Circuito Electrico de Corriente Directa.

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1 Circuito Electrico de Corriente Directa

2 Resumen Histórico Es posible que el filósofo griego Tales de Mileto, que vivió en torno al 600 a.C., ya supiera que el ámbar adquiere la propiedad de atraer objetos ligeros al ser frotado. Otro filósofo griego, Teofrasto, afirmaba en un tratado escrito tres siglos después que otras sustancias poseen esa propiedad. Sin embargo, el primer estudio científico de los fenómenos eléctricos no apareció hasta el 1600 d.C., cuando se publicaron las investigaciones del médico británico William Giibert, quien aplicó el término 'eléctrico' (del griego elektron, 'ámbar') a la fuerza que ejercen esas sustancias después de ser frotadas. También distinguió entre las acciones magnética y eléctrica. La primera máquina para producir una carga eléctrica fue descrita en 1672 por el físico alemán Otto von Guericke. Estaba formada por una esfera de azufre movida por una manivela, sobre la que se inducía una carga cuando se apoyaba la mano sobre ella. El científico francés Charles François de Cisternay Du Fay fue el primero en distinguir claramente los dos tipos diferentes de carga eléctrica: positiva y negativa. El condensador más antiguo, la botella de Leyden, fue desarrollado en Estaba formado por una botella de vidrio recubierta por dos láminas de papel de estaño, una en el interior y otra en el exterior. Si se cargaba una de las láminas con una máquina electrostática, se producía una descarga violenta si se tocaban ambas láminas a la vez. El inventor estadounidense Benjamín Franklin dedicó mucho tiempo a la investigación de la electricidad. Su famoso experimento con una cometa o papalote demostró que la electricidad atmosférica que provoca los fenómenos del relámpago y el trueno es de la misma naturaleza que la carga electrostática de una botella de Leyden. Franklin desarrolló una teoría según la cual la electricidad es un 'fluido' único que existe en toda la materia, y sus efectos pueden explicarse por el exceso o la escasez de ese fluido. La ley de que la fuerza entre cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas fue demostrada experimentalmente por el químico británico Joseph Priestley alrededor de Priestley también demostró que una carga eléctrica se distribuye uniformemente sobre la superficie de una esfera metálica hueca, y que en el interior de una esfera así no existen cargas ni campos eléctricos. Charles de Coulomb inventó una balanza de torsión para medir con precisión la fuerza que se ejerce entre las cargas eléctricas. Con ese aparato confirmó las observaciones de Priestley y demostró que la fuerza entre dos cargas también es proporcional al producto de las cargas individuales. Faraday, que realizó numerosas contribuciones al estudio de la electricidad a principios del siglo XIX, también desarrolló la teoría de las líneas de fuerza eléctricas.

3 Circuito Eléctrico Circuito eléctrico es un trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos conductores, que incluye una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito. Para construir un circuito eléctrico elemental necesitamos interconectar, como mínimo, los operadores siguientes: pila eléctrica, cable, interruptor y lámpara.

4 Corriente Directa O Continua
La corriente directa (CD) o corriente continua (CC) es aquella cuyas cargas eléctricas o electrones fluyen siempre en el mismo sentido en un circuito eléctrico cerrado, moviéndose del polo negativo hacia el polo positivo de una fuente de fuerza electromotriz (FEM), tal como ocurre en las baterías, las dinamos o en cualquier otra fuente generadora de ese tipo de corriente eléctrica. Es importante conocer que ni las baterías, ni los generadores, ni ningún otro dispositivo similar crea cargas eléctricas pues, de hecho, todos los elementos conocidos en la naturaleza las contienen, pero para establecer el flujo en forma de corriente eléctrica es necesario ponerlas en movimiento. El movimiento de las cargas eléctricas se asemeja al de las moléculas de un líquido, cuando al ser  impulsadas por una bomba circulan a través de la tubería de un circuito hidráulico cerrado.

5 Fuerza Electromotriz Є= dW/dq.
Se denomina fuerza electromotriz (FEM) a la energía proveniente de cualquier fuente, medio o dispositivo que suministre corriente eléctrica. La fuente de fem es cualquier dispositivo que convierta en energía eléctrica cualquier energía de origen no electroestático, que puede ser mecánica, térmica, electromagnética o química. En una batería química la energía proviene de reacciones químicas entre dos electrodos hechos de metales diferentes que se sumergen en una solución conocida como electrolito. En un generador electromagnético la energía resulta de la acción de un campo magnético sobre sus cargas móviles. En una celda solar la fem proviene de la energía de la luz del sol. Los sistemas biológicos incluyendo el corazón humano funcionan también como fuente de fem. Se define como el trabajo dW realizado para llevar una carga positiva dq desde el terminal negativo al positivo, por unidad de carga: Є= dW/dq.

6 Es importante distinguir entre los conceptos de fem y diferencia de potencial. Una diferencia de potencial está asociada solamente con un campo electrostático (que es conservativo). En cambio, la fem está asociada con algún mecanismo no-electroestático que provee la energía requerida para mover los portadores de carga. La fem se mide en voltios: un voltio es 1 joule/coulomb. + Є - Símbolo de batería ideal. En un circuito eléctrico cerrado la. corriente circula siempre del polo. negativo al polo positivo de la. fuente de fuerza electromotriz. (FEM),

7 Batería real y su resistencia interna.
Una fuente de fem ideal sería aquella que pudiese mantener una diferencia de potencial constante entre sus terminales, sin importar el valor de la corriente que se le demande. Sin embargo, toda fuente real siempre ofrece resistencia al movimiento interno de cargas y puede ser modelada como una combinación de una batería ideal en serie con dicha resistencia interna, r. El voltaje entre los términos de la batería real sería igual a su fem (Vab = Є) únicamente cuando dichos terminales están abiertos. Cuando se le conecta a la batería una resistencia externa, R circulará una corriente I, y habrá una caída de potencial en la resistencia interna de la batería. Por lo tanto, el voltaje terminal entre A y B será menor que la fem: Vab= I.R = Є. Ir La corriente en el circuito depende de ambas resistencias; la interna r , y la externa R: I= Є R + r VAB A I B

