TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Presentación del tema: "TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS"— Transcripción de la presentación:

1 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
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2 ECUACIONES EN EL PLANO (R2)
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS ECUACIONES EN EL PLANO (R2) LA SIMETRÍA LA TRASLACIÓN EL GIRO LA SIMETRÍA DESLIZANTE LA SEMEJANZA (directa) LA HOMOTECIA LA SEMEJANZA (inversa)

3 LA SIMETRÍA DESLIZANTE
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Ejemplos EN EL PLANO (R2) LA SIMETRÍA LA TRASLACIÓN LA SIMETRÍA DESLIZANTE EL GIRO LA SEMEJANZA directa LA SEMEJANZA inversa LA HOMOTECIA

4 ECUACIONES EN EL ESPACIO (R3)
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS ECUACIONES EN EL ESPACIO (R3) LA TRASLACIÓN LA ROTACIÓN LA SIMETRÍA LA SIMETRÍA DESLIZANTE LA SIMETRÍA ROTACIONAL MOVIMIENTO HELICOIDAL LA HOMOTECIA LA SEMEJANZA

5 Ejemplos TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO (R3) LA TRASLACIÓN
LA ROTACIÓN LA SIMETRÍA LA SIMETRÍA DESLIZANTE LA SIMETRÍA ROTACIONAL MOVIMIENTO HELICOIDAL LA HOMOTECIA LA SEMEJANZA

6 Ejemplo X’= X + y’ m y X x x’ LA TRASLACIÓN Y el vector de traslación:
X O x y Ejemplo

7 solución El vector que define una traslación es (-2,3). Se pide:
Ecuación de la traslación. Coordenadas del transformado del punto A(1,2). Ecuación de la circunferencia transformada de x2+y2-2x-4y=0. La transformada de la recta x/3+y/2=1. solución

8 G(0,α) X α y x EL GIRO 1) Giro de centro y amplitud α Se cumple que: O

9 EL GIRO de centro O (continuación 1)
Consideremos el ángulo β que forma el segmento OX con el eje de abscisas X’ y’ α Así, podemos determinar x’, x, e y: Puesto que: O X x y β y

10 EL GIRO de centro O (continuación 2)
X’ y’ α Ahora, vamos a determinar y’: Puesto que: como antes, O X x y β y

11 EL GIRO de centro O (continuación 3)
Veamos, ahora, para cualquier centro A(a,b):

12 Pasos a seguir: X’ G(A,α) X α α I) Traslación de vector y
EL GIRO de centro A 2) Giro de centro y amplitud α Pasos a seguir: X’ G(A,α) O X x y X’ y’ α A a b I) Traslación de vector α II) Giro de centro O(0,0) y amplitud α III) Traslación de vector

13 EL GIRO de centro A (continuación 1)
I) Traslación de vector ; siendo O A a b La ecuación será: Luego,

14 EL GIRO de centro A (continuación 2)
II) Giro de centro O(0,0) y amplitud α α O Aplicando la traslación y a continuación el giro o rotación: I) Traslación de vector

15 EL GIRO de centro A (continuación 3)
III) Traslación de vector O A b La ecuación será: Luego, a Aplicando la traslación (I) después el giro o rotación (II) y por último esta traslación (III):

16 EL GIRO de centro A (continuación 4)
O bien, Un caso particular es la simetría central que resulta cuando el ángulo de giro es 180º: Ejemplo

17 solución Aplicando el giro al centro de la circunferencia O(2,0) se obtiene: resulta la circunferencia: Análogamente, se haría para -60º

18 SX Se=Gα/2SXG-α/2 X SX X’ X’ X y x y x LA SIMETRÍA
O X x y SX 1) Simetría respecto eje de abscisas: Se cumple que: SX por tanto, X’ y’ X’ 2) Simetría respecto a una recta que pasa por el origen y de pendiente tg(α/2): X’ Podemos efectuar un giro, para que el eje coincida con el eje de abscisas y a continuación la simetría anterior, por último un giro para colocar el eje donde estaba. y’ O X x y Se=Gα/2SXG-α/2 tg(α/2) x’

19 LA SIMETRÍA (continuación 1)
2) Simetría respecto a una recta eO que pasa por el origen y de pendiente tg(α/2): I) Giro de centro y amplitud -α/2: eO O X x y G(0,α/2) tg(α/2) II) Simetría respecto eje de abscisas: III) Giro de centro y amplitud α/2: Por tanto,

