Facultad de Ingeniería Licenciatura en Ingeniería Civil

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1 Facultad de Ingeniería Licenciatura en Ingeniería Civil
Teoría de Decisiones Semestre agosto-diciembre 2013 Análisis de Decisión M. I. José Francisco Grajales Marín

2 1. SÍNTESIS DE PROBABILIDAD
La razón que motivo al hombre a registrar datos con propósitos estadísticos, se encontró en la necesidad, de anotar aquellos hechos que aparecen como vivencias sociales transcendentes: crecimiento de poblaciones, disposiciones de alimento, fenómenos naturales, etc.

3 1.1 Principales definiciones
Dato: Número o medida que se obtiene de observaciones de una variable. Variable: Es toda cualidad o característica que toma valores diferentes en distintos objetos. Variable aleatoria: Es aquella variable que toma valores de algún proceso al azar. Variable aleatoria continua: Es la variable aleatoria que puede tomar cualquier valor de un intervalo o dominio.

4 Variable aleatoria discreta: Es la variable que sólo puede tomar valores de un conjunto numerable.
Estadística: Ciencia cuyos propósitos son la extracción de datos y su uso en la realización de inferencias acerca de una población, de la cual dichos datos fueron extraídos. Estadística descriptiva: Es la que trata con la descripción numérica o gráfica de un conjunto de datos. Estadística inferencial: Es la que trata con la formulación de conclusiones, estimaciones o generalizaciones acerca de parámetros poblacionales, con base en la estadística descriptiva realizada con datos muestrales.

5 Población: Es un grupo de datos que se toma como referencia en un estudio estadístico, y que considera todas las características de la variable definida en el problema bajo estudio. Muestra: Es cualquier subconjunto de datos seleccionados de una población. Diseño del experimento: Estudio de los métodos de muestreo y los problemas que con él se relacionan.

6 Espacio de eventos: Colección de todos los resultados posibles de un experimento.
Experimento aleatorio: Experimento que reúne las siguientes características: una acción, un resultado y una observación. Evento simple: Es cada uno de los eventos que constituyen un espacio de eventos. Estadística descriptiva: La estadística descriptiva hace uso de varias medidas para describir numéricamente un conjunto de datos muéstrales o poblacionales.

7 La estadística descriptiva: hace uso de varias
medidas para describir numéricamente un conjunto de datos muéstrales o poblacionales. Tales medidas se pueden clasificar en: Medidas de posición: Este tipo de medidas indican la distribución que guardan los datos a lo largo de su rango (el dato mayor menos el menor).

8 Medidas de tendencia central: Son medidas que normalmente se localizan alrededor del centro de los datos. Dentro de este tipo de medidas se encuentran la media aritmética, la mediana, el modo, la media armónica, la media geométrica y la media cuadrática. Cuantiles: . Estas medidas indican la localización de los datos de acuerdo con una subdivisión que se realiza del rango de los mismos. Existen tres tipos de cuantiles: cuartiles, deciles, y percentiles.

9 Medidas de dispersión: Son medidas que indican el grado en el cual están dispersos los datos con respecto a alguna medida de tendencia central. Este tipo de medidas lo conforman la variancia, la desviación estándar, la desviación media absoluta y el coeficiente de variación. Medidas de deformación: Este tipo de medidas son relativas a la forma que tienen las curvas de frecuencias y también están relacionadas con la dispersión que tienen los datos. Existe dos tipos de medidas de deformación: el coeficiente de sesgo o asimetría y el coeficiente de kurtosis o de apuntamiento.

10 Rango: Se define como la diferencia entre el mayor y el menor valor de una distribución.
Criterio de Sturges. K = log n K, numero de intervalos

11 1.2 Medidas de tendencia central
Momentos con respecto al origen: m´k = Datos no ordenados m´k = Datos ordenados Donde n=número de datos, m=número de intervalos, t=intervalo de clase, f=frecuencia de clase, k=orden del momento.