8 Hagamos un recorrido por el circuito anterior, siguiendo la dirección de la corriente y partiendo del borne A de la batería, al cual asignamos el potencial cero. Para una carga q que entra a ese punto, la fuente de fem eleva su potencial, en Є (voltios) aumentando así su energía potencial en qЄ (joules). En la resistencia interna r, de la batería (considerándola como si estuviera separada por la fem), la carga pierde energía potencial y cuando llega al borde B el potencial ha caído en una cantidad Ir (voltios). Los alambres de conexión no tienen resistencia y el potencial se mantiene constante hasta llegar a la resistencia externa R. En esta resistencia, el potencial cae de nuevo, esta vez en una cantidad IR. A la salida de R, el potencial tiene un valor que se mantiene constante a lo largo del alambre y es igual al potencial del borde A. De esta manera, después de haber completado el recorrido alrededor del circuito A B A, a la carga regresa a su potencial electroestático original. En conclusión, en cualquier viaje completo alrededor del circuito, la suma algebraica de todas las subidas y caídas de potencial, es cero: Є – IR-Ir = 0. Є VAB VAB = Є- Ir I Voltaje terminal de la batería.

9 Reglas de Kirchhoff. Si un circuito tiene un número de derivaciones interconectadas, es necesario aplicar otras dos leyes para obtener el flujo de corriente que recorre las distintas derivaciones. Estas leyes, descubiertas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff, son conocidas como las leyes de Kirchhoff. La primera, la ley de los nudos, enuncia que en cualquier unión en un circuito a través del cual fluye una corriente constante, la suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo. La segunda ley, la ley de las mallas afirma que, comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al punto inicial, la suma neta de las fuerzas electromotrices halladas será igual a la suma neta de los productos de las resistencias halladas y de las intensidades que fluyen a través de ellas. Esta segunda ley es sencillamente una ampliación de la ley de Ohm. Leyes de Kirchhoff En este circuito eléctrico formado por dos generadores, de fuerzas electromotrices e1 y e2, y tres resistencias, R1, R2 y R3, se puede aplicar la ley de los nudos al nudo B y la ley de las mallas a las redes ABEF y BCDE.

10 Reglas de Kirchhoff -Regla de las mallas: la suma algebraicas de los cambios de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser cero. Esto es consecuencia de la conservación de la energía. En efecto, si multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por I, encontramos: ЄI - I²R - I²r = 0. ЄI = I²R + I²r. Desde el punto de vista energético, esta relación significa que la potencia generada por la batería (ЄI) es igual a la suma de las potencias disipadas por las dos resistencias. - Regla de los nodos: se refiere a la conversión de la carga en los puntos de unión de tres o más conductores. para cualquier nodo la suma algebraica de las corrientes debe ser cero. de no ser así, habría acumulación o desaparición de carga en el nodo y modificaría el campo eléctrico, lo cual estaría en desacuerdo con la suposición de estado estacionario. Para aplicar la regla de los nodos, el signo que se le asigna a una corriente que entra al nodo debe ser contrario a la de una corriente que sale del mismo. Así para el nodo mostrado en la figura, si se asignan signos positivos a las corrientes que entran I1 e I, entonces las corrientes que salen, I2 eI4,serían negativas.

11 Convención de signos para voltajes ∆V
Una vez que se han asignado los sentidos a las corrientes, podemos aplicar la regla de las mallas escribiendo los cambios de potencial, ∆V en cada elemento, con sus signos respectivos que dependerán del sentido en que se va recorriendo dicha malla: Si se recorre un resistor en el sentido de la corriente, encontramos una caída de potencial (∆V = -IR). Si se recorre un resistor en sentido contrario a la corriente, encontramos una subida de potencial (∆V = +IR). Si se recorre una fem en el sentido de su polaridad de (+) a (-), encontramos una caída de potencial (∆V = - ε). Si se recorre una fem en el sentido de su polaridad de (-) a (+), encontramos una subida de potencial (∆V= +ε). ΔV= VB – VA= -IR Caída R I - A B Recorrido ΔV= VA -VB = -IR Subida A B Recorrido - Ε + ΔV= VA -VB = - ε Caída A B Recorrido - Ε + A B Recorrido ΔV= VB – VA= +ε Subida

12 Circuito de Mallas Múltiples.
Resolver un circuito consiste generalmente en determinar ciertas incógnitas, tales como corriente, voltajes o cargas, cuando se conocen ciertos parámetros del circuito. A tal efecto, es conveniente seguir el siguiente procedimiento. R R2 R3 ε ε2 Un ejemplo. Supongamos que conocemos los vectores de las fem y de las resistencias del circuito anterior, y deseamos hallar las corrientes. Los pasos a seguir serian: Se asignan arbitrariamente los sentidos a las corrientes I1, I2, I3 en cada rama. se aplica la regla de los nodos al nodo N: las corrientes I1 e I2 entran y las llamamos positivas, mientras que I3 sale y la llamamos negativa. Se obtiene así la ecuación (1). si consideramos el nodo, M, no se consigue ninguna información adicional ya que conduce a la misma ecuación. Nodo N: I1 + I2 – I3 = 0 (1) 3. Escribimos la ecuación para las mallas adoptando el sentido horario de recorrido. Para la malla A resulta la ecuación (2). Para la malla B resulta la ecuación (3). Si consideramos la malla C, externa arrojaría una ecuación que es combinación lineal de las dos anteriores. Malla A: ε1 – I1R1 – I3R3 = 0 (2) Malla B: I3R3 + I2R2 – ε2 = 0 (3) 4. Para hallar tres incógnitas se resuelve el sistema de las tres ecuaciones independientes. Por ejemplo, si despejamos I1 e I2 de las ecuaciones (2) y (3) y las sustituimos en la ecuación (1), se obtiene la ecuación (4). Luego se reordena esta expresión para despejar I3. I3 = ε1 – I3R ε2 – I3R3 (4) R R2 I3 = ε1R2 + ε2R1 R1R2 + R1R3+ R2R3

