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1 5. Integración. 2 3 Falacias, falacias,... 4 Integrales de línea, de camino o de contorno reales.

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1 1 5. Integración

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3 3 Falacias, falacias,...

4 4 Integrales de línea, de camino o de contorno reales

5 5 El signo debe tomarse de modo que ds 0 para los valores x e y en juego. En este caso +. Otra manera: Camino

6 6 Interpretación física de las integrales de línea: Podemos definir las integrales con dx y dy: Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos).

7 7 Ejercicio: recalcular las tres integrales recorriendo el camino en sentido inverso. ¿Negativo? Ejemplo: Camino: Camino

8 8 Calculemos de nuevo de otra forma: Repetir para dx y dx/dy.

9 9 La integral depende del sentido en los que recorramos el camino C en los casos de dx y dy: Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues tomamos el módulo del vector:

10 10 Integrales de línea, de camino o de contorno en el plano complejo Observa que la integral NO es el área bajo la curva. El valor depende del sentido: es una suma de vectores. Los Δz actúan como vectores, no como longitudes. Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?

11 11 Conexión entre integrales de línea reales y complejas Con C indicamos el camino de la integral de línea.

12 12 Integración de funciones complejas parametrizadas Arco suave C de A a B: Parametrización continua con t(A) t t(B) y con derivadas x(t) e y(t) continuas.

13 13 Ejemplo:

14 14 Evalúa donde C es el contorno de la figura C 1 está definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it, con 0 t 1, z(t) = 1 + i, f(z(t)) = t 2 + it 2 : La curva C 2 está definida por x = 1, y = t con 1 y 2. Entonces: z(t) = 1 + it, z(t) = i, f(z(t)) = 1 + it 2 :

15 15 Calcular la integral Donde C es el arco de circunferencia, orientado positivamente. Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

16 16

17 17 Camino o contorno simple cerrado Es un contorno que genera dos dominios: uno acotado (interior) y otro no acotado (exterior). Ambos dominios tienen al contorno como frontera. Camino o contorno no simple cerrado

18 18 Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido positivo alrededor del contorno C cuando el interior queda a la izquierda del sentido de circulación. Para no recargar con símbolos Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido negativo si ocurre lo contrario. Se cumple que:

19 19 Propiedades de las integrales de contorno

20 20 Integrar la función a lo largo de la circunferencia: |z| = r. Ejemplo Introducimos un parámetro t variando entre Nota: podríamos haber usado Ejercicio: repetir con esta forma.

21 21

22 22 Integrar la función a lo largo del cuadrado Ejemplo Introducir un parámetro t variando entre

23 23 0 (integrando impar en intervalo de integración par)

24 24 Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integración. Integrar la función a lo largo del cuadrado Introducir un parámetro t variando entre

25 25 Usando las relaciones obtenemos Donde C ahora es el cuadrado unitario anterior desplazado a la izquierda 2 unidades.

26 26

27 27 Observa que:

28 28

29 29 Teorema integral de Cauchy Si f (z) es analítica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces: f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 f (z) es analítica en todo punto Ejemplos:

30 30 Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el Teorema de Green (1828) George Green ( ). Resultado de sus trabajos en electromagnetismo. Sean continuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:

31 31 Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la figura. Puesto que sobre los caminos C 2 y C 4 no hay variación en x:

32 32 Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C 3 y C 1 no tienen variación en y, obtendremos: Y eso completa la demostración para un contorno rectangular recorrido en sentido positivo.

33 33 Podemos usar infinitos rectángulos para recubrir exáctamente el área de R. Recorriéndolos como indica la figura superior, se compensan las integrales en los caminos horizontales...

34 34 Demostración del teorema integral de Cauchy: 0 (Como f(z) es analítica cumple las ECR) Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:

35 35

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37 37 Teorema integral de Cauchy-Goursat Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces: Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la restricción alguna sobre la derivada de f(z). Edouard Jean-Baptiste Goursat (1838 – 1936)

38 38 f (z) es no analítica en z = /2, 3 /2,... f (z) es no analítica en z = 3 Ejemplos No es analítica en los puntos z = 0, 1, 2, C 2i

39 39 Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la desigualdad ML: longitud de C cualquier número tal que sobre C Demostración: Cotas para integrales de línea.

