CÁLCULO VISUAL Teorema de Mamikon.

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1 CÁLCULO VISUAL Teorema de Mamikon

2 Como todos los grandes descubrimientos, se basa en una idea simple
Los cuatro problemas clásicos que a continuación se presentan así como también muchos más del cálculo se pueden también solucionar por un nuevo método que confíe en la intuición geométrica y sea entendido fácilmente por los estudiantes muy jóvenes. Por otra parte, el nuevo método también soluciona algunos problemas que al parecer no tienen solución por cálculo y permite muchas generalizaciones.

3 Encuentre el área de un segmento parabólico .
El cuadro 1 demuestra un segmento parabólico, la región sombreada debajo del gráfico de la parábola y = x2 y sobre el intervalo a partir de la 0 al x.  

4 Area de la región debajo de una curva exponencial
En la gráfica se muestra la función exponencial. Deseamos el área de la región sombreada debajo del gráfico a cualquier punto x.

5 Area de la región debajo de un arco de una cicloide.
Una cicloide es la trayectoria remontada hacia fuera por un punto fijo en el límite de un disco circular que ruede a lo largo de una línea horizontal, y deseamos el área de la región sombreada. Este problema se puede también hacer por cálculo pero es más difícil que los primeros dos. Primero, tienes que encontrar una ecuación para la cicloide, que no es exactamente trivial. Entonces usted tiene que integrar esto para conseguir el área requerida.

6 Cicloide

7 Area de la región bajo tractriz.
Cuando un niño arrastra un juguete a lo largo del piso con una secuencia de la longitud constante, el juguete remonta fuera de una tractriz mientras que el niño camina a lo largo del eje de x toda la manera al infinito. Deseamos encontrar el área de la región entre el tractriz y el eje de x. Para solucionar esto por el método normal del cálculo, tenemos que encontrar la ecuación de la tractriz. Una vez que tenga la ecuación del tractriz tiene que integrarlo para conseguir el área. Puede ser hecha, pero el cálculo está exigiendo dificultad.

8 TRACTRIZ

9 Trayectoria de la bicicleta
El problema que demuestra la trayectoria remontada hacia fuera por la rueda delantera de una bicicleta en el movimiento. La rueda posterior remonta fuera de otra curva, y el problema es encontrar el área de la región entre estas dos curvas pues la bicicleta se mueve desde una posición inicial a una posición final. Para hacer esto con cálculo usted necesitaría las ecuaciones para las curvas. ¡Con Mamikon no necesitamos ecuación alguna!

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11 Aplicaciones del teorema de Mamikon

12 Teorema de Mamikon para los anillos ovales
El círculo interno tiene radio r su área es r2, y si el círculo externo tiene su área del radio R es R2 Así que el área del anillo es igual al = (R2 - r2). Encuentre el área del anillo anular.

13 Pero los dos radios y la tangente forman un triángulo recto con los catetos r y a/2 y la hipotenusa R. Y por el teorema de Pitágoras, sabemos que cada anillo tiene área a2/4.

14 Tome la mitad del acorde y piense en ella como vector de la tangente de la longitud a/2 al círculo interno. Moviendo este vector de la tangente alrededor del círculo interno, vemos que barre fuera del anillo anular entre los dos círculos. Ahora, traduzca cada vector de la tangente paralelo a sí mismo así que el punto de la tangencia se trae a un punto común. Mientras que el vector de la tangente se mueve alrededor del círculo interno, el vector traducido rota una vez alrededor de este punto común y remonta fuera de un disco circular del radio a/2.

15 Los vectores de la tangente barren tan fuera de un disco circular, como si todos fueron centrados en el mismo punto, este disco tiene la misma área que el anillo.

16 Mamikon realizó que este acercamiento dinámico también trabajaría si el círculo interno es substituido por una curva oval arbitraria. Mientras que el segmento de la tangente de la longitud constante se mueve una vez alrededor de cada elipse, barre fuera de una forma anular más general que llamamos un anillo oval.