13 Método de Corrientes Circuitales
Finalmente, se pueden determinar las corrientes I1 e I2 por sustitución de I3, en las ecuaciones (2) Y (3) respectivamente. I1 = ε1 (R2 + R3) – ε2R I2 = ε2 (R1 +R3) – ε1 R3 R1R2 +R1R3 +R2R R1R2 +R1R3 +R2R3 Los circuitos sencillos requieren de pocas ecuaciones lineales simultáneas, las cuales pueden resolver por los métodos usuales de sustitución y eliminación de variables. Cuando se maneja un gran número de mallas, el trabajo puede resultar sumamente tedioso y es más conveniente el método de las corrientes circuitales. Método de Corrientes Circuitales Este método consiste en asignar corrientes independientes a cada malla. Así, en el ejemplo mostrado las corrientes circuitales IA e IB circulan independientemente en sus respectivas mallas en sentido horario. En la malla A, la batería produce una subida de potencial (+ε1). La corriente IA produce una caída de potencial total: - (R1 + R3) IA, en tanto que en esa misma malla la corriente IB produce una subida de potencial +R3IB. La ecuación de Kirchhoff es: Malla A: +ε1 - (R1+R3) IA + R3IB = 0 Aplicando criterios similares a la otra malla: Malla B: -ε2 + R3IA - (R2 + R3) IB = 0 Observe que la corriente que antes llamábamos I3, es ahora (IA – IB). Esto asegura que se cumple la regla de los nodos y el problema se reduce a resolver dos ecuaciones simultáneas (en lugar de tres). -(R1+R3) IA + R3IB = - ε1 + R3IA - (R2 + R3) IB = + ε2

14 Circuito RC En nuestra discusión de los capacitores no hemos considerado los efectos temporales en los procesos de carga y descarga. Cuando un capacitor es conectado directamente a una fuente ideal mediante alambres ideales, adquiere una carga Q =CV en forma instantánea, (Fig. a). De manera similar, si un capacitor tiene una carga inicial Q0 y le corto-circuitamos sus terminales, esta carga desaparecerá instantáneamente (Fig. B). La situación es diferente cuando en el circuito están presentes resistores, ya que en cada instante habrá caídas de potencial que regulan el proceso, haciendo que las cargas varíen en forma gradual. (Efectos transitorios).

15 I (t) = dQ/dt = εC (1/RC) e-t/RC = ε/R e-t/RC.
Carga de un capacitor. Consideremos el proceso de carga de un capacitor C conectado en serie con un resistor R. si en el instante t = 0, cerramos el interruptor S, de acuerdo a la regla de Kirchhoff, la suma algebraica de los voltajes de la batería (ε), en el resistor (IR) y en el capacitor (Q/C), es cero: ε – IR – Q = 0 C Como la corriente es I = dQ/dt, la ecuación anterior queda: ε – R dQ – Q = 0 dt C Separando los términos de las variables de carga y tiempo: dQ = -dt ∫ dQ = ∫ dt Q–εC RC Q– εC RC Después de integrar se obtiene: Ln (Q – εC) = - t + ln Cl RC Es decir: Q (t) = εc + C1 e-t/RC La constante de integración C1 se determina por la condición inicial: Q (0) = 0, de modo que: C1= – εC: Q (t) = εC (1 – e-t/RC) Derivando esta expresión encontramos la corriente en función del tiempo. I (t) = dQ/dt = εC (1/RC) e-t/RC = ε/R e-t/RC.

16 El producto RC que aparece en la exponencial tiene dimensiones de tiempo y se denomina constante de tiempo. Esta constante, determina una escala temporal de la duración de los procesos de carga o descarga de los circuitos RC. Si la tasa inicial del proceso de carga se mantuviese constante, entonces el capacitor alcanzaría su carga total en el tiempo t = RC. I (t) Q(t) ε/R εR RC t RC t Decaimiento de la corriente constante de tiempo. t = RC Carga de un Capacitor Q(t)= εC (1 – e ) -t/RC

17 Descarga de un Capacitor.
Si el capacitor tiene una carga inicial Q0 y lo conectamos a una resistencia, de acuerdo a la regla de mallas de Kirchhoff podemos escribir: Q/C – lR = 0 La corriente del circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga del condensador (l = -dQ/dt). Así se obtiene una ecuación en Q solamente: R dQ/dt + Q/C = 0 Esta ecuación diferencial es muy común en física, y expresa que la tasa de variación, dQ/dt, de una cantidad física, Q, es proporcional a la cantidad misma. La integración es inmediata: ∫ dQ/Q = -l / RC ∫ dt ln Q = -t / RC + ln C2 La constante de integración C2 se determina por la condición inicial: Q (0) = Q0, es decir: C2 = Q0. Q(t) = Q0 e-t/RC. La corriente durante la carga es: Q Q(t) RC t I(t) = -dQ/dt = Q0 /RC e-t/RC Descarga de un Capacitor

18 condensador Es un dispositivo que tiene la propiedad de almacenar carga eléctrica. Esta constituido por dos superficies conductoras muy próximas entre sí. Cuando se conecta dos conductores muy próximos a los bornes de una batería; reciben carga de un mismo valor y signos opuestos, ocasionando un paso de carga de carga de un conductor a otro. Esta permite el paso de grandes cantidades de cargas con diferencias de potencial relativamente pequeña. Carga de un condensador: Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador esta descargado. Si se cierra el interruptor 1 carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que se alcanza la carga máxima la corriente cesa en el circuito. a b En el circuito de la figura tendremos la suma: i Vab + Vbc + Vca = 0. Vε C * El extreme a tiene u potencial mayor que el extreme b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De cuerdo con la ley de Ohm Vab = iR c I

19 La ecuación del circuito es
* La placa positive del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que Vbc = q/C. *El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que Vca = -VE, donde VE es la fem de la batería. La ecuación del circuito es R. I +VE – = 0. Descarga de un condensador: Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I. La ecuación del circuito será la siguiente: Vab + Vb a = 0. R a Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es mas alto que el potencial de b. por la ley de Ohm Vab = iR. +q C -q En el condensador la placa positiva a tiene mas potencial que la negativa b, de modo que Vba = q/C. b I

