Matemática Discreta 1 Curso 2007 Prof. Eduardo A. Canale

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1 Matemática Discreta 1 Curso 2007 Prof. Eduardo A. Canale canale@fing.edu.uy

2 canale@fing.edu.uy Información útil Web: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/ Web: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/ Web antigua: www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/principal.htm Web antigua: www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/principal.htm Bibliografía: Matemáticas Discreta y Combinatoria de R. P. Grimaldi. Bibliografía: Matemáticas Discreta y Combinatoria de R. P. Grimaldi. Elementos de Matemáticas discretas de C. L. Liu. Elementos de Matemáticas discretas de C. L. Liu.

3 canale@fing.edu.uy Teórico Lunes 13:30 a 15:00 Salón A01 Lunes 13:30 a 15:00 Salón A01 Jueves de 13:00 a 14:30 Salón A11 Jueves de 13:00 a 14:30 Salón A11 Coordinador del curso : Nancy Guelman nguelman@fing.edu.uy.

4 canale@fing.edu.uy Prácticos Iguales a los de la año pasado (WEB) Iguales a los de la año pasado (WEB) Prácticos: Prácticos: G4 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 103 con Sebastián Sensale G4 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 103 con Sebastián Sensale G5 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 014 y 401 con Andrés Corez G5 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 014 y 401 con Andrés Corez G6 Mi y Vi 15:30 a 17:00 103 y 101 con Sebastián Sensale G6 Mi y Vi 15:30 a 17:00 103 y 101 con Sebastián Sensale

5 canale@fing.edu.uy Temas del curso Combinatoria Combinatoria Relaciones Relaciones Grafos Grafos

6 canale@fing.edu.uy Aprobación del curso Combinatoria, (1 er Parcial) 40 ptos Combinatoria, (1 er Parcial) 40 ptos Relaciones Relaciones Grafos Grafos Exoneración: 60 puntos 2 do parcial 60 ptos

7 canale@fing.edu.uy Combinatoria Técnicas básicas de conteo Técnicas básicas de conteo Inducción completa Inducción completa Principio de Inclusión-exclusión Principio de Inclusión-exclusión Principio del palomar Principio del palomar Relaciones de recurrencia Relaciones de recurrencia Funciones generatrices Funciones generatrices

8 canale@fing.edu.uy Combinatoria Técnicas básicas de conteo (Grimaldi Cap 1) Técnicas básicas de conteo (Grimaldi Cap 1) Reglas de la suma y el producto (1.1) Reglas de la suma y el producto (1.1) Arreglos con y sin repetición(1.2) Arreglos con y sin repetición(1.2) Permutaciones con y sin repetición (1.2) Permutaciones con y sin repetición (1.2) Combinaciones sin repetición (1.3) Combinaciones sin repetición (1.3) Teorema del binomio (1.3) Teorema del binomio (1.3) Combinaciones con repetición (1.4) Combinaciones con repetición (1.4)

9 canale@fing.edu.uy Combinatoria ¿Qué es la combinatoria? ¿Qué problemas trata de resolver? ¿Para qué sirve? ¿Cuándo surgió?

10 canale@fing.edu.uy Combinatoria ¿Qué es la combinatoria? Del lat. combināre = com binare Com = unir Binare= dos cosas. Unir dos o más cosas para formar un nuevo objeto.

11 canale@fing.edu.uy Combinatoria Combinación de objetos: ¿Se puede? ¿Se puede? ¿Cómo? ¿Cómo? ¿Cuánto? ¿Cuánto? Propiedades Propiedades

12 canale@fing.edu.uy Combinatoria Combinación de objetos: ¿Se puede?  Existencia ¿Se puede?  Existencia ¿Cómo?  Algoritmos ¿Cómo?  Algoritmos ¿Cuánto?  Conteo ¿Cuánto?  Conteo Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos) Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)

13 canale@fing.edu.uy Técnicas básicas de conteo Regla del producto: Regla del producto: Si para formar los objetos en el 1 er paso tenemos m posibles salidas y en el segundo n posibles salidas independientes del paso anterior el total de objetos formados será m  n

