Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María

Presentación del tema: "Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María"— Transcripción de la presentación:

1 Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María
Econometría Capitulo 5 Modelos Pronósticos Ingenuos y Adaptivos Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María

2 Métodos Ingenuos 2 Definición y Notación
Una serie cronólogica o serie de tiempo es una colección de observaciones de un cierto fenómeno hechas secuencialmente en el tiempo (altura; espacio; etc). Denotaremos una serie de tiempo mediante por la siguiente secuencia: x(t1) , x(t2) , ... , x(tn) donde x(ti) es el valor tomado por el proceso estocástico en el instante ti . Habitualmente supondremos que la serie es equiespaciada, es decir, que existe tal que Héctor Allende O. 2

3 Métodos Ingenuos 3 Entonces S.p.d.g. podemos considerar la serie
la cual también se puede denotar Ejemplos de S.T. 1. Series Físicas Meteorología: agua caída, temperatura máxima, velocidad del viento. Geofísica: series sismológica, series de temp.volcánica Medicina: electrocardiogramas, electroencefalogramas. Química: viscosidad de un proceso, temperatura de un proceso Telecomunicaciones: series de señales. Astronomía: brillo de una estrella, actividad solar. Héctor Allende O. 3

4 Métodos Ingenuos 4 2. Series Económicas
Precios de acciones, precio del cobre en Londres, índice de cesantía, IPC; ADR; PIB; 3. Series de Marketing Series de ventas, gastos, utilidades, demanda, oferta. 4. Series Demográficas Tasa de natalidad, tasa de mortalidad, censos poblacionales. 5. Series de Energia Demanda de energia; Actividad de Energia Solar; etc. Héctor Allende O. 4

5 Métodos Ingenuos 5 Objetivos del Estudio de Series Cronológicas
1. Modelación: Encontrar un modelo estadístico que explique el comportamiento de la serie (y que explique en lo posible el fenómeno que originó la serie). 2. Predicción: Predicción de valores futuros de la serie dando, en lo posible, límites de confianza. Metodología Etapa 1: análisis exploratorio de datos Se grafica la serie: t en la abscisa, x(t) en la ordenada. Esto debe hacerse siempre, independiente del nivel de simplecidad de los datos o de los modelos que se emplean posteriormente. Héctor Allende O. 5

6 Métodos Ingenuos 6 a) Permite detectar posibles “outliers”
Los outliers son observaciones que se alejan fuertemente del modelo estocástico subyacente ; ya sea por errores de medición o porque en el fenómeno en estudio presentó un comportamiento absolutamente inusual. Héctor Allende O. 6

7 Métodos Ingenuos 7 Observaciones:
Si se sospecha que una observación es un outlier, se debe reunir información adicional desde fuera del observador, sobre posibles factores que afectaron el proceso. De verificarse que se trata de una observación aberrante y mostrar la serie un comportamiento similar antes y después del outlier conviene pre-procesar la seríe usando por ejemplo un filtro de medias, obteniendosé un nueva seríe. En caso contrario ( huelgas; actos de terrorismo; terremotos etc) es necesario usar métodos o tecnicas especiales tales como el análisis de intervenciones. Otra alternativa es utilizar procedimientos robustos en el modelado de la serie cronológica. Héctor Allende O. 7

8 Métodos Ingenuos b) Permite determinar tendencias Héctor Allende O. 8

9 Métodos Ingenuos c) Permite determinar variaciones cíclicas o estacionales. Héctor Allende O. 9

10 Métodos Ingenuos 10 Modelos Ingenuos
Antes de recurrir a los métodos más sofisticados uno debe preguntarse si el problema en cuestión realmente lo justifica o bien si bastaria con usar técnicas baratas. Esto dependerá esencialmente de la importancia de las decisiones que se tomarán en base al modelo y sus predicciones ( Corto largo; o mediano plazo). Modelos a) x(t) = T(t)+E(t)+A(t) aditivo b) x(t) = T(t) E(t) A(t) multiplicativo c) x(t) = T(t) E(t) + A(t) mixto Héctor Allende O. 10

11 Métodos Ingenuos 11 T: Tendencia de la serie
Representa la dirección predominante de la serie, es decir su comportamiento promedio. E: Variación estacional Se caracteriza por períodos o ciclos de la serie. A: variaciones accidentales. Se caracteriza cambios irregulares ya sean de tendencia variancia o ciclos de la serie). Modelos x(t) = T(t)*E(t)*A(t) lnx(t) = lnT(t)+lnE(t)+lnA(t) Héctor Allende O. 11