20 La ecuación del circuito es:
= 0. La ecuación a integrar es: R. = - = - - ( t -0) = - = - lnq – lnQ = - . ln = =

21 Que disminuye exponencialmente con el tiempo.
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad. I = = - exp Que disminuye exponencialmente con el tiempo. La descarga del condensador se simula mediante una experiencia en el campo de fluidos denominada descarga tubo-capilar. Esta ecuación nos permite obtener la carga almacenada en las armaduras del condensador en función del tiempo y los parámetros del circuito (V, C y R). Transcurrido un tiempo lo suficientemente largo. La carga tiende hacia un valor máximo C.VE (Q = C.VE) al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito. Q(t) = Q Q(t)=Q El producto RC que aparece en la expresión se denomina constante de tiempo del circuito, (obsérvese que el exponente siempre es adicional). T = q(t)= Q

22 Q (t) periodo transitorio régimen estacionario
q (τ) = Q τ 1τ τ τ τ τ τ τ . La representación grafica de la carga del condensador q en función de t, dada por la expresión anterior, esta en la grafica. Se observa que la carga crece rápidamente al comienzo. Luego aumenta con mas lentitud y, por ultimo, se aproxima asintóticamente a su valor final, siendo necesario un tiempo teóricamente definido para que el condensador quede totalmente cargado. La carga del condensador al cabo de un tiempo igual a la constante de tiempo, t =τ, vale sustituyendo t por la expresión anterior: q(t)= Q

23 En el intervalo comprendido entre t= 0 y t
Es decir, al cabo de una constante de tiempo, la carga almacenada en el condensador en el proceso de carga a partir de una carga inicial nula es aproximadamente el 63% de la carga máxima que puede almacenar el condensador tras el proceso. Al cabo de cinco constantes de tiempo, t = 5τ, el condensador adquiere casi la totalidad de la carga máxima, por lo que a efectos prácticos se puede considerar cargado. En el intervalo comprendido entre t= 0 y t , la carga del condensador varía con el tiempo (también varía la tensión entre sus armaduras, y la intensidad de corriente como veremos después, etc.). Por lo que este período de tiempo se denomina período transitorio, o simplemente transitorio. A partir de, aproximadamente 5τ, las variables eléctricas del circuito permanecen constante en el tiempo, por lo que el circuito entra en régimen estacionario. (Se define el período transitorio con más rigor de la siguiente forma: como el tiempo que transcurre entre dos situaciones estacionarias, durante el cual las variables eléctricas varían con el tiempo de forma no periódica). Cuanto menor sea la constante de tiempo mas corto será el periodo transitorio y mas pronto se cargará totalmente el condensador. Derivando: con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo. I = q = VE . C = = exp

24 La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando se alcanza la carga máxima. La analogía hidráulica de la carga de un condensador es un tubo capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte. Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i = dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar t Q ∫ ∫ t

25 LA LEY DE OHM Postulado General de la ley de Ohm
La Ley de Ohm, postulada por el físico y matemático alemán Georg Simon Ohm, es una de las leyes fundamentales de la electrodinámica, estrechamente vinculada a los valores de las unidades básicas presentes en cualquier circuito eléctrico como son: Tensión o voltaje (E), en volt (V). Intensidad de la corriente (I), en ampere (A) o sus submúltipos. Resistencia (R) de la carga o consumidor conectado al circuito en ohm (    ), o sus múltiplos. Circuito eléctrico compuesto por una pila de 1,5 volt, una resistencia o carga eléctrica y el flujo de una< intensidad de corriente. Postulado General de la ley de Ohm El flujo de corriente en ampere que circula por un circuito eléctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensión o voltaje aplicado, e inversamente proporcional a la resistencia en ohm de la carga que tiene conectada.

26 Puente de Wheatstone Figura 1.- Disposición del Puente de Wheatstone
Un puente de Wheatstone es un instrumento eléctrico de medida inventado por. Samuel Hunter Christie en 1832, mejorado y popularizado por Sir Charles Wheatstone en Se utiliza para medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente. Estos están constituidos por cuatro resistencias que forman un circuito cerrado, siendo una de ellas la resistencia bajo medida. Figura 1.- Disposición del Puente de Wheatstone Figura 2.- Imagen de un Puente de Wheatstone típico En la Figura 1 vemos que, Rx es la resistencia cuyo valor queremos determinar, R1, R2 y R3 son resistencias de valores conocidos, además la resistencia R2 es ajustable. Si la relación de las dos resistencias del brazo conocido R2/R1) es igual a la relación de las dos del brazo desconocido (Rx/R3), el voltaje entre los dos puntos medios será nulo y por tanto no circulará corriente alguna entre esos dos puntos.

27 Para efectuar la medida lo que se hace es variar la resistencia R2 hasta alcanzar el punto de equilibrio. La detección de corriente nula se puede hacer con gran precisión mediante el galvanómetro G. La dirección de la corriente, en caso de desequilibrio, indica si R2 es demasiado alta o demasiado baja. El valor de la FEM.. (E) del generador es indiferente y no afecta a la medida. Cuando el puente esta construido de forma que R1 es igual a R3, Rx es igual a R2 en condición de equilibrio. (corriente nula por el galvanómetro). Asimismo, en condición de equilibrio siempre se cumple que: Si los valores de R1, R2 y R3 se conocen con mucha precisión, el valor de Rx puede ser determinado igualmente con precisión. Pequeños cambios en el valor de Rx romperán el equilibrio y serán claramente detectados por la indicación del galvanómetro. De forma alternativa, si los valores de R1, R2 y R3 son conocidos y R2 no es ajustable, la corriente que fluye a través del galvanómetro puede ser utilizada para calcular el valor de Rx siendo este procedimiento más rápido que el ajustar a cero la corriente a través del medidor. Variantes del puente de Wheatstone se pueden utilizar para la medida de impedancias, capacidades e inductancias La disposición en puente también es ampliamente utilizada en instrumentación electrónica. Para ello, se sustituyen una o más resistencias por sensores, que al variar su resistencia dan lugar a una salida proporcional a la variación. A la salida del puente (en la Figura 1, donde está el galvanómetro) suele colocarse un amplificador.

28 Impedancia La aplicación de la ley de Ohm a los circuitos en los que existe una corriente alterna se complica por el hecho de que siempre estarán presentes la capacitancia y la inductancia. La inductancia hace que el valor máximo de una corriente alterna sea menor que el valor máximo de la tensión; la capacitancia hace que el valor máximo de la tensión sea menor que el valor máximo de la corriente. La capacitancia y la inductancia inhiben el flujo de corriente alterna y deben tomarse en cuenta al calcularlo. La intensidad de corriente en los circuitos de CA puede determinarse gráficamente mediante vectores o con la ecuación algebraica en la que L es la inductancia, C la capacitancia y f la frecuencia de la corriente. El valor obtenido en el denominador de la fracción se denomina impedancia del circuito y suele representarse por la letra Z. Por consiguiente, la ley de Ohm para los circuitos integrados suele expresarse por la ecuación sencilla I = e / Z.