14 canale@fing.edu.uy Técnicas básicas de conteo Regla del producto Regla del producto Arreglos con repetición AR m n = m n Arreglos con repetición AR m n = m n Arreglos sin repetición A m n = m(m-1)…(m-n+1) Arreglos sin repetición A m n = m(m-1)…(m-n+1) Permutaciones (sin repetición): A m m = m! Permutaciones (sin repetición): A m m = m! Arreglos con repetición Arreglos con repetición

15 canale@fing.edu.uy Libros de matemática http://bibliotecabochini.netfirms.com/informacion.htm http://bibliotecabochini.netfirms.com/informacion.htm

16 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición Ejemplo: Ejemplo: 1. aab, aba, baa Son 3 en lugar de 3! = 6. 2. aabc, aacb, abac, abca, acab, acba, baac, baca, bcaa, caab, caba, cbaa Son 12 en lugar de 4! = 24.

17 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición Regla general: la cantidad de permutaciones de una palabra aaaabbbbcccc… es igual a Regla general: la cantidad de permutaciones de una palabra aaaabbbbcccc… es igual a Donde n 1, n 2, n 3 … es la cantida de a ’s, b ’s, c ’s, etc Obviamnete n 1 + n 2 + n 3 + … n k = n.

18 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición Ejemplo: Tableros de ta-te-ti Ejemplo: Tableros de ta-te-ti

19 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición Ejemplo: Tableros de ta-te-ti Ejemplo: Tableros de ta-te-ti

20 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? a a b c c c ccc a a b c c c cc a a b c c c c b b a

21 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? a a b c c c ccc a a b c c c cc a a b c c c c b b a acccbacccacccbabccacacbabcc

22 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? acccbacccacccbabccacacbabcc 9!/(2!1!6!)=9x8x7/2 =252 9!/(2!2!5!)=9x8x7x6/4= 756 9!/(3!2!4!)=9x8x7x6x5/12=1260

23 canale@fing.edu.uy Permutaciones con repetición El total se obtiene sumando los totales parciales. El total se obtiene sumando los totales parciales. Hemos aplicado la Regla de la suma que dice así: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o más) tipos distinto, basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los resultados. Hemos aplicado la Regla de la suma que dice así: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o más) tipos distinto, basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los resultados.

24 canale@fing.edu.uy ¿Estamos contando de más? ¿Son iguales? ¿Son iguales?

25 canale@fing.edu.uy Simetrías Suele dar lugar a problemas difíciles Suele dar lugar a problemas difíciles Teoría de Redfield y Polya: ver por ejemplo Grimaldi 16.9 a 16.11 involucra teoría de grupos (Discreta 2) y funciones generatrices Teoría de Redfield y Polya: ver por ejemplo Grimaldi 16.9 a 16.11 involucra teoría de grupos (Discreta 2) y funciones generatrices Casos sencillos: permutaciones circulares, combinaciones Casos sencillos: permutaciones circulares, combinaciones

26 canale@fing.edu.uy Permutaciones circulares Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una mesa circular? ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una mesa circular? Sea “ x ” dicha cantidad Sea “ x ” dicha cantidad a b c da d c b a b c d

27 canale@fing.edu.uy Permutaciones circulares Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares Paso 2: la giro de 4 formas posibles Paso 2: la giro de 4 formas posibles Obtengo: todas las 4! Permutaciones Obtengo: todas las 4! Permutaciones  (regla del producto ) x  4=P=4!  (regla del producto ) x  4=P=4!  x = 4!/4 = 3!  x = 4!/4 = 3! a b c d = a b c d = a b c d

28 canale@fing.edu.uy Permutaciones circulares En general si tengo n símbolos En general si tengo n símbolos Hay n giros posibles  x  n = n! Hay n giros posibles  x  n = n! De donde x = n!/n = (n-1)! De donde x = n!/n = (n-1)! ¡Qué formula más sencilla! ¡Qué formula más sencilla! ¿Habrá otra forma de pensarla directamente que de ese resultado? ¿Habrá otra forma de pensarla directamente que de ese resultado?

