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El paralelismo entre rectas lo determinan los vectores direcciΓ³n

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1 El paralelismo entre rectas lo determinan los vectores direcciΓ³n
𝒂 𝒃 𝐿 1 : π‘₯,𝑦 = 2,βˆ’1 +𝛼(βˆ’3,6) { } (βˆ’6,βˆ’3) 𝐿 2 : π‘₯,𝑦 = 3,5 +𝛼(2,βˆ’4) { } (4,2) βˆ’πŸ”π’™βˆ’πŸ‘π’š=βˆ’πŸπŸ+πŸ‘ El paralelismo entre rectas lo determinan los vectores direcciΓ³n πŸ’π’™+πŸπ’š=𝟏𝟐+𝟏𝟎 πŸ”π’™+πŸ‘π’š=πŸ— πŸπ’™+π’š=𝟏𝟏 πŸπ’™+π’š=πŸ‘ 𝒂 βˆ₯ 𝒃 ⟹ 𝑳 𝟏 βˆ₯ 𝑳 𝟐 PARALELISMO Paralelismo β‘  𝒂 =π’Œ 𝒃 β‘‘ 𝒂 . 𝒃 βŠ₯ =𝟎 πŸπ’™+π’š =πŸ‘ βˆ’πŸ‘,πŸ” . (πŸ’,𝟐) =βˆ’πŸπŸ+𝟏𝟐 ⟹ 𝑳 𝟏 βˆ₯ 𝑳 𝟐 πŸπ’™+π’š =𝟏𝟏 β‘’ 𝒂 𝟐 𝒂 𝟏 = 𝒃 𝟐 𝒃 𝟏 𝐿 4 : 12βˆ’4π‘₯ βˆ’8 = 5βˆ’5𝑦 5 𝐿 3 :π‘₯+2𝑦=9 πŸ”πŸŽβˆ’πŸπŸŽπ’™=βˆ’πŸ’πŸŽ+πŸ’πŸŽπ’š βˆ’πŸπŸŽπ’™βˆ’πŸ’πŸŽπ’š=βˆ’πŸ’πŸŽβˆ’πŸ”πŸŽ πŸπŸŽπ’™+πŸ’πŸŽπ’š=𝟏𝟎𝟎 ⟹ 𝑳 πŸ‘ βˆ₯ 𝑳 πŸ’ 𝒙+πŸπ’š=πŸ“

2 𝑳 𝟏 :𝒙+πŸπ’š=𝟐 𝑳 πŸ‘ :πŸ‘π’™+π’š=πŸ’ 𝑳 πŸ“ :πŸ’π’™βˆ’πŸ•π’š=βˆ’πŸ‘ 𝑳 πŸ• :π’™βˆ’πŸ–π’š=𝟐 𝑳 𝟐 :𝒙+πŸπ’š=βˆ’2 𝑳 πŸ’ :πŸ‘π’™+π’š=πŸ” 𝑳 πŸ” :πŸ’π’™βˆ’πŸ•π’š=βˆ’πŸ“ 𝑳 πŸ– :π’™βˆ’πŸ–π’š=𝟐 No coinciden o no EstΓ‘n superpuestas No coinciden o no EstΓ‘n superpuestas No coinciden o no EstΓ‘n superpuestas Coinciden o estΓ‘n superpuestas