12 m´1= Ẋ= m´1= Ẋ= Media. Se define como el momento de primer orden con
respecto al origen: m´1= Ẋ= Datos no ordenados m´1= Ẋ= Datos ordenados Donde n=número de datos; m=número de intervalos; t=intervalo de clase; f=frecuencia de clase

13 Modo: = Mediana: =

14 1.3 Medidas de dispersión mk = mk = Momentos con respecto a la media:
Momentos con respecto a la media: mk = Datos no ordenados mk = Datos ordenados

15 m2 = m2 = Desviación estándar: Sx = Coeficiente de variacion: CVx =
Variancia. Se define como el momento de orden dos con respecto a la media: m2 = Datos ordenados m2 = Datos no ordenados Desviación estándar: Sx = Coeficiente de variacion: CVx =

16 1.4 Medidas de asimetría Asimetría = [(q3 – q2) – (q2 – q1)] / Sx
Donde q1, q2 y q3 son los cuartiles del 25 %, 50 % que corresponde a la mediana y del 75 %, Sx es la desviación estándar. También se puede calcular una medida de asimetría con el momento de orden tres con respecto a la media, con la variancia y finalmente con el parámetro b1: m3 = b1 =

17 1.5 Medidas de aplanamiento o exceso (kurtosis)
b2 = es mesokúrtica si es leptokúrtica es platokúrtica

18 La teoría axiomática de probabilidades se basa en 3 axiomas:
1.- 2.- 1.- La probabilidad de ocurrencia de un evento A, es un numero, P(A), que se le asigna a dicho evento, cuyo valor es menor o igual que uno. 2.- Si E es el espacio de eventos asociados a un experimento 3.- La probabilidad, P(C), de la union, C, de dos eventos mutuamente exclusivos, A y B, es igual a la suma de las probabilidades de estos. 3.-

19 Probabilidad condicional
Si P(B), es diferente de cero, se expresa:

20 1.7 Teorema de Bayes Se dice que un grupo de eventos es colectivamente exhaustivo si la unión de todos ellos es el espacio de eventos correspondientes, con lo cual se define el llamado TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Este resultado se conoce como TEOREMA DE BAYES. A las probabilidades P(Bj) que se asignan a los eventos Bj antes de observar el evento A, se les denomina a PRIORI; a las probabilidades P(BjIA) que se obtiene después de observar el evento A, se les llama POSTERIORI.

21 1.8 Variable aleatoria Es una función que asocia un numero con cada punto en un espacio muestra del experimento. Existen 2 tipos de variables aleatorias: Discretas: es aquella cuyos valores posibles forman un conjunto finito o bien se pueden listar en una sucesión infinita donde hay un primer elemento, un segundo elemento, etc. Continuas: si su conjunto de valores posibles abarca todo un intervalo. Discreta: es aquella cuyos valores posibles forman un conjunto finito o bien se pueden listar en una sucesion infinita donde hay un primer elemento, un segundo elemento, etc. Una variable aleatoria es continua si su conjunto de valores posibles abarca todo un intervalo.

22 1.9 Distribuciones teóricas de probabilidad
Distribución normal donde: x = variable aleatoria e,  = constantes  = media σ = desviación estándar 2 = variancia

23 Distribución normal estándar

24 Distribución binomial
Donde q = 1 - p p = probabilidad de éxito. q = probabilidad de fracaso.

25 Distribución de Poisson
donde: x = variable aleatoria e = cte.  = media

26 2. Análisis De Decisión Se llamara decisión al proceso de elegir un acto de entre un conjunto de formas alternativas de actuar.