29 canale@fing.edu.uy Permutaciones circulares Otra forma de pensarlo Otra forma de pensarlo Fijo a arriba y permuto las otras (n-1) Fijo a arriba y permuto las otras (n-1) a b c d a b d c … a c b d

30 canale@fing.edu.uy Simetrías La combinatoria involucra: La combinatoria involucra: Objetos: generalmente cantidad finita de tipos Objetos: generalmente cantidad finita de tipos Forma de combinarlos: geometría (lineal, circular, cuadrada, etc) Forma de combinarlos: geometría (lineal, circular, cuadrada, etc) Simetría: asociada (a la geometría) o ad hoc. Simetría: asociada (a la geometría) o ad hoc.

31 canale@fing.edu.uy Combinaciones (sin repetición) Otra simetría sencilla: toda permutación da lugar a objetos equivalentes = “no importa el orden” Otra simetría sencilla: toda permutación da lugar a objetos equivalentes = “no importa el orden” Ejemplo: Arreglos de 4 en 3. Ejemplo: Arreglos de 4 en 3. Objetos: a, b, c, d Objetos: a, b, c, d acd = acd = adc = adc = dac = etc dac = etc ¿Cuántos tenemos? ¿Cuántos tenemos? 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca

32 canale@fing.edu.uy Combinaciones Permutando las combinaciones obtenemos los arreglos, por lo tanto (regla del producto) Permutando las combinaciones obtenemos los arreglos, por lo tanto (regla del producto) C n m  n! = A n m  C n m  n! = A n m  C n m = A n m / n! = C n m = A n m / n! = m!m!m!m! (m-n)! n!

33 canale@fing.edu.uy Combinaciones con repetición Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo pedir una media docena de biscochos? Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo pedir una media docena de biscochos? Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d ¿Importa el orden? ¿Importa el orden? Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etc Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etc

34 canale@fing.edu.uy Combinaciones con repetición aaabbb  = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d aaabbb  = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d 3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0 3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0 2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0 2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0 aaabbb = xxx|xxx|| aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx| aabbcc = xx|xx|xx| ¿abbcdd? ¿abbcdd? x|xx|x|xx x|xx|x|xx

35 canale@fing.edu.uy Combinaciones con repetición aaabbb = xxx|xxx|| aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx| aabbcc = xx|xx|xx| abbcdd =x|xx|x|xx abbcdd =x|xx|x|xx 1 ero ) siempre hay 6 “x” y 3 “|” 1 ero ) siempre hay 6 “x” y 3 “|” 2 do ) cualquier permutación de 6x y 3 | da lugar a una elección distinta 2 do ) cualquier permutación de 6x y 3 | da lugar a una elección distinta ¿Cuántas hay? ¿Cuántas hay?

36 canale@fing.edu.uy Combinaciones con repetición ¿Cuántas hay? Permutaciones con repetición de 6+3 letras con 6 y 3repetidas = (6+3)!/(6!3!) = C 9 3 ¿Cuántas hay? Permutaciones con repetición de 6+3 letras con 6 y 3repetidas = (6+3)!/(6!3!) = C 9 3 En general para CR m n son n “x” y m-1 “|” En general para CR m n son n “x” y m-1 “|” Total: Total: n!(m-1)! = C n n+m-1 (n+m-1)!

37 canale@fing.edu.uy Resumen Repetición RepeticiónOrdenSINO SI AR m n AmnAmnAmnAmn NO CR m n CmnCmnCmnCmn

38 canale@fing.edu.uy Resumen Repetición RepeticiónOrdenSINO SI AR m n = m n A m n = NO CR m n = C m+n-1 n Cmn =Cmn =Cmn =Cmn =

39 canale@fing.edu.uy Otra forma de ver las cosas Combinaciones con repetición de 4 en 6 Combinaciones con repetición de 4 en 6 aaabbb = xxx|xxx|| = aaabbb = xxx|xxx|| = 3+3+0+0 3+3+0+0 Distribución de objetos en cajas: objetos y cajas distinguibles o no. Distribución de objetos en cajas: objetos y cajas distinguibles o no. Pueden haber cajas vacías o no. Pueden haber cajas vacías o no.