12 Métodos Ingenuos 12 Estimación de la Tendencia a) Regresión
Mediante inspección gráfica se decide cual curva ajustar. i) T(t) = a + bt (recta) ii) T(t) = a ebt (exponencial) iii) T(t) = a + bt + ct2 (parábola) etc. b) Medias Móviles La idea es remover el efecto estacional antes de estimar la tendencia. (anual) La estimación de T(t) se anotará Héctor Allende O. 12

13 Métodos Ingenuos 13 Estimación de la Variación Estacional
Si se utilizo regresión a x(t) para estimar tendencia se calcula la serie residual W(t) W(t) Es una serie en que sólo deberían manifestarse los efectos estacionales y accidentales. Si se aplicó medias móviles se tendrá que, además de la serie W(t) se puede estimar mediante también será una serie en que sólo se encontrará presente efectos estacionales y accidentales. Héctor Allende O. 13

14 Métodos Ingenuos En cualquiera de estos casos denotaremos mediante w(t) la serie residual en que se han removido los efectos de la tendencia. Caso aditivo Caso mixto Héctor Allende O. 14

15 Métodos Ingenuos 15 Para estimar E(t) comenzaremos podemos considerar
e(h) = promedio de los valores de w en el mes h. Como es razonable esperamos que el promedio de las estimaciones sea 0 en el caso aditivo y 1 en el mixto, estimamos E(h) mediante Para elegir entre ambos modelos se suele utilizar el gráfico de la serie residual. En caso de series de Índices se sugiere usar modelos mixtos. Héctor Allende O. 15

16 Métodos Ingenuos 16 Formulacion General del Problema de Predicción
La predicción correspondiente, que dependerá del modelo elegido y, en general, de n y k, se anotará k es el horizonte de predicción o número de pasos adelante que se está prediciendo y n el origen de la predicción. Una vez conocido x(n+k) podemos calcular el error de predicción correspondiente: Héctor Allende O. 16

17 Métodos Ingenuos 17 Ejemplo Numérico
Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País Se toma t = 1 : 1er Trimestre Se grafica la serie: Héctor Allende O. 17

18 Métodos Ingenuos 18 Se suaviza la serie obteniéndose
Se grafica la serie suavizada: Héctor Allende O. 18

19 Métodos Ingenuos 19 Se efectúa una regresión lineal con esta serie:
Como se trata de un índice usamos el modelo mixto. Calculamos la serie residual usando de donde Héctor Allende O. 19

20 Métodos Ingenuos 20 Las predicciones para 1982 serán : 1er Trimestre :
2do Trimestre : 3er Trimestre : 4to Trimestre : Héctor Allende O. 20

21 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Introducción Una de las críticas que se les hace a los métodos ingenuos es que no se adaptan a lo largo del tiempo en forma natural : tanto la tendencia como la estacionalidad, se estiman una sóla vez y las estimaciones deben ser actualizadas si se obtienen nuevas observaciones. Una familia de modelos que aparece hacia fines de la década de los años 60, intenta solucionar este problema. Se les conoce técnicas de suavizamiento exponencial, y se constituyó en un avance en el modelado de series cronológicas. Una de las principales características de estas técnicas es que son “baratas”. Debido a esto, aún siguen siendo utilizadas en ciertas actividades de pronóstico donde es necesario efectuar predicciones rutinarias (en el corto plazo) de ventas, control de inventario o planificación de la producción. Aplicar técnicas más sofisticadas en este caso no se justifica. Héctor Allende O. 21

22 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Suavizamiento Exponencial Simple En este caso se supone que la serie está compuesta por un nivel (constante) y una componente residual (impredecible) Es decir, la serie se supone localmente constante la mejor predicción de X(n+h) será la estimación que tengamos del nivel en el instante h. Luego parece razonable estimar el nivel como promedio ponderado de las observaciones dando un peso mayor a las últimas observaciones. Héctor Allende O. 22

23 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Observaciones: 1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos. 2) Como elegir la constante de suavizamiento volveremos más adelante. 3) Predicciones: 4) A partir de la ecuación 3) vemos que al obtener nuevos datos de la serie las predicciones se actualizan mediante: 5) Se puede comprobar que es el valor real z que minimiza la función Héctor Allende O. 23

24 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Método de Holt - Winters La versión anterior es la más simple de los llamados modelos de suavizamiento exponencial. Se han desarrollado una serie de variantes, las cuales consideran la serie constituida localmente a partir de un nivel de tendencia y (eventualmente) por un factor de estacionalidad, además de un residuo impredecible aditivo. Posiblemente la extensión más natural del suavizamiento exponencial simple sean los modelos de Brown – AEG, los el modelos de Holt y Winters entre otros que veremos a continuación. Héctor Allende O. 24