27 Los componentes básicas de un problema de decisión son: 1
Los componentes básicas de un problema de decisión son: 1. Sujeto de una decisión: Alguien o algún grupo debe identificarse como el que toma decisiones. Algunos problemas pueden tener dos o mas sujetos de decisión. 2. Objetivos: El que toma la decisión debe tener uno o más objetivos. Estos objetivos pueden definirse como los resultados deseados para cada decisión. En el caso de objetivos múltiples, algunos de ellos pueden estar en conflicto. Los objetivos pueden ser cualitativos o cuantitativos. En muchos problemas técnicos el objetivo cuantitativo puede ser maximizar una ganancia o minimizar un costo. Alguien o algún grupo debe identificarse como el que toma decisiones. Algunos problemas pueden tener dos o mas sujetos de decisión. El que toma la decisión debe tener uno o mas objetivos. Estos objetivos pueden definirse como los resultados deseados para cada decisión. En el caso de objetivos múltiples, algunos de ellos pueden estar en conflicto. Los objetivos pueden ser cualitativos o cuantitativos. En muchos problemas técnicos el objetivo es cuantitativo puede ser maximizar una ganancia o minimizar un costo. El que toma las desiciones debe tener la posibilidad de elegir entre 2 o mas alternativas o cursos de acción. En muchos problemas de decisión se tiene una infinidad de cursos de acción. El que toma las desiciones debe tener alguna medida del nivel en que cada curso de acción que satisface a sus objetivos. Desde luego implícitamente se supone que en caso de existir esta medida para un problema dado no es necesariamente la misma para todas las alternativas.

28 3. Cursos alternos de acción: El que toma las decisiones debe tener la posibilidad de elegir entre dos o más alternativas o cursos de acción. En muchos problemas de decisión se tiene una infinidad de cursos de acción. 4. Una medida de efectividad: El que toma las decisiones debe tener alguna medida del nivel en que cada curso de acción que satisface a sus objetivos. Desde luego implícitamente se supone que en caso de existir esta medida para un problema dado no es necesariamente la misma para todas las alternativas.

29 TERMINOLOGÍA DE MODELOS DE TOMA DE DECISIONES
Esta terminología describe las tres partes esenciales de una decisión. 1. Las decisiones alternativas de entre las cuales se debe elegir. 2. Los estados de la naturaleza, o acciones externas que enfrenta la persona encargada de tomar las decisiones. Cuando el que toma desiciones enfrenta un problema que requiere una decisión, una de las acciones que debe emprender antes de llegar a una decisión, es determinar las alternativas sobre las cuales se basara la decisión final. El que toma desiciones enfrenta una situación en la que pueden producirse resultados múltiples a partir de una estrategia determinada, enfrenta estados de la naturaleza múltiples o acciones externas múltiples. Los estados de la naturaleza son las circunstancias que afectan el resultado de la decisión pero que están fuera del control del que toma desiciones.

30 3.- El resultado que se obtiene por el uso de una alternativa cuando se presenta cierto esta de la naturaleza. 3.- Para cada combinación de estrategia y estado de la naturaleza habrá un resultado. Este resultado puede expresarse en términos de utilidades, puede expresarse en términos de alguna medida no monetaria. En general, si existen K alternativas y n estados de la naturaleza, será necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados también se denominan pagos y una tabla de resultados se denomina matriz de pagos.

31 2.1 Árbol de decisión El árbol de decisión es una forma clara y sencilla de el proceso de una toma de decisión, el cual esta formado por: Nodos de acción: (□) Representan aquellos lugares del proceso de toma de decisiones en los que se toma una decisión. Nodos de probabilidad: (0) Indican aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las que ocurre algún estado de la naturaleza. Ramas: Se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza. Nodos de accion. Representan aquellos lugares del proceso de toma de desiciones en los que se toma una decisión. Nodos de probabilidad. Indican aquellas partes del proceso de toma de desiciones en las que ocurre algun estado de la naturaleza. Ramas. Se utilizan para denotar las desiciones o los estados de la naturaleza.

32 Ejemplo Considerar el caso de una persona que esta tratando de decidir si debe llevar o no un paraguas a su trabajo el día de hoy.