29 Componentes de una lámpara fluorescente
Una lámpara fluorescente consta de un tubo revestido con fósforo, un cebador y una bobina de inductancia. El tubo está relleno con un gas inerte (argón) y una pequeña cantidad de vapor de mercurio. El cebador aplica corriente a los dos filamentos al encender la lámpara. Los filamentos generan electrones para ionizar el argón, formando un plasma que conduce la electricidad. La bobina de inductancia limita la cantidad de corriente que puede fluir a través del tubo. El plasma excita los átomos de mercurio que, como consecuencia, emiten luz visible y luz ultravioleta. La luz golpea contra el revestimiento de fósforo del interior de la lámpara, que convierte la luz ultravioleta en luz más visible. Los diferentes fósforos generan colores más cálidos o más fríos.

30 Lámpara incandescente
En una lámpara incandescente, una corriente eléctrica fluye a través de un delgado hilo de volframio denominado filamento. La corriente lo calienta hasta alcanzar unos ºC, lo que provoca que emita tanto calor como luz. La bombilla o foco debe estar rellena con un gas inerte para impedir que el filamento arda. Durante muchos años, las lámparas incandescentes se rellenaban con una mezcla de nitrógeno y argón. Desde hace un tiempo comenzó a utilizarse un gas poco común, el criptón, ya que permite que el filamento funcione a una temperatura mayor, lo que da como resultado una luz más brillante.

31 LUIGI GALVANI Los historiadores han logrado descubrir que en Europa, desde mediados del siglo XVIII, hubo muchos sabios que se dedicaron a estudiar la electricidad que se producía en algunos animales. No fue, pues, puro azar que en el laboratorio del profesor anatomista de la Universidad de Bolonia Luigi Galvani ( ) sus discípulos se percataran, un día de septiembre de 1786, que las patas de las ranas se contraían al sacar chispas de la máquina eléctrica (Galvani la había construido en 1780) y tocar simultáneamente los nervios musculares con el bisturí. Investigando el hecho, Galvani pudo comprobar que la condición característica del fenómeno era un arco conductor formado por dos metales y unido por sus extremidades libres con el nervio o músculo de la rana, dando así un circuito completo.

32 EL EXPERIMENTO DE GALVANI
Hasta fines del siglo XVIII, las investigaciones de los electricistas habían sido casi exclusivamente cualitativa. Hacia 1770 varios físicos, seducidos por la semejanza entre la atracción de la gravedad y la eléctrica, sugirieron la idea de que la ley podría ser análoga en ambos casos, cuando no idéntica. El ingeniero francés Charles-Augustin de Coulomb construyó una sensible balanza de torsión y logró demostrar que la ley newtoniana de la razón inversa de los cuadrados rige también la atracción y la repulsión de las masas eléctricas y magnéticas. La primera ley numérica en el vasto campo de los fenómenos eléctricos estaba descubierta. Las formulaciones matemáticas para poder describir el comportamiento de la fuerza eléctrica fueron desarrolladas en el año 1785 por Charles-Augustin de Coulomb, famoso también por sus investigaciones sobre el magnetismo, el roce, las fuerzas insertas en estructuras de ingeniería, y otros temas. Ahora bien, nos es posible estimar, por ejemplo, en lo que respecta a distancia, que la «fuerza de Coulomb» es igual a la de gravedad como la describió Newton: al duplicar la distancia, su magnitud disminuye a la cuarta parte (ley inversa del cuadrado de la distancia). Muy semejante verdad. Pero pese a ello, hay una diferencia fundamental entre ambas fuerzas. Mientras la gravedad depende de la masa del objeto (se duplica cuando se duplica la masa), la fuerza eléctrica sólo depende de su carga (también se duplica con la carga, pero permanece invariable si se dobla en tamaño la masa). Podemos describir también el fenómeno, señalando que mientras dos cuerpos de distinta masa caen igual hacia un tercero que los atrae por gravedad, dos objetos de diferente carga caen en forma diferente si son atraídos eléctricamente hacia un tercero. La fuerza eléctrica no es reductible a una propiedad geométrica del espaciotiempo, como lo es la gravedad.

33 PROBLEMAS RESUELTOS Solución.
PR.. ¿Qué indicaran los dos amperímetros? En el circuito mostrado hay una resistencia R y cuatro amperímetros idénticos de igual interna r, desconocida. Sabemos que la lectura del Amperímetro A2 es 2 amperes y que la del amperímetro A3 es de 3 amperes. ¿Cuál de las lecturas de los amperímetros A1 y A4? 2A R= 5Ω A2 b) Halle la resistencia interna r, de los amperímetros. A1 3A A4 A3 Solución. Podemos relacionar los voltajes en los amperímetros A1, A2 y A3 aplicando kirchhoff a la malla cdbc: -I1r – (2A)r + (3A)r = 0 R r IR d 2A Simplificando las r, hallamos la corriente I1: a b I1 r I1 = 3A – 2A = 1A Aplicando kirchhoff al nodo d, hallamos iR: r r I4 3A C IR + I1 = 2A. IR = 2A – I1 = 2A – 1A = 1A. Aplicando Kirchhoff al nodo c, hallamos I4: I4 = I1 + 3Av= 1A + 3A = 4A. Finalmente se halla el valor de r aplicando kirchhoff a la malla cadc: I4r – IRR +I1r = 0 (4A)r – (1A)R + (1A)r = 0. r= R/5. Respuesta: a) I1 = 1A I4= 4A b) r= R/5.