40 40 Observemos que si |f(z)|=1, entonces: Por la desigualdad triangular, tenemos:

41 41 Supongamos que: si z es un punto de C. Entonces: Desigualdad ML

42 42 Ejemplo: Encuentra una cota superior para el valor absoluto de: donde C es el círculo |z| = 4. Puesto que |z +1| |z| 1 = 3, entonces: Además, |e z | = e x, con |z| = 4, y tenemos que el máximo valor de x es 4. Así:

43 43 Demostrar la siguiente desigualdad: Im (z) 1 Re (z) Respuesta. L: longitud del arco: M: max |Log z| Γ

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45 45 A B C D E F Demostración del teorema de Cauchy-Goursat para camino triangular cualquiera: Sea el camino triangular ABCA. Trazamos un triángulo auxiliar EFD a partir de los puntos medios de los lados del triángulo ABC. Entonces: E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2

46 46 Aplicando la desigualdad triangular: Sea Entonces: Repitiendo el proceso con el triángulo

47 47 Después de n pasos, tendremos: Hemos construido una sucesión de triángulos encajados: gracias al principio de Cantor de compactos encajados: existe un punto z 0 que pertenece a todos ellos. Y puesto que z 0 está dentro o sobre ABC, y como por el enunciado f(z) es analítica en z 0. Entonces: recordemos que (z) depende de z y que (z) 0 cuando z z 0 ; es decir, que para todo podemos encontrar un tal que (z) siempre que z - z 0.

48 48 Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadas continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.

49 49 Si P es el perímetro de ABC, entonces el perímetro n será: Usando la desigualdad ML:

50 50 Teníamos: Y como se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:

51 51 Puesto que todo polígono cerrado se puede triangular, aplicando el teorema de Couchy-Goursat a cada triángulo podemos demostrar el teorema para un polígono cerrado arbitrario. Intentaremos aproximar una curva arbitraria a través de un polígono cerrado P de vértices z 0, z 1, z 2,... z n-1, z n = z 0, tal y como hicimos para definir la integral de línea compleja.

52 52 Recordemos que: Para n finito, estamos aproximando la curva cerrada con un polígono P cerrado de n lados y de perímetro S n. Obviamente: Usando la desigualdad triangular: 1 2 Acotaremos y 12

53 53 Comencemos con 1 Entonces, dado cualquier > 0 existe un número N( ) tal que para n > N( ):

54 54 Sigamos con acotemos: 2

55 55

56 56 Utilizando la desigualdad triangular: Multiplicando por –1 y cambiando el signo de los integrandos:

57 57 Para cada una de las k integrales (k=1,2,..., n) usaremos la desigualdad ML. Observemos que la longitud de cada integral es: Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos tomar el N( ) de lo suficientemente grande como para que con n > N( ) la distancia entre f(z k ) y f(z) esté por debajo de /2P, para todo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos acotar todos los integrandos: 1

58 58 De modo que: Teníamos:

59 59 Recopilando: Puesto que es arbitrario, entonces:

60 60

61 61 Ejercicio

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63 63 Principio de deformación de contornos (Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo). Supongamos que f (z) es analítica en un dominio doblemente conexo D así como en las curvas que lo limitan. Entonces: Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto conexo (no incluye los puntos frontera). Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros) Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros) Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros)... Sentido negativo

64 64 A B Como: Sentido positivo Nota: Observa que los sentidos en que se recorren los circuitos en este dibujo y el anterior, no son los mismos...

65 65 Ejemplo 1:(¡obvio!) Ejemplo 2:(no tan obvio)

66 66 Otra demostración Introduzcamos dos cortes, L 1 y L 2,que unen los dos contornos. Sean C * y C ** los dos nuevos contornos cerrados indicados por las flechas ( ) y ( ), respectivamente Inicio y x Ahora f (z) es analítica sobre y dentro de C * y C **. Por el teorema Integral de Cauchy:

67 67 Integramos alrededor del dominio D, a lo largo de Así: Las integrales a lo largo de L 1 y L 2 se anulan Pero como las integrales a lo largo de C * y C ** son cero, entonces: con lo que se demuestra el enunciado Inicio y x

68 68 ¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos? Si uno de los contornos puede transformarse en el otro mediante una deformación continua y sin cruzar ninguna singularidad de f(z), entonces: Recordemos:

69 69 Así que como la integral de f(z) = 1/z a lo largo de un círculo de radio r es 2 i: A partir del teorema integral de Cauchy para dominios doblemente conexos vemos que la integral de f(z) = 1/z a lo largo de cualquier camino que contenga este círculo es también 2 i. es analítica aquí Ejemplo

70 70 Evaluar la integral f (z) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuera de la región sombreada como muestra la figura. Así: donde C es un círculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un círculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo. Ejemplo 0 3i -3i 1 2

71 71 Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos Supongamos que C, C 1, …, C n son curvas cerradas simples con orientación positiva, tales que C 1, C 2, …, C n son interiores a C pero las regiones interiores a cada C k, k = 1, 2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es analítica dentro y sobre el contorno C, sin el interior de todos los C k, k = 1, 2, …, n, entonces:

72 72 No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir que formen anillos. Por ejemplo: Imaginemos que f(z) es analítica en todos los puntos del dominio D de la figura. Tanto C 2 como C 3 forman anillos con C 1. Por deformación de contornos:

73 73 Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo el plano complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que siendo C k : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo. Calcular, siendo Γ i cada uno de los siguientes contornos orientados positivamente: (1) Γ 1 : |z| = 4,(2) Γ 2 : |z| = 5/2 y (3) Γ 3 : |z – 5/2| = 1 Respuesta: Por el teorema de Cauchy- Goursat en dominios múltiplemente conexos:

74 74 Integremos la función a lo largo de la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i. (1) Representar C en la forma z(t): (2) Integramos: Independencia del camino de integración

75 75 A lo largo de C 2 : Ejemplo Integrar la función a largo del camino C = C 1 + C 2 que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura: A lo largo de C 1 :

76 76 ¿El valor de la integral entre dos puntos depende siempre del camino?