20 LA SIMETRÍA (continuación 2)
2) Simetría respecto a una recta e cualquiera que pasa A(a,b) y de pendiente tg(α/2): e X’ e y’ Ahora podemos efectuar una traslación, para que el eje e pase por el origen y a continuación la simetría anterior, por último una traslación para colocar el eje e donde estaba. O X x y A(a,b) x’ Aplicando la traslación (I) después la simetría (II) y por último la traslación (III): III) Traslación de vector I) Traslación de vector

21 LA SIMETRÍA (continuación 3)
O bien, Ejemplo

22 solución

23 Para la recta r:3x+4y=0, se tiene:
b) Para transformar una recta (en general, una ecuación) debemos despejar x e y; en este caso, por ser una simetría, queda igual: Para la recta r:3x+4y=0, se tiene: Para la recta t:x+y=1, se tiene:

24 LA SIMETRÍA DESLIZANTE
X X’

25 LA SIMETRÍA DESLIZANTE
Operando con o bien, Ejemplo

26 solución

27 Ejemplo A a b X x y X’ x’ y’ X’ y’ x’
LA HOMOTECIA A O a b X x y Homotecia de centro y razón k X’ x’ y’ El vector se transforma en el vector K>0 X’ K<0 y’ K>0 Interpretación geométrica: x’ K<0 •La ecuación de la homotecia de centro A y razón k es: . Ejemplo

28 El baricentro se encuentra a un tercio de la base y 2/3 del vértice.
solución Se trata de encontrar las ecuaciones de una homotecia de centro O(0,0) y razón k=1/3: G O’ Como C recorre una circunferencia el homotético de C, el baricentro recorre la circunferencia homotética, cuyos centros son homólogos. r’=k.r=(1/3). 3=1 centro de la circunferencia homotética de radio 1

29 Ejemplo y X x LA SEMEJANZA (directa)
El producto de un giro por una homotecia es una semejanza directa. X’ x Efectuamos el giro de centro y amplitud α C b y a continuación la homotecia del mismo centro y razón k α X O x y x’ a Resultando: que es la ecuación de la semejanza directa de razón k siendo: O bien, en general, Ejemplo

30 LA SEMEJANZA (inversa)
El producto de una simetría por una homotecia es una semejanza inversa. X’ y a continuación la homotecia de centro y razón k: Efectuamos la simetría de eje e; x C b e X O x y x’ a Resultando: que es la ecuación de la semejanza inversa de razón k siendo: O bien, en general, Ejemplo

31 solución •La ecuación de la homotecia de centro A(1,2) y razón 10 es:

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33 solución •La ecuación de la homotecia de centro A(1,-1) y razón -2 es:

34

35 LA TRASLACIÓN Ejemplo z Y el vector de traslación: O x X y

36 solución Las ecuaciones de la recta r’, transformada de la recta r por la traslación: La ecuación del plano п’, transformado del plano п por la traslación:

37 Si A es un punto cualquiera del eje e ,
LA ROTACIÓN O e La rotación, , de eje e y ángulo . Los puntos X e X’ pertenecen al plano perpendicular al eje e y XAX’ forman el ángulo . A X α X’ Si A es un punto cualquiera del eje e , Determinaremos las ecuaciones de la rotación para los tres casos particulares en los que el eje e sea paralelo a cada unos de los vectores de la referencia R; Teniendo en cuenta que sobre el plano п queda subordinado un giro de centro A.

38 LA ROTACIÓN O Operando con

39 LA ROTACIÓN O α -α Operando con

40 Ejemplo LA ROTACIÓN · O Operando con
Cualquier giro se puede descomponer en producto de los tres giros anteriores.

41 solución en nuestro caso, por tanto,

42 LA SIMETRÍA O X La simetría especular Sп transforma el punto X en el X’, de tal forma que el vector es perpendicular al plano п y el punto medio del segmento está en el plano п. Se cumple que: п Para el plano: se tiene, X’ Considerando datos X=(x,y,z) e incógnitas X’=(x’,y’,z’) se resuelve el sistema

43 LA SIMETRÍA (continuación)
Ejemplo

44 solución Ecuaciones de la simetría especular respecto al plano x+y+z=0
Como, se tiene que cumplir: en nuestro caso: Considerando datos X=(x,y,z) e incógnitas X’=(x’,y’,z’) se resuelve el sistema