3 Otro MΓ©todo para hallar la Ortogonalidad
ORTOGONALIDAD ENTRE RECTAS 𝒂 𝒃 𝐿 1 : π‘₯,𝑦 = 3,1 +𝛼(2,6) 𝐿 2 : π‘₯,𝑦 = 3,2 +𝛼(3,βˆ’1) La Ortogonalidad entre rectas lo determinan los vectores direcciΓ³n π’Ž 𝟏 =πŸ‘ π’Ž 𝟐 =βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝒂 βŠ₯ 𝒃 ⟹ 𝑳 𝟏 βŠ₯ 𝑳 𝟐 ORTOGONALIDAD π’Ž 𝟏 . π’Ž 𝟐 =πŸ‘.(βˆ’ 𝟏 πŸ‘ ) β‘  𝒂 . 𝒃 =𝟎 𝟐,πŸ” . =βˆ’πŸ (πŸ‘,βˆ’πŸ) =πŸ”βˆ’πŸ” ⟹ 𝑳 𝟏 βŠ₯ 𝑳 𝟐 β‘‘ π’Ž 𝟏 . π’Ž 𝟐 =βˆ’πŸ 𝐿 4 : 3βˆ’2π‘₯ βˆ’10 = 𝑦+1 1 𝐿 3 :5π‘₯+𝑦=7 Otro MΓ©todo para hallar la Ortogonalidad 𝑦=7βˆ’5π‘₯ πŸ‘βˆ’πŸπ’™=βˆ’πŸπŸŽπ’šβˆ’πŸπŸŽ π’Ž πŸ‘ =βˆ’πŸ“ βˆ’πŸπ’™+πŸπŸŽπ’š=βˆ’πŸπŸŽβˆ’πŸ‘ πŸπ’™βˆ’πŸπŸŽπ’š=πŸπŸ‘ π’Ž πŸ‘ . (βˆ’πŸ“)( 𝟏 πŸ“ ) π’Ž πŸ’ = =βˆ’πŸ π’™βˆ’πŸ“π’š= πŸπŸ‘ 𝟐 π’™βˆ’ πŸπŸ‘ 𝟐 =πŸ“π’š 𝟏 πŸ“ π’™βˆ’ πŸπŸ‘ 𝟏𝟎 =π’š ⟹ 𝑳 πŸ‘ βŠ₯ 𝑳 πŸ’ π’Ž πŸ’ = 𝟏 πŸ“

4 Posiciones relativas entre rectas
Paralelas (πŸ‘,𝟐) 𝐿 1 : π‘₯,𝑦 = 3,2 +𝛼(βˆ’2,4) { } (βˆ’4,βˆ’2) 2 = (𝟏,𝟏) distancia 𝐿 2 : π‘₯,𝑦 = 2,1 +𝛽(1,βˆ’2) { } (2,1) (𝟐,𝟏) = (1,1)(1,βˆ’2) (1,βˆ’2) = βˆ’1 5 Proy 𝐿 2 (1,1) =Proy π‘Ž (1,1) Com𝑝 (1,βˆ’2) (1,1) +( ) 2 βˆ’ 1 5 (π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘π‘–π‘Ž) 2 =( 2 ) 2 ⟹ (π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘π‘–π‘Ž) 2 =2 9 5 = 3 5 π·π‘–π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘π‘–π‘Ž= βˆ’πŸ’π’™βˆ’πŸπ’š=βˆ’πŸπŸβˆ’πŸ’ πŸπ’™+π’š=πŸ’+𝟏 πŸ’π’™+πŸπ’š=πŸπŸ” πŸπ’™+π’š=πŸ“ 3 πŸπ’™+π’š=πŸ– 5 (2,1)

5 Ortogonales No Paralelas πŸ—πŸŽ 𝟎 𝜢 𝜢 (𝟏,𝟐) π’Ž 𝒄 =(𝟏,π’Ž) πŸπ’™+π’š=πŸ’ ⟹ π’š=πŸ’βˆ’πŸπ’™ ⟹ π’Ž 𝟏 =βˆ’πŸ π’Ž 𝟐 =βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝒙+πŸ‘π’š=πŸ• ⟹ πŸ‘π’š=πŸ•βˆ’π’™ ⟹ π’š= πŸ• πŸ‘ βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝒙 πŸπ’™+πŸ”π’š=πŸπŸ’ πŸ“π’š=𝟏𝟎 π’Ž 𝟏 . π’Ž 𝟐 =βˆ’πŸ π’š=𝟐 πŸπ’™+(𝟐)=πŸ’ π’Ž 𝟏 = 𝒂 =(𝟏,βˆ’πŸ) πŸπ’™=𝟐 π’Ž 𝟐 = 𝒃 =(𝟏,βˆ’ 𝟏 πŸ‘ ) 𝒙=𝟏