17 Podemos traducir otra vez cada segmento de la tangente paralelo a sí mismo así que el punto de la tangencia se trae a un punto común. Mientras que la tangente se mueve alrededor del óvalo, los segmentos traducidos remontan fuera de un disco circular que radio sea esa longitud constante. Así pues, el área del anillo oval debe ser el área del disco circular.

18 El teorema de pitagoras no puede ayudarle a encontrar las áreas para estos anillos ovales. Si el óvalo interno es una elipse usted puede calcular las áreas por el cálculo integral ¡pero si usted hace este cálculo usted encuentra todos estos anillos ovales para tener áreas iguales dependiendo solamente de la longitud del segmento de la tangente!

19 Mientras que el segmento de la tangente se mueve a lo largo de un borde, no cambia la dirección así que no barre fuera de cualquier área. Mientras que se mueve alrededor de una cima a partir de un borde al siguiente, barre fuera de parte de un sector circular. Y como circunda el triángulo entero que barre fuera de tres sectores circulares que, juntos, llenen hacia fuera un disco circular , según lo demostrado en el cuadro. Igual es verdad para cualquier polígono convexo.

20 El área de la región barrida hacia fuera por un segmento de la tangente de la longitud dada que se mueve alrededor de cualquier polígono convexo es igual al área de un disco circular que radio sea esa longitud. Por lo tanto igual es verdad para cualquier curva convexa que sea un límite de polígonos convexos.

21 TEOREMA DE MAMIKON PARA LOS ANILLOS OVALES
Todos los anillos ovales barridos hacia fuera por un segmento de recta de la longitud dada con una tangente de punto final a una curva lisa cerrada plana tienen áreas iguales, sin tener en cuenta el tamaño o la forma de la curva interior. Además, el área depende sólo de la longitud L de la tangente segmentan y es igual a ¼ L2, el área de un disco de radio L, como si el segmento de tangente fue hecho girar sobre su punto final.

22 El área del anillo oval es también igual a ¼ L2, donde L es la longitud constante de los segmentos de tangente. Por áreas igualadoras encontramos R2 ; r2 = L2, de cual conseguimos R2 = r2 + L2, el Teorema de Pitágoras (para el triángulo rectángulo R r L).

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25 La Bicicleta El área de un barrido de tangente es igual al área de su racimo de tangente, sin tener en cuenta la forma de la curva original El área del barrido de tangente es igual al área de un sector circular que depende sólo de la longitud de la bicicleta y el cambio del ángulo de su posición inicial a su posición final ¡La forma del camino de la moto no importa!

26 El Tractriz y los anillos ovales son casos particulares de la trayectoria de la bicicleta

27 La única diferencia es que los segmentos de tangente a la curva inferior no tienen que tener la longitud constante. El barrido de segmentos de tangente hacia fuera una región son llamados el barrido de tangente El racimo de tangente es la región obtenida traduciendo cada tangente segmentan la paralela a sí de modo que cada punto de la tangencia sea movido a un punto común.

28 El teorema de Mamikon, por ahora, es que el área del racimo de tangente es igual al área del barrido de tangente.

29 La forma del barrido de tangente depende de como las longitudes y las direcciones de la tangente segmentan el cambio a lo largo de la curva. Cuando cada segmento de tangente es traducido paralela a sí así el punto de tangencia es traído a un punto común, llaman el juego de segmentos traducidos el racimo de tangente; esto miente sobre una superficie cónica con el vértice en este punto común.

30 El teorema general de Mamikon compara el área del barrido de tangente con el de su racimo de tangente

31 CURVAS EXPONENCIALES

32 CURVAS EXPONENCIALES Geométricamente, significa que la cuesta de la línea de tangente en cada punto de una curva exponencial es proporcional a la altura de la curva en aquel punto. Las curvas exponenciales pueden ser también descritas por sus subtangentes. La cuesta de la tangente es la altura dividida en la longitud de la subtangente. De este modo, la cuesta es proporcional a la altura si y sólo si la subtangente es constante

33 CURVAS EXPONENCIALES Explotando el hecho que las curvas exponenciales tienen subtangentes constantes, podemos usar el teorema de Mamikon para encontrar el área de la región bajo una curva exponencial sin usar el integral.