33 La decisión de llevar el paraguas se muestra como un nodo de acción en la figura 2.1.
Al final de cada una de las ramas que parten de un nodo de acción habrá un nodo de probabilidad u otro nodo de acción. Los posibles estados de la naturaleza comenzarán en los nodos de probabilidad. También se muestran los posibles estados de la naturaleza para la decisión de esta persona. En este caso se han anotado también sobre la rama de probabilidad las probabilidades de que haya lluvia o esté despejado de acuerdo con la oficina meteorológica.

34 Llevar paraguas y que no llueva -1
Llevar paraguas y que llueva No llevar paraguas y que no llueva No llevar paraguas y que llueva

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36 2.2 Análisis de decisión bajo incertidumbre
En este trabajo se considerarán cinco de ellos: El de Bayes-Laplace El maximin de Wald El maximax de Baumol El de Hurwicz El minimax de Savage.

37 Criterio de Bayes-Laplace
Criterio de Bayes-Laplace El criterio establece que si no se dispone absolutamente de ninguna información sobre las probabilidades asociadas con los futuros resultados, entonces se deben asignar probabilidades iguales a cada uno de los posibles resultados y usar estas probabilidades para calcular el valor esperado de cada uno de los posibles cursos de acción.

38 Criterio maximin de Wald
Criterio maximin de Wald Para cada posible alternativa el ejecutivo determina cuál es el peor de los posibles resultados, esto es, el que le produce máximos perjuicios o beneficios mínimos. Selecciona entonces de entre todos estos últimos el que maximiza sus beneficios o minimiza sus pérdidas.

39 Criterio maximax de Baumol Al contrario del anterior, este criterio
Criterio maximax de Baumol Al contrario del anterior, este criterio corresponde a los optimistas: para cada curso de acción defínase cuál es el mejor resultado (máximas ganancias o pérdidas mínimas) y selecciónese de entre los anteriores el máximo de los máximos.

40 El ejecutivo hará un promedio ponderado entre el
Criterio de Hurwicz El ejecutivo hará un promedio ponderado entre el mejor resultado que pueda esperarse de cada curso de acción y el peor para el mismo curso. Pesimista=3/4(Peor resultado)+1/4(Mejor resultado) Optimista=1/4(Peor resultado)+3/4(Mejor resultado)

41 Criterio minimax de Savage
Criterio minimax de Savage Este criterio se ocupa del costo de oportunidad de una decisión incorrecta. A partir de la matriz de pagos se construye una nueva matriz llamada la matriz de arrepentimiento. Los elementos de esta matriz se calculan de la siguiente manera: el elemento en el renglón i y columna j de la matriz de arrepentimiento es el costo de oportunidad de elegir la i-ésima alternativa cuando el resultado obtenido es el j-ésimo. La pérdida máxima en cada renglón se identifica y la alternativa cuyo renglón tiene el menor de los arrepentimientos es seleccionada por el ejecutivo.

42 Ejemplo 2.2 Toma de decisión bajo incertidumbre
Considerar la siguiente matriz de pagos y tomar una decisión aplicando cada uno de los criterios de decisión bajo incertidumbre:

43 Criterio de Bayes-Laplace
E(A1)=m1/3(12)+1/3(-6)+1/3(24)=10 E(A2)=1/3(36)+1/3(12)+1/3(48)=32 E(A3)=1/3(-3)+1/3(60)+1/3(30)=29 La alternativa seleccionada es A2

44 Criterio maximin de Wald

45 Criterio maximax de Baumol

46 Criterio de Hurwicz

47 Pesimista: A1=3/4(-6)+1/4(24)=-18/4+24/4=6/4 A2=3/4(12)+1/4(48)=36/4+48/4=84/4 A3=3/4(-3)+1/4(60)=9/4+60/4=51/4 Pesimista: max{6/4, 84/4, 51/4} = 84/4 Selección: A2 Optimista: A1=1/4(-6)+3/4(24)=6/4+72/4=68/4 A2=1/4(12)+3/4(48)=12/4+144/4=156/4 A3=1/4(-3)+3/4(60)=-3/4+180/4=177/4 Optimista: max{68/4, 156/4, 177/4} = 177/4 Selección: A3