6 ANGULO ENTRE RECTAS 𝑳 𝟐 𝑳 𝟏 Ξ± 𝛽= 𝛼 +πœƒ Ξ± 𝜷 𝜽 Ángulo de inclinaciΓ³n de la Recta (1) Ángulo de inclinaciΓ³n de la Recta (2) π‘»π’‚π’ˆ 𝜷 = Pendiente de la Recta (1) =π’Ž 𝟏 𝛼= 𝛽 βˆ’πœƒ π‘»π’‚π’ˆ 𝜽 = Pendiente de la Recta (2) =π’Ž 𝟐 = π‘‡π‘Žπ‘”π›½βˆ’π‘‡π‘Žπ‘”πœƒ 1+π‘‡π‘Žπ‘”π›½.π‘‡π‘Žπ‘”πœƒ π‘‡π‘Žπ‘” 𝛼 = π‘‡π‘Žπ‘” ( 𝛽 βˆ’πœƒ) π’Ž 𝟐 βˆ’ π’Ž 𝟏 𝟏+ π’Ž 𝟐 . π’Ž 𝟏 π‘‡π‘Žπ‘” 𝛼 =

7 SΓ­ ; no son ortogonales:π‘»π’‚π’ˆπœΆ= π’Ž 𝟐 βˆ’ π’Ž 𝟏 𝟏+ π’Ž 𝟏 . π’Ž 𝟐
Posiciones relativas entre rectas Paralelas π‘Žπ‘₯+𝑏𝑦=𝑐 π‘βˆ’π‘‘ distancia π‘Žπ‘₯+𝑏𝑦=d π‘Ž 2 + 𝑏 2 SΓ­ ; no son ortogonales:π‘»π’‚π’ˆπœΆ= π’Ž 𝟐 βˆ’ π’Ž 𝟏 𝟏+ π’Ž 𝟏 . π’Ž 𝟐 π‘Žπ‘₯+𝑏𝑦=π‘š π‘Žπ‘₯+𝑏𝑦=π‘š No Paralelas 𝜢 Debe hallar las pendientes y verificar: π‘š 1 . π‘š 2 =βˆ’1 π‘šπ‘₯+𝑛𝑦=π‘Ž 𝑝π‘₯+π‘žπ‘¦=𝑏 Resolviendo el sistema de ecuaciones Ortogonales πŸ—πŸŽ 𝟎 𝜢

8 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dada la recta: 2π‘₯βˆ’π‘¦=10. Hallar la distancia del punto A (6,2) a la recta A (3,1) 2(6)βˆ’(2)=10 No hay distancia 130 = (πŸ‘,𝟏𝟏) 2(3)βˆ’(1)=10 𝑫 B (0,βˆ’10) Proy 𝐿 1 (3,11) =Proy π‘Ž (3,11) =Proy (1,2) (3,11) Pendiente: = (3,11)(1,2) (1,2) = Comp (1,2) (3,11) 2π‘₯βˆ’π‘¦=10 𝑫= πŸπŸ“ πŸ“ +( ) 2 βˆ’ 625 5 2π‘₯βˆ’10=𝑦 = πŸ“ (𝐷) 2 =( 130 ) 2 (𝐷) 2 =130 π’Ž 𝟏 =𝟐 𝒂 =(𝟏,𝟐) πŸπ’™βˆ’π’š=𝟏𝟎 ⟹ πŸπ’™βˆ’π’šβˆ’πŸπŸŽ=𝟎 ⟹ 𝟐(πŸ‘)βˆ’(𝟏)βˆ’πŸπŸŽ =πŸ“ πŸ“ (𝟐,βˆ’πŸ)


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