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1 TEMA 4 LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER. 2 ESQUEMA GENERAL.

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1 1 TEMA 4 LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

2 2 ESQUEMA GENERAL

3 3 Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier es X(f). Veamos un procedimiento numérico de evaluación de ésta, que será discreto, y nos dará una estimación del espectro en puntos discretos. Veamos un procedimiento numérico de evaluación de ésta, que será discreto, y nos dará una estimación del espectro en puntos discretos. Consideraremos las fuentes de error introducido en el proceso. Consideraremos las fuentes de error introducido en el proceso.

4 4

5 5 ESQUEMA GENERAL La primera fuente de error es el error de solapamiento (aliasing) que se produce al muestrear la señal en el tiempo.La primera fuente de error es el error de solapamiento (aliasing) que se produce al muestrear la señal en el tiempo. La segunda fuente de error es la que se produce al truncar la señal en el tiempo (leakage), que da lugar a cierto rizado en la característica espectral.La segunda fuente de error es la que se produce al truncar la señal en el tiempo (leakage), que da lugar a cierto rizado en la característica espectral. De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la DFT en el contexto de las señales periódicas. De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la DFT en el contexto de las señales periódicas.

6 6 REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS: LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS La señal, al ser periódica, admite ser desarrollada en SERIES DE FOURIER La señal, al ser periódica, admite ser desarrollada en SERIES DE FOURIER

7 7 REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS: LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN SERIES

8 8 REPRESENTACIÓN EN DSF DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS: LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS

9 9 PROPIEDADES DE LA DFS

10 10 PROPIEDADES DE LA DFS

11 11 CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

12 12 CONVOLUCIÓN PERIÓDICA EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

13 13 MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z Hemos visto que los valores de X(k) en la representación del DSF de una secuencia periódica son idénticos a las muestras de la Transformada Z de un único periodo de x(n) en N puntos equiespaciados sobre el círculo unitario Hemos visto que los valores de X(k) en la representación del DSF de una secuencia periódica son idénticos a las muestras de la Transformada Z de un único periodo de x(n) en N puntos equiespaciados sobre el círculo unitario Consideremos ahora, de una forma mas general, la relación existente entre una secuencia aperiódica con Transformada Z X(z) y la secuencia periódica para la cual sus coeficientes del DSF corresponden a muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo alrededor del círculo unitario. Consideremos ahora, de una forma mas general, la relación existente entre una secuencia aperiódica con Transformada Z X(z) y la secuencia periódica para la cual sus coeficientes del DSF corresponden a muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo alrededor del círculo unitario.

14 14 MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su transformada z en N puntos equiespaciados en ángulo, obtenemos la secuencia periódica: Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su transformada z en N puntos equiespaciados en ángulo, obtenemos la secuencia periódica: donde donde a la cual le corresponde la secuencia periódica dada por: sustituyendo los valores de, obtenemos:

15 15 MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z intercambiando el orden del sumatorio: pero: por lo que:

16 16 Relación entre la duración M de una secuencia y el número de muestras N en el espectro. cuando N

17 17 MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z Si longitud [x(n)]

18 18 REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA: LA DFT Los resultados anteriores sugieren dos puntos de vista orientados a la representación de Fourier de secuencias de duración finita: Los resultados anteriores sugieren dos puntos de vista orientados a la representación de Fourier de secuencias de duración finita: Representar una secuencia de duración finita N por una secuencia periódica de periodo N y considerar su representación como un periodo del DSF de la secuencia periódica. Representar una secuencia de duración finita N por una secuencia periódica de periodo N y considerar su representación como un periodo del DSF de la secuencia periódica. Representar una secuencia de duración finita N Representar una secuencia de duración finita N

19 19 DFT: DFT: IDFT: IDFT: REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA: LA DFT

20 20 PROPIEDADES DE LA DFT 1) Linealidad x 3 (n)=ax 1 (n)+bx 2 (n), X 3 (k)= aX 1 (k)+bX 2 (k) x 3 (n)=ax 1 (n)+bx 2 (n), X 3 (k)= aX 1 (k)+bX 2 (k) Si long[x 1 (n)]=N 1 y long[x 2 (n)]=N 2 entonces Si long[x 1 (n)]=N 1 y long[x 2 (n)]=N 2 entonces long[x 3 (n)]=max{N 1,N 2 } 2) Periodicidad x(n) y X(k) son periódicas con período N. x(n) y X(k) son periódicas con período N.

21 21 PROPIEDADES DE LA DFT 3) Simetría Si x(n) X(k) entonces x*(n) X*(-k)= Si x(n) X(k) entonces x*(n) X*(-k)= X*(N-k) X*(N-k) Para señales REALES: Para señales REALES: x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k) x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k) Re[X(k)] es una función par Re[X(k)] es una función par Im[X(k)] es una función impar Im[X(k)] es una función impar |X(k)| es una función par |X(k)| es una función par Fase[X(k)] es una función impar Fase[X(k)] es una función impar

22 22 PROPIEDADES DE LA DFT 4) Desplazamiento Circular de una secuencia Sea x(n) X(k), ¿Cuál será el x 1 (n) X(k)e -j2pkm/N ? Interpretación de la DFT como un período de la DSF. Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya que ambos están confinados en 0

23 23 PROPIEDADES DE LA DFT Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya que ambos están confinados en 0

24 24 PROPIEDADES DE LA DFT 5) Convolución Circular Sean dos secuencias de longitud N x 1 (n) y x 2 (n) con DFTs X 1 (k) y X 2 (k). ¿Cuál será la x 3 (n) cuya DFT es X 3 (k)=X 1 (k)X 2 (k)?