48 Se hará una extensión al criterio de Hurwicz para la toma de decisiones; se selecciona el mejor y el peor resultado de cada alternativa y cada uno de ellos es multiplicado por  y por (1-) respectivamente, obteniendo así los valores de cada alternativa para los valores de  establecidos:

49 La intersección de A2 con A3 se encuentra en =0.5555, por lo que se puede establecer el siguiente criterio de decisión: para valores de  de 0 a se decidirá por A2 y para valores de  de a 1.0 se decidirá por A3 (valores más altos).

50 Criterio de Savage

51 Matriz de arrepentimiento
Min{66, 48, 39} = 39 La alternativa seleccionada es A3

52 2.3 Análisis de decisión bajo riesgo
Quien toma las decisiones se enfrenta a alternativas múltiples en las que cada alternativa tiene a su vez resultados múltiples, es una práctica común encontrar el pago promedio para cada estrategia y elegir después la alternativa que tenga el mayor pago promedio. En este modelo de decisión, si existen n resultados para cada alternativa con: Oij = pago para la i-ésima alternativa dado el j-ésimo estado de la naturaleza Vi = pago promedio para la i-ésima alternativa Entonces:

53 El valor de la información perfecta
Si se sabe con exactitud cuál estado de la naturaleza ocurrirá, es fácil determinar la alternativa que debe elegirse. Se elegirá la alternativa que produce el mayor pago para cada estado de la naturaleza. Es posible calcular el valor monetario esperado para el caso de la información perfecta utilizando los pagos máximos y las probabilidades para cada estado de la naturaleza. En general, se puede plantear de la siguiente manera:

54 Para calcular el valor de la información perfecta, lo único que se tiene que determinar es la diferencia entre el valor monetario esperado con información perfecta y ese mismo valor monetario esperado sin información perfecta:

55 El valor de la información de prueba
El cálculo de la información de prueba es algo más complejo que para la información perfecta. Para comprender el procedimiento que se utiliza para realizar estos cálculos, sea: P(N|R) = la probabilidad de que ocurra en realidad el evento N,dado que el resultado de la prueba fue R

56 Para calcular P(N|R) se usa un resultado bien conocido de la probabilidad, denominado Teorema de Bayes. Este resultado expresa: Por lo general, dos de los valores que aparecen en esta fórmula pueden obtenerse a partir de datos de prueba, y el tercero puede calcularse a partir de los otros dos. Resulta fácil calcular a partir de datos previos la probabilidad de que la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P(R|N), y la probabilidad de que ocurra un resultado particular sin importar cuál sea la prueba, P(N).

57 La tercera probabilidad que aparece en la Fórmula de Bayes, P(R), es la probabilidad de que ocurra el resultado de prueba R. Esta probabilidad puede calcularse por medio del siguiente resultado de la teoría de probabilidades: En donde ̅N significa no N, o negación de N. Puesto que incluye todos los eventos que no sean N, P( ̅N ) y P(R| ̅N ) pueden ser sumas de diversos valores. Los valores de P(R| ̅N ) y P(̅N) pueden calcularse al mismo tiempo que se obtienen P(R|N) y P(N).

58 Combinando las ecuaciones anteriores se llega a una versión modificada de la ley de Bayes:
El resultado final, P(N|R), la probabilidad de que ocurra el suceso N dado el resultado de prueba R, se conoce como probabilidad a posteriori, puesto que se obtiene después del procedimiento de prueba. Una vez que se conocen los valores de la probabilidad a posteriori, es posible emplearlos para llevar a cabo el análisis pre-posterior con el objeto de determinar si debe llevarse a cabo una prueba o un muestreo.