40 canale@fing.edu.uy Distribución de objetos en cajas Objetos Distiguibles Objetos Distiguibles Cajas Distinguibles SINO SI ? (fácil) CR m n NO ?(no tanto) ?(difícil)

41 canale@fing.edu.uy Otra forma de ver las cosas Fórmula del Binomio: Fórmula del Binomio: Por esta razón a los coeficientes C n i también se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma Por esta razón a los coeficientes C n i también se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma

42 canale@fing.edu.uy Fórmula del Binomio Demostración combinatoria Demostración combinatoria (a+b) 2 = (a+b) (a+b)= (a+b) 2 = (a+b) (a+b)= (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) = (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) = (a 1 +b 1 ) a 2 + (a 1 +b 1 ) b 2 = (a 1 +b 1 ) a 2 + (a 1 +b 1 ) b 2 = a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 (a+b) 3 = (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) (a 3 +b 3 )= (a+b) 3 = (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) (a 3 +b 3 )= (a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 ) (a 3 +b 3 )= (a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 ) (a 3 +b 3 )= a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3

43 canale@fing.edu.uy Fórmula del Binomio Demostración combinatoria Demostración combinatoria a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3 Vemos que por cada término comienza con una a 1 o una b 1 sigue con a 2 o b 2 y termina con a 3 o b 3. Entonces podemos pensar que los términos se construyen en un proceso de tres pasos: Vemos que por cada término comienza con una a 1 o una b 1 sigue con a 2 o b 2 y termina con a 3 o b 3. Entonces podemos pensar que los términos se construyen en un proceso de tres pasos: Paso 1 Elijo una de las letras del 1 er factor (a 1 +b 1 ) Paso 1 Elijo una de las letras del 1 er factor (a 1 +b 1 ) Paso 2 Elijo una de las letras del 2 do factor (a 2 +b 2 ) Paso 2 Elijo una de las letras del 2 do factor (a 2 +b 2 ) Paso 3 Elijo una de las letras del 3 er factor (a 3 +b 3 ) Paso 3 Elijo una de las letras del 3 er factor (a 3 +b 3 )

44 canale@fing.edu.uy Fórmula del Binomio Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar los índices y juntar los términos iguales. En el ejemplo: Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar los índices y juntar los términos iguales. En el ejemplo: aaa +baa+ aba +… + abb + bbb = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 aaa +baa+ aba +… + abb + bbb = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ¿De donde sale el “3” de “a 2 b” ? ¿De donde sale el “3” de “a 2 b” ? De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos “a” y en el otro “b”. De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos “a” y en el otro “b”. ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”? ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”? Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C 3 2 formas de hacerlo. Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C 3 2 formas de hacerlo.

45 canale@fing.edu.uy Fórmula del Binomio En general (a+b) n =   i a i b n-i En general (a+b) n =   i a i b n-i Donde  i será todas las formas de elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir i factores de entre n: C n i. Donde  i será todas las formas de elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir i factores de entre n: C n i.

46 canale@fing.edu.uy Algunas Consecuencias Ejemplo 1: (1+x) n =  C n i 1 i x n-i =  C n i x n-i Ejemplo 1: (1+x) n =  C n i 1 i x n-i =  C n i x n-i =(x+1) n =  C n i x i 1 n-i =  C n i x i =(x+1) n =  C n i x i 1 n-i =  C n i x i Por lo tanto: C n i = C n n-i Por lo tanto: C n i = C n n-i Ejemplo 2: Ejemplo 2: 0= (-1+1) n =  C n i (-1) i 1 n-i =  C n i (-1) i 0= (-1+1) n =  C n i (-1) i 1 n-i =  C n i (-1) i Ejemplo 3: 2 n = (1+1) n =  C n i (1) i 1 n-i =  C n i Ejemplo 3: 2 n = (1+1) n =  C n i (1) i 1 n-i =  C n i Este ejemplo además nos da una cota (grosera) de los coeficientes binomiales. Este ejemplo además nos da una cota (grosera) de los coeficientes binomiales.