Resistencia de Materiales Tema 2 Deformación axial

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1 Resistencia de Materiales Tema 2 Deformación axial

2 Introducción En este tema, se estudian los cambios de forma (deformaciones) que pueden experimentar los cuerpos debido a un determinado estado de fuerzas; así como, las relaciones geométricas que junto con las condiciones de equilibrio permitan obtener la solución a problemas estáticamente indeterminados.

3 Deformación bajo carga axial.
Si se considera una varilla de acero de longitud “L” y sección transversal uniforme al aplicar una carga P en su extremo la varilla se alargará.

4 La deformación total que experimenta un cuerpo puede ser medido.
Deformación unitaria La deformación que también se conoce como deformación unitaria, se obtiene dividiendo la deformación total entre la longitud original del cuerpo. La deformación se denota con la letra griega minúscula épsilon (ε) La deformación total que experimenta un cuerpo puede ser medido.

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6 ENSAYO DE TRACCIÓN Probeta de cobre antes del ensayo de tensión por computadora. Tomado de:

7 ENSAYO DE TRACCIÓN Probeta de cobre fracturada en el ensayo de tensión. Tomado de:

8 Ensayo de compresión de una probeta cilíndrica de hormigón.

9 Probeta después de la rotura a compresión.

10 Diagrama ó curva Esfuerzo-Deformación
Representación gráfica del esfuerzo producido por la carga actuante: Y la deformación unitaria:

11 Diagrama Esfuerzo-Deformación, representativo de materiales dúctiles

12 Características del Diagrama Esfuerzo-Deformación
Relación de Proporcionalidad (Robert Hooke). Importante debido a que el estudio de sólidos elásticos, se basa en ley.

13 Características del Diagrama Esfuerzo-Deformación
No existe relación lineal. Las deformaciones aumentan más rápidamente para cada incremento en esfuerzo.

14 Características del Diagrama Esfuerzo-Deformación

15 Características del Diagrama Esfuerzo-Deformación
Cambio en la estructura cristalina

16 Características del Diagrama Esfuerzo-Deformación

17 Puede notarse que en la probeta, la fractura ocurre a lo largo de una superficie con forma de cono, que forma un ángulo de aproximadamente 45° con la superficie original de la probeta. Esto indica que el cortante es el principal responsable de la falla de los materiales dúctiles y confirma el hecho de que bajo una carga axial, los esfuerzos cortantes son máximos en las superficies que forman un ángulo de 45° con la carga.

18 Diagrama Esfuerzo-Deformación, representativo de materiales frágiles

19 Los materiales frágiles como el hierro colado, el vidrio y las rocas, se caracterizan por el fenómeno de que la fractura ocurre sin un cambio notable previo de la tasa de alargamiento. De esta forma no hay una diferencia entre la resistencia última (máxima carga aplicada al material) y la resistencia a la fractura. No ocurre la estricción en el caso de un material frágil y la fractura ocurre a lo largo de un superficie perpendicular a la carga. Se concluye a partir de esta observación que los esfuerzos normales son los principales responsables de la falla de los materiales frágiles.

20 Diagrama esfuerzo-deformación para el concreto

21 De relevancia particular es el hecho de que, para un acero dado, la resistencia a la fluencia es la misma tanto a tensión como a compresión. Para valores mayores de deformación, las curvas de esfuerzo deformación a tensión y a compresión divergen, para la mayoría de los materiales dúctiles, se encuentra que la resistencia última a compresión es mucho mayor que la resistencia última a la tensión, esto se debe a la presencia de fallas (por ejemplo, cavidades o grietas microscópicas) que tienden a debilitar al material a tensión, mientras que no afectan en forma significativa su resistencia a compresión. Un ejemplo de un material frágil con diferentes propiedades a tensión y a compresión es el concreto, cuyo diagrama esfuerzo deformación se muestra a continuación

22 En el lado de tensión del diagrama, primero se observa un rango elástico lineal en el que la deformación es proporcional al esfuerzo. Después de que se ha alcanzado el punto de fluencia, la deformación aumenta más rápidamente que el esfuerzo hasta que ocurre la fractura. El comportamiento del material bajo compresión es diferente. Primero, el rango elástico lineal es significativamente mayor. Segundo, la ruptura no ocurre cuando el esfuerzo alcanza su máximo valor. En lugar de esto, el esfuerzo decrece en magnitud mientras que la deformación plástica sigue aumentando hasta que la ruptura ocurre. Note que el módulo de elasticidad, representado por la pendiente de la curva de esfuerzo deformación en su porción lineal, es la misma en tensión que en compresión. Esto es cierto para la mayoría de los materiales frágiles.