59 Ejemplo 2.3 Determinación del valor de la información
Una compañía petrolera posee tierras que se supone contienen petróleo en el subsuelo. La compañía clasifica estas tierras en cuatro categorías, según el número total de barriles que se espera obtener, esto es, un pozo de barriles, uno de barriles, uno de barriles o un pozo seco. La compañía enfrenta el problema de perforar o no, o de rentar la tierra incondicionalmente a un perforista independiente o rentársela condicionada a la cantidad de petróleo que se encuentre.

60 El costo de perforación de un pozo productivo es de $ y el costo de perforación de un pozo seco es de $ Si el pozo es productivo, la ganancia por barril es de $1.50 (después de deducir todos los costos de producción). Si se hace un contrato incondicional, la compañía recibe $ por la renta de la tierra, mientras que con el contrato condicional, recibe 50 centavos por cada barril de petróleo extraído, siempre que el pozo sea de o barriles; de otra manera no recibe nada.

61 Esta información conduce a cuatro clasificaciones sísmicas posibles, denotadas por 1, 2, 3 y 4. La clasificación 1 indica que es definitiva la existencia de una estructura geológica cerrada en la zona (condición muy favorable para encontrar petróleo); la clasificación 2 significa que tal vez exista una estructura cerrada en la zona; la clasificación 3 indica que existe una estructura no cerrada en la zona (condición más o menos desfavorable) y la clasificación 4 dice que no hay una estructura en la zona 8condición desfavorable).

62 Con base en análisis anteriores de áreas geológicas parecidas (100 estudios de este tipo), la compañía obtiene los datos que se muestran en la tabla: Los valores entre paréntesis en cada una de las celdas se pueden interpretar como probabilidades condicionales dado el estado de la naturaleza; por ejemplo, si se trata de un pozo de barriles, entonces (3/16) se puede interpretar como probabilidad condicional de que la lectura sísmica quede clasificada como 2 (quizá una estructura cerrada en la zona)

63 La distribución de probabilidades a priori de la clasificación de la tierra es 0.10, 0.15, 0.25, y 0.50 para los estados de la naturaleza correspondientes a un pozo de , , y 0 barriles de petróleo respectivamente. Crear una matriz de pagos, obtener el valor de la información perfecta, obtener el valor de la experimentación, ¿conviene contratar los servicios de información geológica?

64 La matriz de pagos es: Se puede calcular el VME (valor monetario esperado) para cada una de las alternativas y se podría tomar la decisión por aquella que maximice el VME: Los cálculos para determinar el VME son: VME(A1)= (0.10) (0.15) (0.25) (0.50) = VME(A2)=45 000(0.10) (0.15) (0.25) (0.50) = VME(A3)= (0.10) (0.15)+0(0.25)+0(0.50) = La mejor alternativa desde el criterio de mayor VME es la alternativa A1 que corresponde a perforación.

65 Valor de la información perfecta
Se obtiene primero, el VME con información perfecta: VMEIP = (0.10) (0.15) (0.25) (0.50) = VIP = VMEIP-VME* VIP = – = Puesto que lo que se estaría dispuesto a pagar por una información perfecta es mucho mayor que lo que cuesta la información en forma de sondeos sísmicos (77 500>12 000), entonces se justifica hacer el análisis para obtener el valor de la información y decidir si conviene adquirirla o no.

66 Para esto es necesario calcular las probabilidades a posteriori con la fórmula de Bayes, lo cual puede efectuarse como un algoritmo tabular que se muestra:

67 Utilizando las probabilidades a posteriori obtenidas y con la matriz de pagos se calculan los VME con los pronósticos de la clasificación sísmica: Con pronóstico de clasificación 1: Con pronóstico de clasificación 2:

68 Con pronóstico de clasificación 3: Con pronóstico de clasificación 4:

69 Enseguida se calcula el VME de la información con los valores de la probabilidad marginal y los máximos VME calculados: VMEINFO = 0.351( ) (60 275) (45 000) (45000) = Finalmente se puede calcular el valor neto de la información: VNI = – = El valor de VNI obtenido se compara con el precio a que se vende la información, observando que el VNI supera al costo de la información; por lo que se concluye que es conveniente adquirir la información.