25 25 PROPIEDADES DE LA DFT 5) Convolución Circular Es decir, x 3 (n) será un periodo de la convolución de las secuencias periódicas, correspondientes a x 1 (n) y x 2 (n) respectivamente. x 3 (n)=x 1 (n)(~)x 2 (n) X 3 (k)=X 1 (k)X 2 (k) x 3 (n)=x 1 (n)(~)x 2 (n) X 3 (k)=X 1 (k)X 2 (k)

26 26 CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

27 27 Convolución de dos secuencias finitas de igual número de puntos CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

28 28 Convolución de dos secuencias finitas de distinto número de puntos En general si : DFTS sobre la base de puntos DFTS sobre la base de puntos CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

29 29 Convolución de una secuencia finita con otra de un número indefinido de puntos CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

30 30 Método solapa y sumaMétodo solapa y suma Método solapa y guardaMétodo solapa y guarda Convolución de una secuencia finita con otra de un número indefinido de puntos CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

31 31 Convolución Lineal Convolución LinealLong Método Solapa y Suma Cada Término de la sumatoria debe calcularse utilizando DFT de L+M–1 puntos

32 32 Método Solapa y Guarda Sean las secuencias causales y de duración finita x(n) e y(n) tales que: Sean las secuencias causales y de duración finita x(n) e y(n) tales que: x(n)=0 n 8 y(n)=0 n 20 Se multiplican las DFT de 20 puntos de cada una de ellas y se computa la IDFT que denotamos por z(n). Se multiplican las DFT de 20 puntos de cada una de ellas y se computa la IDFT que denotamos por z(n). Especificar que puntos en z(n) corresponden a los puntos que se habrían obtenido con la convolución lineal de x(n) e y(n) Especificar que puntos en z(n) corresponden a los puntos que se habrían obtenido con la convolución lineal de x(n) e y(n)

33 33

34 34

35 35 Relación entre parámetros temporales y frecuenciales: T: periodo de muestreo N: nº de puntos t d =NT: duración de la señal en el tiempo Δf: resolucón frecuencial F h : frecuencia máxima de la señal

36 36 Relación entre parámetros temporales y frecuenciales: Según el teorema del muestreo: fs2f h T1/2f h Por otro lado: 2f h =NΔfN2f h / Δf Δf=1/NT Límite superior del periodo de muestreo Nº mínimo de muestras requerido para calcular la DFT

37 37 Ejemplo: Dada una señal contínua con frecuencia máxima de 2KHz y siendo preciso calcular su espectro con la DFT con una resolución en frecuencias de 10 Hz, determinar Ts y N.

38 38

39 39

40 40 Evaluación de la DFT de 64 puntos a partir de 32 muestras de la función exponencial e -t evaluada en t=0,1k para k=0,1,,,,31 Observar que los últimos 32 puntos son los complejos conjugados de los 32 primeros, debido a la propiedad de simetria de la DFT para una señal real. *** Δf=1/NT=1/(32*0,1); ΔΩ=1,9635 rad/seg *·*·* Δf=1/NT=1/(64*0,1); ΔΩ= rad/seg Pi/T=31,416

41 41 Las 32 muestras definen 4 periodos f=kΔf =k/NT K=4, 28

42 42 El nº de muestras no es múltiplo del periodo.

43 43

44 44

45 45 COMPUTACIÓN DE LA DFT DFT: DFT: IDFT: IDFT: Caso general, x(n) COMPLEJO: Caso general, x(n) COMPLEJO:

46 46 COMPUTACIÓN DE LA DFT TOTAL DE OPERACIONES Para cada X(k) Todos los X(k) ProductosSumasProductosSumas Operaciones complejas NN-1N2N(N-1) Operaciones reales 4N4N-24N2N(4N-2)

47 47 COMPUTACIÓN DE LA DFT Comparación del número de multiplicaciones requeridas por cálculo directo de DFT y por cálculo mediante el algoritmo FFT:

48 48 COMPUTACIÓN DE LA DFT PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS :

49 49 COMPUTACIÓN DE LA DFT Secuencias reales: Explicación intuitiva

50 50 COMPUTACIÓN DE LA DFT Para N=8, Términos k Términos k+N/2 Explicación intuitiva

51 51 COMPUTACIÓN DE LA DFT Explicación intuitiva

52 52 COMPUTACIÓN DE LA DFT Explicación intuitiva

53 53 Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente más pequeñas Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente más pequeñas Aprovechan la simetria y periodicidad de los Aprovechan la simetria y periodicidad de los Caso general, N=2 v y v entero. Caso general, N=2 v y v entero. ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

54 54 Separando en n pares e impares: Separando en n pares e impares: LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al segundo obtenemos: X(k) = G(k) + H(k) ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

55 55 Realizando un proceso análogo de partición con G(k) y H(k) obtenemos: Realizando un proceso análogo de partición con G(k) y H(k) obtenemos: y así sucesivamente … En el caso general de N=2 v se precisa de p=log 2 N etepas de computación como las comentadas. En el caso general de N=2 v se precisa de p=log 2 N etepas de computación como las comentadas. ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO


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