45 LA SIMETRÍA DESLIZANTE
O X п Ejemplo X’

46 Ecuaciones de la simetría deslizante de plano x+y+z=0 y vector (1,0,-1).
solución Las ecuaciones de la simetría especular son: véase el ejemplo y a continuación la traslación:

47 LA SIMETRÍA ROTACIONAL
X r A α п X’

48 LA SIMETRÍA ROTACIONAL
Operando: con O bien, (*) Ejemplo

49 solución Ecuaciones de la simetría rotacional de plano y=0 y recta
de amplitud 90º. solución Ecuación de la simetría especular: Ecuación de la rotación de vector (0,1,0) y punto A(0,0,0): Efectuando el producto, resulta:

50 MOVIMIENTO HELICOIDAL
Ecuación de un movimiento helicoidal, , tal que sea paralelo al eje e: Si es un punto cualquiera del eje e, y paralelo a e: O e X’ Rotación, , A Traslación de vector X de eje e y ángulo α α Ejemplo

51 solución Ecuación de un movimiento helicoidal,
Ecuación de la traslación: Ecuación del giro: véase el ejemplo Ecuación de un movimiento helicoidal,

52 Ejemplo X’ X X’ •La ecuación de la homotecia de centro A y razón k es:
O X’ Homotecia de centro y razón k O X K>0 El vector se transforma en el vector A X’ K<0 K>0 Interpretación geométrica: K<0 •La ecuación de la homotecia de centro A y razón k es: . Ejemplo

53 solución Despejando, obtenemos la inversa de la Homotecia:
Sustituyendo en la ecuación de la recta:

54 Ejemplo La semejanza se obtiene por el producto
de las transformaciones anteriores. Ejemplo

55 solución La semejanza se obtiene por el producto de las transformaciones anteriores. O bien,

56 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: 1º Efectuamos el producto, MMt M . Mt Matriz Unidad Matriz escalar en otro caso

57 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: Como SÍ T es una homotecia de razón k ¿Es (1/k)M la matriz unidad? NO FIN Por tanto, es (1/k)M una matriz ortogonal M es proporcional a una matriz ortogonal, entonces T es una semejanza de razón k>0. Clasificación

58 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: M es proporcional a una matriz ortogonal, entonces T es una semejanza de razón k>0. 2º Calculamos el determinante de la matriz cuadrada M, Clasificación

59 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: Clasificación FIN

60 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: Clasificación FIN

61 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: T es un movimiento, ya que M es una matriz ortogonal. 2º Calculamos los puntos dobles, es decir, la solución al sistema: 3º Si es necesario, calculamos el determinante de la matriz cuadrada M: Clasificación FIN

62 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: M no es proporcional a una matriz ortogonal, ya que: 2º Calculamos el determinante de la matriz cuadrada M, Clasificación

63 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: T no es biyectiva y por lo tanto no es una transformación geométrica. FIN Clasificación

64 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: M no es proporcional a una matriz ortogonal, entonces T es una transformación afín, no es una semejanza, ni un movimiento. Clasificación FIN

65 Clasificación de las transformaciones geométricas en el plano (R2)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: T no es biyectiva y por lo tanto no es una transformación geométrica. FIN Clasificación

66 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: 1º Efectuamos el producto, MMt M . Mt Matriz Unidad Matriz escalar en otro caso

67 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: T es un movimiento, ya que M es una matriz ortogonal. 2º Calculamos los puntos dobles, es decir, la solución al sistema: 3º Si es necesario, calculamos el determinante de la matriz cuadrada M: Clasificación FIN

68 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: Como SÍ T es una homotecia de razón k ¿Es (1/k)M la matriz unidad? NO FIN Por tanto, es (1/k)M una matriz ortogonal M es proporcional a una matriz ortogonal, entonces T es una semejanza de razón k>0. Clasificación

69 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: M es proporcional a una matriz ortogonal, entonces T es una semejanza de razón k>0. 2º Calculamos el determinante de la matriz cuadrada M, Clasificación

70 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: Clasificación FIN

71 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: Clasificación FIN

72 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: M no es proporcional a una matriz ortogonal, ya que: 2º Calculamos el determinante de la matriz cuadrada M, Clasificación

73 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: M no es proporcional a una matriz ortogonal, entonces T es una transformación afín, no es una semejanza, ni un movimiento. Clasificación FIN

74 Clasificación de las transformaciones geométricas en el espacio (R3)
Siendo la ecuación matricial de la transformación geométrica T: T no es biyectiva y por lo tanto no es una transformación geométrica. FIN Clasificación

75 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
X(x,y) y β O x