34 PR. ¿Cual será la lectura del voltímetro V2?
En el circuito mostrado se tienen tres resistencias de igual valor. R y tres voltímetros idénticos de resistencias internas r, desconocidas. La lectura del primer voltímetro es V1 = 5 voltios y la del tercero es V3 = 1 voltio. ¿Cual es la lectura v2 del segundo voltímetro? ¿Cuál es el valor de r? R R R + V1 V2 V3 Solución: por el tercer voltímetro pasa una corriente I3 = V3/ r que produce en R una caída del potencial I3R = V3R/r. la corriente en el segundo voltímetro es: - I2: = = La corriente en la segunda resistencia R es (I2 + I3) y la caída de potencial allí es: Vab = (I2 + I3)R = R R R El voltaje en el primer voltímetro es: a b I1 I2 I3 V1 = Vac = Vab + Vbd = + - V1 r r V3 r V1 = C d

35 PR. Determine las corrientes en cada rama.
Si llamamos x = R/r, tenemos una ecuación cuadrática cuya solución positiva es: X2 + 3X – 4 = 0 X = R/r = Con este valor de r = R, hallamos la lectura del segundo voltímetro: V2 = I3(R + r) = PR. Determine las corrientes en cada rama. Para el circuito mostrado, determine: a) La corriente en cada rama. b) La resistencia vista desde la batería. Solución: La simetría indica que el numero de corrientes a determinar es solo cuatro y que existen solo dos ecuaciones independientes en nodos: Nodos a y b: I1 + I2 = I (1) Nodos d y c: I2 + I3 = I (2) R R R R R Existen solo dos ecuaciones independientes de mallas: Malla dcdb: - I3R – I1R + I2R = 0 (3) Malla acba: - I2R – I1R + Є = (4) ε + - De las ecuaciones (2) y (3) encontramos: I1 – I2 = I2 – I1. Es decir, I1 = I2. De la ecuación (4) se deduce que: I1 = I2 =

36 PR. Corriente inicial y mucho después de cerrar S.
De la ecuación (3) hallamos: R I3 d c I3 = I1 – I2 = 0 Similarmente, de la ecuación (1) hallamos: R R R R I = I1 + I2 = I2 I1 I2 I1 ε b) La resistencia del circuito vista desde la batería es: + - a b Rab = I PR. Corriente inicial y mucho después de cerrar S. En el circuito mostrado todas las resistencias tienen igual valor, R1 = R2 = R3 = R. el capacitor esta inicialmente descargado y en t = 0 se cierra el interruptor. a) Determine la corriente en cada resistencia en t = 0 b) Determine la corriente en cada resistencia y la carga del capacitador en t = ∞. S R1 R3 R2 + ε C -

37 Como R2 = R3, esta corriente se divide por igual en R2 y R3:
Solución. a) En el instante inicial t = 0, el capacitor está descargado y su voltaje es cero. La situación en ese instante es como si el capacitor fuera reemplazado por un alambre (fig. a). la resistencia R1 queda en serie con la combinación de R2 en paralelo con R3. Por lo tanto, la corriente en R1 (y también en la batería) es: I1 S I2 I3 R1 R2 R3 + ε - Como R2 = R3, esta corriente se divide por igual en R2 y R3: a) Circuito t = 0 I2 = I3 = b) En la situación final, t= ∞, el capacitor estará completamente cargador y la corriente de esa rama será cero (I3 = 0). A los efectos de las corrientes, es como si esa rama estuviese desconectada. La corriente en la resistencia R1 es la misma que en la resistencia R2 y vale: I1 = I2 = Como no hay caída de voltaje R3, el voltaje en el capacitor es el mismo que el de la resistencia R2, es decir: Vc = VR2 = Є/2, I1 S I1 R1 R3 Y la carga final del capacitor es: R2 + + Q ε C - - b) Circuito en t =∞

38 PR. ¡La mitad de la energía siempre se pierde!
Sean dos capacitares de igual capacitancia C, uno tiene una carga inicial Q0 y el otro está inicialmente descargado. Al cerrar el interruptor S los capacitares quedan conectados a través de una resistencia R. a) ¿Cuál será la distribución final de las cargas? b) Demuestre que la mitad de la energía inicial se pierde. c) ¿A dónde fue la energía perdida? S R + C C Q0 - Solución: a) La carga total Q0 se conserva, y habrán un flujo de cargas de un capacitor al otro. Al finalizar el proceso, la carga quedará distribuida de tal manera que los voltajes de los capacitadotes son iguales para garantizar que la corriente en R sea cero. Por ser los capacitadotes idénticos, a cada uno le tocara la misma carga de Q0/2. I = 0 S R Q Q2 V V C C

39 Inicialmente la energía esta almacenada en uno de los capacitares:
Finalmente la energía quedara almacenada por igual en los capacitores: Esto significa que la energía total final en los dos capacitares es la mitad de la energía inicial: C) podríamos suponer que el 50% de la energía inicial se ha perdido como energía térmica por calentamiento Joule en la resistencia R. Pero ¿dependerá esto del valor de R?

40 PR. Resistencia entre dos esquinas de un cubo I.
Doce alambres idénticos con resistencia R, se sueldan por las puntas formando un cubo, con alambre en cada arista. ¿Cuál de las resistencia entre las esquinas opuestas de la diagonal A y B del cuerpo del cubo? A B Solución. a) Al aplicar una diferencia de potencial entre A y B, pasa una corriente I que entra al cubo por la esquina A y sale por la esquina B. Debido a la simetría, esta corriente se divide en el punto A, en partes iguales (I/3) entre las tres aristas. Si consideramos la rama AC, la corriente I/3 se ramifica a su vez en el punto C en dos parte iguales de valor I/6. La corriente en CD se denomina en el punto D con la corriente de igual valor (I/6) proveniente de la rama simétrica para dar: I/6 + I/6 = I/3 en la rama DB. Finalmente, las tres corrientes de valor (I/3) de las ramas simétricas concurren en el punto B para sumar: I/3 + I/3 + I/3 = I.