34 El racimo de tangente correspondiente es obtenido traduciendo cada segmento de tangente a la derecha entonces el punto final sobre el eje x es traído a un punto común, en este caso, el vértice inferior del triángulo rectángulo de base b y altitud ex/b. El racimo de tangente que resulta es el triángulo de base b y altitud ex/b. Por lo tanto el área de esta región es igual al área de este triángulo rectángulo, entonces el área de la región entre la curva exponencial y el intervalo (ƒ, x] es igual a dos veces el área de este triángulo rectángulo.

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36 SEGMENTO PARABOLICO

37 AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO
Arquímedes hizo el descubrimiento que el área es exactamente un tercero esto del rectángulo Ahora usaremos el teorema de Mamikon para obtener el mismo resultado por un método que no es sólo mas sencillo que el original tratamiento de Arquímedes, sino que es también más poderoso porque puede ser generalizado a poderes de número entero más altos, y a poderes arbitrarios también.

38 La parábola tiene la ecuación y = x´2, pero no necesitaremos esta fórmula en nuestro análisis. Usamos sólo el hecho que la línea de tangente encima de cualquier punto x corta una subtangente de longitud x/2. La cuesta de la tangente es x´2 dividido en x/2, o 2x. El área del segmento parabólico es formado bisecando cada segmento horizontal. Las dos parábolas dividen el rectángulo en tres regiones, y nuestra estrategia es mostrar que tres regiones tienen el área igual. Si hacemos este, entonces cada uno tiene el área un tercero que del rectángulo que circunscribe, como requerido.

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40 Las dos regiones sombreadas formada por la parábola de bisegmentación obviamente tienen áreas iguales Los dos triángulos rectángulos en esta figura tienen el área igual (ellos tienen la misma altitud e igualan bases). Por lo tanto el problema reduce a la exposición que las dos regiones sombreadas en este diagrama tienen áreas iguales. Aquí está donde usamos el teorema de Mamikon.

41 La parte sombreada bajo la parábola y = x´2 es el barrido de tangente obtenido dibujando todas las líneas de tangente a la parábola y cortándolos en el eje x. Y la otra parte sombreada es su racimo de tangente, con cada segmento de tangente traducido entonces su punto de la intersección con el eje x es traído a un punto común, el origen.  En un punto típico (t, t2) sobre la parábola inferior, la tangente cruza el eje x en t/2. Por lo tanto, si el segmento de tangente (de t/2, 0) (a t, t2) es traducido dejado por la cantidad t/2, el segmento traducido une el origen y el punto (t/2, t2) sobre la curva y = (2x) 2.

42 Entonces por el teorema de Mamikon las dos regiones sombreadas tienen áreas iguales, como requerido, y así hemos mostrado que el área de segmento parabólico es exactamente un tercero que del rectángulo que circunscribe, el mismo resultado obtenido por Arquímedes.

43 AREA DE UN SEGMENTO PARABOLICO
La figura muestra los gráficos de y = x´3 , y = (3x)´3, que dividen el rectángulo del área x4 en tres regiones Mostraremos que el área de la región encima del cúbico es igual a esto debajo del original cúbico, el que significa que cada región tiene el área un cuarto que del rectángulo que circunscribe

44 Para hacer esto usamos el hecho que la subtangente al cúbico es un tercero la longitud de la base. Una región sombreada en la Figura es el barrido de tangente del original cúbico, y el otro es el racimo de tangente correspondiente, entonces ellos tienen áreas iguales. Los dos triángulos rectángulos son congruentes, entonces ellos tienen áreas iguales. Por lo tanto la región encima del cúbico tiene la misma área que el segmento cúbico debajo de la curva y = x´3, y cada uno es un cuarto que del rectángulo, o x4/4.

