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Ecuación de Schrödinger Elaborado por: Rafael Navarro Nieto (G8N27)

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1 Ecuación de Schrödinger Elaborado por: Rafael Navarro Nieto (G8N27)

2 Erwin Schrödinger Nace el 12 de agosto 1887 en Viena, Erdberg y muere de tuberculosis el 4 de enero 1961 a la edad de 73 años. Físico austríaco, nacionalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein propuso el experimento mental del gato de Schrödinger que mostraba las paradojas e interrogantes a los que abocaba la física cuántica.

3 Erwin Schrödinger Estudios en Viena con Franz Serafin Exner ( ), Fritz Hasenhrl, trabajos experimentales con Kohlrausch Ayudante de Max Wien, Jena Profesor asociado, Stuttgart Profesor titular, Breslau (hoy Wrocław, Polonia) Universidad de Zürich Annalen der Physik: "Quantisierung als Eigenwertproblem" (Cuantización como problema de autovalores): ecuación de mecánica ondulatoria de Schrödinger Sigue a Max Planck a la Universidad de Berlin- Humboldt Fellow del Magdalen College, Universidad de Oxford Asociado en la Universidad de Princeton Universidad de Graz, Austria Busca becas e investigaciones a través de Italia y Suiza hasta Oxford - Universidad de Ghent. En el Instituto de Estudios Avanzados en Dublín, es Director de la Escuela de Física Teórica. Más de 50 publicaciones en varias áreas. Intentos hacia una teoría de campo unificada.

4 Ecuación de Schrödinger Fue desarrollada en 1925 y describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, pues define la ecuación de conservación de la energía pero en sistemas mecánico cuánticos, es decir, el mundo microscópico, tanto para partículas elementales, tales como electrones y sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

5 Ecuación de Schrödinger contexto histórico Hacia el s. XX se había comprobado la dualidad de la luz (onda-partícula), es decir, la luz podría ser partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico) u onda electromagnética. Louis-Victor Broglie, en 1923 generalizó esta dualidad a todas las partículas conocidas (onda de Broglie); hasta 1927 se comprobó su hipótesis experimentalmente, cuando se observó la difracción de electrones

6 Ecuación de Schrödinger contexto histórico Análogamente con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía (E) y cantidad de movimiento (p) una frecuencia ( ʋ ) y una longitud de onda (λ): E = h ʋ hλhλ p =

7 Ecuación de Schrödinger contexto histórico La comprobación experimental, hecha por Clinton Davisson y Lester Germer, demostró que la longitud de onda asociada a los electrones, medida en la difracción según la fórmula de Bragg, correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie. nλ = 2dsen(θ) Ley de Bragg

8 Ecuación de Schrödinger contexto histórico Esa predicción llevó a Schrödinger a describir una ecuación para la onda asociada de De Broglie, que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es: E t = P 2 2m + V Siendo E t energía total P cantidad de movimiento m masa V energía potencial

9 Ecuación de Schrödinger contexto histórico La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. Como resultado del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados».

10 Ecuación de Schrödinger desarrollo Partiendo de la ecuación general de la ley de conservación de la energía: E c + V = E t energía cinética energía potencial energía total

11 Ecuación de Schrödinger desarrollo El calculo de E c es fácil; lo que caracteriza a la ecuación de Schrödinger es la energía potencial, relacionada con el medio donde mueve la partícula E c = 1212 mv 2 = p 2 2m No obstante, se debe considerar una pequeña variación en el calculo de la E c

12 Ecuación de Schrödinger desarrollo P i = îħ ^ x Observable físico Operador matemático p 2 = -ħ 2 2 x 2 p 2 2m -ħ 2 2m 2 x 2 = Elevando al cuadrado Por consiguiente:

13 Ecuación de Schrödinger desarrollo Retomando la ecuación de conservación de la energía, y aplicando el resultado obtenido en el paso anterior se obtiene que: E t = E c + V E t = -ħ 2 2m 2 x 2 + V Partícula en movimiento Ambiente

14 Ecuación de Schrödinger desarrollo A la ecuación anterior, Schrödinger agregó una función denominada función de onda, que resulta ser la solución a la ecuación de Schrödinger EtΨ =EtΨ = -ħ 2 2m 2 x 2 + V [] Ψ Ψ es la función de onda, donde esta el contenido de toda la información del sistema mecánico-cuántico

15 Ecuación de Schrödinger desarrollo El planteamiento que sigue, corresponde solo a un análisis unidimensional (en x) EtΨ =EtΨ = -ħ 2 2m d2 d2 dx2dx2 + V [] Ψ Multiplicar por (–) a ambos lados de la ecuación -E t Ψ = ħ 2 2m d 2 dx2dx2 - V [] Ψ Llevar -E t Ψ al lado derecho de la ecuación 0 = ħ 2 2m d2 d2 dx2dx2 - V [] Ψ -E t Ψ Factorizar Ψ

16 Ecuación de Schrödinger desarrollo 0 = ħ 2 2m d2 d2 dx2dx2 +(E – V) [] Ψ Multiplicando al interior por 2m/ħ 2 0 = d2 d2 dx2dx2 + (E – V) [] Ψ 2m ħ 2 Haciendo K 2 = 2m/ħ2(E-V) 0 = d2Ψd2Ψ dx2dx2 + K 2 Ψ 0 = Ψ + K 2 Ψ Lo cual conduce a:

17 Ecuación de Schrödinger desarrollo 0 = Ψ + K 2 Ψ Posee dos funciones solución, siendo la general una combinación lineal de ambas (pues la ecuación diferencial es de grado 2) Procedemos a convertir la ecuación diferencial de grado 2 a una algebraica de mismo grado: Hacemos D = d dxdx D 2 = d2 d2 dx2dx2

18 Ecuación de Schrödinger desarrollo 0 = d2Ψd2Ψ dx2dx2 + K 2 Ψ D = d dxdx D 2 = d2 d2 dx2dx2 Reemplazando estos valores en la ecuación se obtiene que: 0 = D 2 Ψ + K 2 Ψ Factorizando Ψ 0 = Ψ(D 2 + K 2 ) Solucionando la suma de cuadrados 0 = Ψ(D + iK)(D - iK)

19 Ecuación de Schrödinger desarrollo Del sistema anterior se rescata que: Ψ 1 (D + iK) = 0 ó Ψ 2 (D - iK) = 0 d dxdx Ψ 1 D + Ψ 1 iK = 0 ó Ψ 2 D - Ψ 2 iK = 0 Reemplazando D por d/dx Ψ 1 + Ψ 1 iK = 0 ó Ψ 2 - Ψ 2 iK = 0 d dxdx Ψ 1 = -Ψ 1 iK ó Ψ 2 = Ψ 2 iK d dxdx d dxdx Realizando algunos despejes e integrando se obtiene que:

20 Ecuación de Schrödinger desarrollo = -iKdx ó = iKdx Ψ1Ψ1 dΨ2dΨ2 dxdx dΨ 1 Ln(Ψ 1 ) = -iKx + Ln(A) ó Ln(Ψ 2 )= iKx + Ln(B) Aplicando exponencial Ψ 1 = Ae -iKx ó Ψ 2 = Be iKx La solución general resulta una combinación lineal de Ψ 1 y Ψ 2

21 Ecuación de Schrödinger desarrollo Ψ = C 1 e -iKx + C 2 Be iKx Los términos de la derecha describen el comportamiento de ondas planas circulares. El signo del exponente indica que dirección posee la onda


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