41 Por lo tanto, la resistencia entre A y B es:
D C I/6 I/3 C D B D I b) Por otra parte, si recorremos el camino ACDB, la diferencia de potencial entre A y B es la suma de las diferencias de potenciales en las tres ramas consecutivas: Por lo tanto, la resistencia entre A y B es:

42 Pr. Baterías serie Vs. Paralelo:¿Cual da mas corriente?
Un grupo de N baterías idénticas de fem = ε y resistencia interna r, se conectan todas en paralelo o todas en serie, y luego se conecta la combinación a una resistencia R. Determine la corriente en R para la combinación serie. Determine la corriente para la combinación paralelo. Demuestre que darán la misma corriente si R = r Solución: a) con las baterías en serie, la corriente en la resistencia R es igual a la corriente en cada batería, el voltaje VR es la suma de las fem de las baterías (Nε) menos la suma de las caídas de potencial en las resistencias internas: a) N baterías es serie VR = I R = Nε – N (I r) ε r ε r ε r La corriente es: I = ε I r + R/N R b) Con las baterías en paralelo, el voltaje VR = IRR es igual al voltaje Terminal en cada batería, o sea, la fem menos la caída de potencial interna: b) N Baterías en paralelo Ib ε r Ib ε r IR R VR= IRR = ε – Ib r Ib ε r La corriente IR es la suma de todas las corrientes de las N baterías IR= N Ib. Eliminando Ib de estas dos ecuaciones queda que: IR = ε R + r/N c) Si comparamos las expresiones obtenidas para IR se observa que la corriente seria igual, en ambas combinaciones, cuando R = r.

43 La corriente de la batería es:
Pr. Intercambio de batería y amperímetro, da igual. si se intercambian de lugar el amperímetro y la batería (Fig. b), demuestre que la lectura del amperímetro no se altera. Considere que los valores R1= 1Ω, R2= 2 Ω, R3= 3 Ω, ε = 11v. El amperímetro y la batería son ideales Determine la lectura del amperímetro en el circuito a R R R3 ε R R R3 A ε A Solución: como la resistencia interna del amperímetro es nula, en el circuito de la figura a, la batería ve una resistencia equivalente constituida por R1 en serie con la combinación R2// R3, es decir: R = 1 Ω + (2 Ω) (3 Ω) = 1 Ω + 6/5 Ω = 11/5 Ω 2 Ω + 3 Ω 5A 2A La corriente de la batería es: I = ε = 11v = A R 11/5 Ω 3Ω 2Ω 1Ω 11v A Esta Corriente de 5A se bifurca en el nodo de R2 y R3 en proporción inversa a sus valores, es decir, 3:2. Por lo tanto, la corriente R2 es 3A y en R3 (y en el amperímetro) es 2A. A b) En el circuito de la figura b, la batería ve una resistencia constituida por R3 en serie con la combinación R1//R2: Esta corriente de 3A se bifurca en el nodo de R1 y R2 en proporción inversa a sus valores, es decir, 2:1 por lo tanto, la corriente en R2 es 1A y en R1 (en el amperímetro) es 2A R = 3 Ω + (2 Ω) (1 Ω) = 3 Ω + 2/3 Ω = 11/3 Ω 2 Ω + 1 Ω La corriente de la batería es: I= ε = 11v = 3A R 11/3 Ω

44 Pr. Una pila para que el Amperímetro indique 1A
Se requiere una pila para alimentar el circuito mostrado en la figura de modo que la lectura del amperímetro sea 1 ampere en el sentido indicado. Suponiendo que la resistencia interna de la pila es despreciable, ¿Cuál será su fem? 2Ω 1 A 4 Ω A Solución: Como el amperímetro no tiene resistencia, el voltaje en la resistencia superior de 2 Ω es igual al de la resistencia de 4 Ω, es decir, Vac = (4 Ω) (1A) = 4 v. la corriente en esa resistencia es 4v/ 2 Ω = 2A. por lo tanto la corriente en la resistencia inferior de 2 Ω es 1A + 2A = 3A. por otra parte, el voltaje en la resistencia de 5 Ω es: + 5Ω ε=? - 2Ω 1Ω 4Ω Vbe = Vb – Ve = (1A) (4 Ω) + (3A)(2 Ω) = 10v La corriente en la resistencia de 5 Ω es: 10v/5 Ω = 2A en el sentido b hacia e. Finalmente para hallar la fem de la batería aplicamos la regla de Kirchhoff a la malla abed: (Va – Vd) – 0 – (2A)(5 Ω) – (5A)(1 Ω) = 0 ε = Vad= (2A)(5 Ω) + (5A)(1 Ω) = 15v La Pila debe tener una fem de 15 Voltios. 2Ω 2A 1 A 3A 4 Ω c f A a d 2A + 5Ω 3A - 1Ω 2Ω 5A

45 Verifique su comprensión.
.PE-7.01 Una Fuerza Electromotriz es: a) Una fuerza de origen eléctrico. b) Una energía potencial electrostática. c) Un trabajo por unidad de tiempo. d) Un trabajo por unidad de carga. e) El voltaje entre los terminales de una batería. PE-7.02 ¿Cuál de estas afirmaciones no es correcta? a) La regla de Kirchhoff de las mallas es consecuencia de la naturaleza conservativa de la fuerza eléctrica. b) Según la regla de Kirchhoff de los nodos la cantidad de carga que entra a un punto debe ser igual a la que sale del dicho punto. c) En un circuito, el voltaje entre los terminales de una batería podría exceder el valor de la fem de la batería. d) El tiempo que tarda un capacitor en cargarse mediante una batería no depende del valor de la fem de la batería. e) Las reglas de Kirchhoff se aplican solamente a elementos del circuito que obedezcan.

46 PE-7.03. Una batería en auxilio de otra batería.
Se tienen dos baterías de automóvil, A y B. El voltaje medido entre los terminales abiertos de la batería A es VA= 8V y su resistencia interna es rA= 9 Ω, mientras que el voltaje medio entre los terminales abiertos de la batería B ES VB= 12V y su resistencia es rB= 1 Ω. Ultra carga Larga vida Batería A Batería B Si se conectan las dos baterías en paralelo, borne (+) con borne (+) y borne (-)con borne (-), el voltaje que se obtiene entre sus terminales comunes es: a) Cero. b) 9,20 voltios. c)11,6 voltios. d)10,8 voltios. e)8,40 voltios.

47 PE-7.04. Cerrando un circuito con pura pilas
Un estudiante conecta tres pilas idénticas de fem= 1,5 voltios y resistencias internas 1 Ω, formando un circuito cerrado, de modo que el polo (+) de una pila esta conectado al polo (-) de la siguiente, como se ilustra en la figura. Si el estudiante mide con un voltímetro a través de los bornes A y B de una de las pilas. + 1.5V 1.5 V + + 1.5 V A B ¿Cuál será la lectura del voltímetro? a) Cero. b) 1,5 V. c) 2,0 V. d) 3,0 V. e) 4,5 V.