25 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Caso no estacional Supogamos que la serie se comporta localmente como la suma de un nivel y una tendencia lineal, más de un residuo impredecible. Anotando y como las estimaciones del nivel y de la pendiente de la recta (de la tendencia lineal) en el instante t, una propuesta razonable es tomar. Héctor Allende O. 25

26 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Observaciones: (Caso no estacional) 1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos. 2) Las estimaciones del nivel y de la pendiente en el instante “t” se estiman como un promedio ponderado de la estimación anterior y la estimación sugerida apartir del nuevo dato. 3) Para iniciar el algoritmo recursivo se propone tomar. 4) Predicciones: Siendo consecuentes con el modelo se propone Héctor Allende O. 26

27 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Modelo de Holt - Winters (Multiplicativo) A las suposiciones del modelo anterior le agregamos un factor estacional de período s, multiplicativo (respecto de la tendencia) se interpreta como un nivel desestacionalizado. Anotando a la estimacióm de la componente estacional en el instante t parece razonable tomar: Héctor Allende O. 27

28 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Modelo de Holt – Winters (Aditivo) El metodo anterior se adapta trivialmente al caso en que la estacionalidad es aditiva con respecto de la tendencia, en lugar de ser multiplicativa Héctor Allende O. 28

29 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Observaciones: (Caso Estacional) 1) Las formulas modifican las estimaciones considerando nuevos datos. La estimación del nivel (t-1): junto a la estimación de la pendiente sugerirán un nivel en el instante t. Esta estimación se ve modificada al considerar la nueva observación. La estimación en el instante (t-1) de la pendiente Una nueva estimación de la pendiente sería en el anterior y la estimación sugerida por el valor tomado por la serie en t. La estimación en el instante (t-s) de la estacionalidad es Dado una nueva estimación de la estacionalidad sería La estacionalidad en t se estima como promedio ponderado de estimación anterior y la sugerida por el valor tomado por la serie en el instante t. Héctor Allende O. 29

30 Modelos de Suavizamiento Exponencial
2) Inicialización: Una manera de resolver el problema de inicialización en el modelo de H-W multiplicativo es tomando Para el caso aditivo la estimación de la componte estacional se modifica por Héctor Allende O. 30

31 Modelos de Suavizamiento Exponencial
3) Predicciones: Siendo consecuentes con las suposiciones hechas para el modelo multiplicativo se toma Análogamente para el modelo aditivo se toma Héctor Allende O. 31

32 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Determinación de las constantes de suavizamiento Una alternativa es elegir de acuerdo a las características particulares que se atribuye a las componentes de la serie. Si , las predicciones dan más importancia a observaciones pasadas que a las presentes. Inversamente, si , las prediccionesdan menor importancia al pasado y más importancia al presente de la serie. En el caso de suavizamiento exponencial simple: Si la serie varía lentamente (valor típico 0.3) En cambio si la serie varía bruscamente (valor típico 0.7) Héctor Allende O. 32

33 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Otro método más objetivo es elegir que mejor habrían predicho los valores conocidos de la serie. donde k se elige lo suficientemente grande como para que el efecto de inicialización del proceso sea despreciable. Al estimar numéricamente se pierde la simplicidad de los métodos de suavizamiento exponencial. Como esta es su carácteristica más importante, si se está dispuesto ha resolver el problema de minimización correspondiente entonces más vale usar métodos más sofisticados como por ejemplo: Box y Jenkins o ANN Héctor Allende O. 33

34 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Ejemplo No1. Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País Usando el método de Holtz y Winter prediga los valores de los índices trimestrales para 2002. Considere A=0,30 B=0,50 y D=0,30 Héctor Allende O. 34

35 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Debido a que es una serie de índices el modelo a ocupar debe ser el modelo multiplicativo. Inicialización del método Héctor Allende O. 35

36 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Formulas de actualización (1/3) Héctor Allende O. 36

37 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Formulas de actualización (2/3) Héctor Allende O. 37

38 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Formulas de actualización (3/3) Héctor Allende O. 38

39 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Predicciones Las predicciones para 2002 son las siguientes: Héctor Allende O. 39

40 Modelos de Suavizamiento Exponencial
Es posible mejorar los valores iniciales tomando: donde : promedio del 1er año : promedio del 2do año Héctor Allende O. 40