal de ruido blanco con variancia v = He 61

62 Algunos comandos en Matlab 62

63 E JERCICIO Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos iddata spa plot, bode, nyquist 63

64 Ejemplos 64

65 E JEMPLO 5 Con datos de entrada-salida correspondientes a un secador de mano, obtener una estimacion de la respuesta en frecuencia. Ver ident_elg_EjA3.m 65

66 E JEMPLO 6 Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003] 66

67 F UENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocásticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrónica, 17 de Marzo 2005. Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003 Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003 López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002 67

68 ULTIMA DIAPOSITIVA 68