48 Pe-7.05. Busque una buena ruta y sígala con Kirchhoff.
En el circuito mostrado todas las baterías son idénticas, con fem de 1 voltio y de resistencias internas despreciables. La resistencia R vale 1 Ω y el resto de las resistencias tienen un valor de 0,5 Ω. Se desprecia la resistencia de los alambres de conexión. La corriente que circula por la resistencia R es: a) Cero. b) 1 A. c) 2 A. d) 3 A. e) 4 A. R PE ¡Cuidado con quemar los bombillos! Tres bombillos idénticos A, B Y C, se encuentran conectados en serie a una batería ideal. ¿Qué sucederá al conectar un alambre entre los puntos 1 y 2? 1 B C A 2

49 a) Los tres siguen brillando con igual intensidad.
b) Los tres brillan igual, pero con menor intensidad. c) Los tres bombillos se apagan. d) El bombillo A brilla menos, mientras que los bombillos B y C brillan más. e) El bombillo A brilla más, mientras que los bombillos B y C se apagan. PE Dos pilas para dos bombillos. Dos bombillos idénticos se encuentran conectados en serie a dos pilas ideales idénticas. ¿Qué sucederá al conectar con un interruptor S los puntos 1 y 2? 1 A B S + + 2 a) Los dos bombillos siguen brillando igual que antes. b) Los dos bombillos brillan igual pero con menor intensidad. c) Los dos bombillos se apagan. d) El bombillo A brilla menos y el bombillo B brilla más. e) El bombillo A brilla más y el bombillo B brilla menos.

50 b) Los bombillos A y B brillan igual que antes y el C no prende.
+ + a) Los bombillos A y B brillan igual que antes y el bombillo C brilla más que ellos. b) Los bombillos A y B brillan igual que antes y el C no prende. c) El bombillo C prende y los bombillos A y B se apagan. d) Los bombillos B y C brillan mas que el bombillo A. e) Los bombillos B y C brillan mas que el bombillo A. PE Variación de la corriente en R2. PE Variación de la corriente en R2. PE – variación de la corriente en R2 El circuito mostrado a la derecha, el capacitor esta inicialmente descargado y en el instante t=0 se cierra el interruptor S. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la corriente I de la batería en función del tiempo? R S + R ε C - a) b) I c) d) I e) I I I T T T T T

51 PE-7.11. Cargando capacitor con corriente constante.
Supongo que se desea cargar un condensador manteniendo la corriente constante. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría la diferencia de potencial a través del condensador en el transcurso del tiempo? e) Vc Vc d) Vc Vc c) Vc b) a) T T T T T PE Distintos comportamientos de una pila. Cuando una pila de fem desconocida se conecta al circuito A, una corriente de 2 A sale de su borne positivo y el voltaje entre sus bornes es 5v. Cuando la misma pila se conecta al circuito B, una corriente de 4 A entra a su borne positivo y el voltaje entre sus bornes es 8 V. 4A 2A Circuito B Circuito A + + 5v 8v ¿ cual es la fem de esta pila? A) 5.5V. b) 6.0V. c) 6.5V. d) 7.0V. e) 7.5V

52 PE-7.13. Mismo potencial para distintas resistencias.
Cuando una batería de resistencia interna r esta conectada a una resistencia R1, esta disipa una cierta potencia. Cuando la misma batería se conecta a otra resistencia, R2 ≠ R1, esta disipa la misma potencia. ¿Qué relación guarda los valores de R1 y R2 ? a) R1 – R2 = r. b) R1 R2 = r R1 + R2. c) R1 + R2 = r 2 d) R1.R2 = r2 E) Es imposible. PE Distribución de corriente en un puente. Cinco resistencias están conectadas en un circuito tipo puente, y son conocidas los valores de las dos corrientes en las ramas indicadas. ¿ Cual será la lectura del amperímetro que esta en serie con la resistencia de 3Ω? 1Ω 1Ω a) 1/2 A. b) cero. c) 1/4 A. d) 1/3 A. e) 2/3 A. 1A 3Ω 1/3A A 2Ω 2Ω

53 PE- 7.15 Voltajes entre capacitores.
En el circuito de capacitancias mostrado, la diferencia de potencial entre los puntos a y b es: + 6 v a) Vab = 0. b) Vab = 3V. c) Vab = 2V. d) Vab = 4V. e) Vab = 1V. C 2C a b 2C C PE Carga del capacitor. Un capacitor esta conectado a cuatro resistencias en un puente, como indica la figura. La carga del capacitor es: a) Q= 0, b) Q= 1µC, c) Q= 4µC, d) Q=3µC, e) Q= 2µC. + 5V 1Ω 3Ω 1μF 4Ω 2Ω

54 PE- 7.17. ¿Cuál es el grafico del voltaje de salida?
Un potenciómetro AB esta conectado a una batería de la manera mostrada en la figura. A medida que movemos el cursor del potenciómetro de A hasta B, se mide con un voltímetro el voltaje de salida. ¿Cuál de estos gráficos representa el voltaje V en función de la posición, x? ε - + V d) c) V V b) a) V B A X A B A B A B A B V PE ¿Cuál bombillo brilla más, cual brilla menos? Cinco bombillos idénticos están conectados a una pila como muestra la figura. Suponga que todos los bombillos presentan igual resistencia, independiente del voltaje aplicado. ¿Cómo se compara las potencias de los bombillos? E a) PA > PD> PC> PE. b) PE> PC = PB> PD> PA. c) PB = Pc >PD> PE>PA. d) PA> PE> PD> PC = PC. e) PA = PE = PD> PB = PC. C D B A +

55 Bibliografía FIGUEROA, Douglas. Interacción Eléctrica Cuarta Edición Vol. 5 serie Física para ciencias e ingenierías año 2005 caracas Venezuela SERWAY, R.A: Física, Volumen 2, cuarta edición, McGraw-Hill, 1977 Enciclopedia Microsoft Encarta, corriente eléctrica. http.google.co.ve/librosvivos/electricidad/corrienteeléctrica/circuitosphpt.dxhdhx