45 En el caso cuadrico usamos las dos curvas
y = x´4 y y = (4x)´4 para dividir el rectángulo del área x´5 en tres regiones. Usando el hecho que la subtangente al cuadrico en x tiene la longitud x/4, podemos usar el mismo argumento para mostrar que el área de la región entre dos cuadricos es tres veces que de cada uno de los otros dos pedazos, entonces los cuadricos segmentan debajo de y = x´4 tiene el área un quinto que del rectángulo, o x5/5. El argumento también se extiende a todos los poderes más altos, una propiedad no compartida por el tratamiento de Arquímedes del segmento parabólico. Para la curva y = xn usamos el hecho la subtangente en x tiene la longitud x/n

46 CICLOIDE

47 CICLOIDE La curva remontada hacia fuera por un punto sobre el perímetro de un disco circular que rueda sin resbalar a lo largo de una línea horizontal. Un problema clásico es mostrar que el área de la región entre un arco del cIcloide y la línea horizontal es tres veces el área del disco rodante.

48 El método de cálculo estándar de solucionar este problema es determinar primero ecuaciones paramétricas para el cicloide, luego calcular el área por la integración. El mismo resultado puede ser obtenido del teorema de Mamikon sin la necesidad de integrales. La figura muestra un arco cicloidal inscrito dentro de un rectángulo cuya altitud es el diámetro d del disco rodante y cuya base es la circunferencia del disco, ¼ d. El área del rectángulo que circunscribe es ¼ D2, que es cuatro veces el área del disco. Entonces esto basta para mostrar que la región sin sombra encima del arco y dentro del rectángulo tiene el área igual a esto del disco.

49 Para hacer este mostramos que la región sin sombra es el barrido de tangente del cicloide, y el racimo de tangente correspondiente es un disco circular del diámetro d. Por el teorema de Mamikon, este disco tiene la misma área que el barrido de tangente. Como el área del disco es un cuarto el área del rectángulo, el área de la región debajo del arco debe ser de tres cuartos que del rectángulo, o tres veces que del disco rodante. Cuando el disco rueda a lo largo de la base esto es siempre la tangente a los límites superiores e inferiores del rectángulo que circunscribe.

50 La cuerda XP del disco rodante es siempre la tangente al cicloide.
El diámetro el PPo divide el círculo rodante en dos semicírculos, y cualquier triángulo inscrito en estos semicírculos debe ser un triángulo rectángulo. El disco experimenta la rotación instantánea sobre P0, entonces la tangente al cicloide en cualquier punto X es perpendicular al radio instantáneo de la rotación y por lo tanto debe ser el vértice de un triángulo rectángulo inscrito en el semicírculo con el diámetro PPo. Por consiguiente La cuerda XP del disco rodante es siempre la tangente al cicloide. Amplíe el límite superior del rectángulo que circunscribe más allá del arco y elija un punto fijo O sobre este límite ampliado. Traduzca cada paralela de cuerda a sí así señale P es movido horizontalmente al punto fijo O. Entonces el otro extremo X mueve a un punto Y tal que segmento el OY es igual en longitud y paralela a PX. Por lo tanto el racimo de tangente es un disco circular del mismo diámetro que el disco rodante, y el teorema de Mamikon nos dice que su área es igual a la del disco

51 Conclusion Los métodos también se aplican al descubrimiento de volúmenes de figuras tridimensionales y sólidos de revolución. Newton y Leibniz son generalmente considerados como los descubridores de integral. Mamikon relaciona segmentos de tangente móviles con las áreas de las regiones barridas hacia fuera por estos segmentos de tangente, es decir unifica los conocimientos adquiridos en antaño. Y algunas de las figuras siguientes han sido tratadas con éxito por este método: elipse, hipérbola, catenaria, logaritmo, cardioide, uni-cicloide, hi-cicloide, espirales, Bernoulli lemniscata, seno y coseno, etc.

52 FIN