23 Diagrama esfuerzo deformación para el acero dulce

24 En el acero dulce, el punto de cedencia es el mismo a tensión y a compresión. La carga inicial es de tensión y se aplica hasta que se alcanza el punto C en el diagrama. Luego de descargar (D), se aplica una carga de compresión, la cual provoca que el material alcance el punto H, donde el esfuerzo es igual a –σy. La porción DH del diagrama es curva y no muestra un punto de cedencia bien definido. A esto se le conoce como efecto Bauschinger. Al mantenerse la carga de compresión, el material fluye a lo largo de la línea HJ. Si la carga se retira después de alcanzar el punto J, el esfuerzo retorna a cero a lo largo de la línea JK y se observa que la pendiente de JK es igual al módulo de elasticidad. La deformación permanente resultante AK será positiva, negativa o cero, dependiendo de las longitudes de los segmentos BC y HJ. Si una carga de tensión se aplica de nuevo a la probeta, la porción del diagrama que comienza en K se curvará hacia arriba y hacia la derecha hasta que se alcance el esfuerzo de fluencia σy. Si la carga es lo suficientemente grande para causar endurecimiento por deformación del material (C’), la descarga ocurre a lo largo de la línea C’D’. Al aplicarse la carga inversa, el esfuerzo se vuelve de compresión, alcanzando su valor máximo en H’ y manteniéndolo mientras el material fluye a lo largo de la línea H’J’.

25 Diagrama esfuerzo deformación para el acero dulce

26 Note que, en tanto que el máximo valor para el esfuerzo de compresión es menor que σy, el cambio total en esfuerzo entre C’ y H’ es aún igual a 2σy. Si el punto K o K’ coincide con el origen A del diagrama, la deformación permanente es igual a cero, y parecerá que la probeta ha regresado a su condición original. No obstante, habrán ocurrido cambios internos y, aún cuando la misma secuencia de carga pueda repetirse, la probeta se fracturará sin advertencia previa después de algunas repeticiones. Esto indica que las excesivas deformaciones plásticas a las que ha sido sometida la probeta han causado un cambio radical en las características del material. Las cargas inversas dentro del rango plástico, por lo tanto, rara vez se permiten, por lo que sólo se realizan en condiciones controladas. Tales situaciones ocurren en el enderezado de materiales dañados y en el alineamiento final de una estructura o máquina.

27 Modelos de Esfuerzo-Deformación para diferentes tipos de Rocas.

28 Ejemplos de algunos materiales frágiles y dúctiles
Materiales dúctiles Materiales Frágiles Acero al carbono ó acero estructural Vidrio Aleaciones de aluminio Diamante Hierro colado

29 Módulo de Elasticidad Puede obtenerse una medida de la rigidez del material calculando el coeficiente del esfuerzo normal en un elemento y la deformación unitaria correspondiente en el mismo. Se denota por E. Pendiente del tramo recto de la curva esfuerzo deformación. “Medida de la rigidez de un material. ”

30 Un material con un valor de E elevado se deformará menos con un esfuerzo dado que uno con un valor reducido de E. Un término más completo para E sería el módulo de elasticidad a tensión o compresión, porque es definido en función del esfuerzo normal. Sin embargo, el término “módulo de elasticidad”, sin ningún modificador, generalmente se considera como el módulo de tensión.

31 Módulo de Elasticidad a Cortante
El coeficiente del esfuerzo cortante y la deformación por cortante se conoce como módulo de elasticidad a cortante, o módulo de rigidez, y se denota por G.

32 G es una propiedad del material, y se relaciona con el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson por:

33 Deformación Tangencial.
La acción cortante en las caras paralelas del elemento tiende a deformarlo angularmente, el ángulo (gamma), medido en radianes, es la deformación por cortante G = Módulo de rigidez transversal. = Distorsión. = Fuerza cortante.

34 Elasticidad Propiedad que hace que un cuerpo que ha sido deformado, regrese a su forma original después de que han desaparecido las fuerzas deformadoras. (Fitzgerald)

35 Ley de Hooke y Deformación Axial
Relaciona la deformación total con: La fuerza aplicada, la longitud de la barra, el área de la sección transversal y su módulo de elasticidad

36 Hipótesis La carga debe ser axial.
La barra debe ser homogénea y de sección constante. La tensión no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad.

37 Relación de Poisson. Deformación según dos y tres ejes
Si una barra se alarga por una tracción axial sufre una disminución de sus dimensiones transversales

38 Relación de Poisson ó Coeficiente de Poisson
La fuerza de tensión en la barra la alarga en la dirección de la fuerza aplicada, pero al mismo tiempo, el ancho de la barra se acorta. De este modo, en el elemento de esfuerzo ocurre un alargamiento y contracción simultáneamente

39 Relación de Poisson ó Coeficiente de Poisson
La fuerza de tensión en la barra la alarga en la dirección de la fuerza aplicada, pero al mismo tiempo, el ancho de la barra se acorta. De este modo, en el elemento de esfuerzo ocurre un alargamiento y contracción simultáneamente

40 Relación de Poisson ó Coeficiente de Poisson
Cuando una barra esta sometida a una carga de tracción simple se produce en ella un aumento de longitud en la dirección de la carga, así como una disminución de las dimensiones laterales perpendiculares a esta. La relación entre la deformación en la dirección lateral y la de la dirección axial se define como relación de Poisson. La representaremos por la letra griega µ. Para la mayoría de los metales esta entre 0.25 y 0.35. Es la relación entre la deformación transversal y la longitudinal.

41 Relación de Poisson ó Coeficiente de Poisson
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no sólo se alarga, sino que también se contrae lateralmente. Igualmente, una fuerza de compresión que actúa sobre una cuerpo ocasiona que éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente.

42 Relación de Poisson ó Coeficiente de Poisson
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia un cantidad δ y su radio una cantidad δ’ . Las deformaciones unitarias en la dirección axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son respectivamente:

43 Relación de Poisson ó Coeficiente de Poisson
A principios del siglo XIX, el francés S.D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya que las deformaciones δ’ y δ’ son proporcionales. A esta constante se le llama razón de Poisson,

44 Relación de Poisson. Deformación según dos y tres ejes

45 Relación de Poisson. Deformación según dos y tres ejes
Asociando la relación de Poisson y la Ley de Hooke se tiene: “Condición de deformación bajo una carga axial paralela al eje X”

46 Carga Multiaxial Ley de Hooke Generalizada.

47 Carga Multiaxial Ley de Hooke Generalizada.
Deformaciones expresadas en términos de las componentes de esfuerzo

48 Elementos Estáticamente Indeterminados.
Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axialmente en lo que las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para determinar las fuerzas que, en cada sección soportan. Estas condiciones se dan en estructuras en las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en número al de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casos requieren ecuaciones adicionales que relacionen las deformaciones elásticas en los distintos elementos, generalmente se aplican los siguientes principios para resolver dichos casos. 1- En el diagrama del sólido aislado de la estructura o de parte de ella, aplicar las ecuaciones del equilibrio estático. 2- Si hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtener nuevas ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas incógnitas. Para esto, se debe dibujar un esquema, exagerando las deformaciones elásticas.

49 Elementos Estáticamente Indeterminados.
Problema Inicial Determinar Reacciones Problema estáticamente indeterminado Ecuaciones de estática insuficientes para Determinar Fuerzas Internas. solución Método de Superposición

50 Elementos Estáticamente Indeterminados.

51 Elementos Estáticamente Indeterminados.

52 Elementos Estáticamente Indeterminados.

53 Elementos Estáticamente Indeterminados.

54 Elementos Estáticamente Indeterminados.

55 Esfuerzos por temperatura

56 Muchas Gracias.