77 77 Repitamos pero con a lo largo de la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i. (1) Representar C en la forma z(t): (2) Integramos:

78 78 A lo largo de C 2 : Ejemplo Repitamos de nuevo con la función, pero ahora a largo del camino C = C 1 + C 2 que une los puntos 0 y 1+ i: A lo largo de C 1 :

79 79 Ahora el valor de la integral no depende del camino. ¿Qué diferencias hay entre f(z) = z y f(z)= ?

80 80 Integrar la función a lo largo del camino C uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura Otro ejemplo

81 81 Integrar la función a lo largo del camino C = C 1 + C 2 uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura Otro ejemplo A lo largo de C 1 : A lo largo de C 2 :

82 82 El valor de la integral a lo largo de los dos caminos es el mismo. ¿Coincidencia?

83 83 Independencia del camino Supongamos que f (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D (por el teorema integral de Cauchy)

84 84 Recuerda el potencial gravitatorio: La energía potencial gravitatoria = m g h es independiente del camino... masa m altura h

85 85 Ejemplo: f(z)=|z| 2 x 1 i 1+i L0L0 L1L1 L2L2 y Observa que L 0 L 1 +L 2

86 86 Ejemplo: f(z)=z 2 x 1 i 1+i L0L0 L1L1 L2L2 y Observa que L 0 =L 1 +L 2

87 87 Ejemplo: calcular A lo largo del camino C 1 : Como f(z) = 1/z es analítica en todo el plano complejo excepto en z = 0. Podemos utilizar un camino más sencillo C 2 (|z| = 1).

88 88 Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo para cada bucle, utilizando como puntos intermedios los puntos de intersección.

89 89 Si f es analítica en D entonces:

90 90 Independencia del camino Consideremos la integral Si F (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y, z 0 y z 1 están en D, entonces la integral de f(z) entre z 0 y z 1 es independiente del camino en D. donde p.ej. De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real:

91 91 Ejemplos (1) todo el plano complejo (2) ( f (z) es no analítica en todo punto - depende del camino) (3) f (z) analítica en este dominio (ambas 1/z 2 y 1/z son no analíticas en z = 0 - el camino de integración C debe eludir el punto)

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94 94 ¿Por qué en este caso la integral depende del camino?

95 95 Intentemos definir F(z) = Ln z como primitiva. En este caso una posible primitiva es: Corte Punto de ramificación

96 96 CortePunto de ramificación Intentemos definir una primitiva para este caso. Observe que NO puede ser la misma que en el caso anterior: Y tomemos los cortes como los tomemos, siempre obtendremos este resultado.

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99 99 Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?

100 100 Fórmula Integral de Cauchy Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z 0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z 0 :

101 101 Ejemplo Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de f (z) = 1 y z 0 = 0 La fórmula integral de Cauchy f (z) es una función constante, es entera, así que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0. se convierte en

102 102 Ejemplo Evaluar la integral donde C es z = 2 es un punto singular en el interior a C. se convierte en: La fórmula integral de Cauchy f (z) es analítica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2.

103 103 Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy: Por el principio de deformación de contornos: Cambio de variable:

104 104 Hemos tomado un r 0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño: ¿Qué no es riguroso aquí?

105 105 Demostración de la fórmula integral de Cauchy. Por el principio de deformación de contornos:

106 106 Vamos a encontrar una cota ML para Tenemos: Y necesitamos M tal que: Para todo z en C 0 : Como f(z) es continua en z 0 : Si tomamos para todo z sobre C 0.

107 107 Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r 0. Así que:

108 108 Ejemplos Evaluar las siguientes integrales: (1) donde C es el círculo |z | =2 f (z) es analítica en D y C incluye z 0

109 109 (2) donde C es el círculo |z+i |=1 Necesitamos un término en la forma 1/(z- z 0 ) así que rescribimos la integral como: En primer lugar, notemos que 1/(z 2 +1) presenta puntos singulares en z = i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula

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111 111 Evaluar donde C es el círculo |z – 2i | = 4. Solución Solo z = 3i está dentro de C, y

112 112 Otro ejemplo Fórmula integral de Cauchy: se convierte en Evaluar donde C es cualquier contorno cerrado conteniendo z = -i f (z) es analítica en todo punto

113 113 Tenemos que El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula donde Ahora donde C es el círculo |z+i |=1

114 114 donde C es el círculo |z |=3/2 tan z es no analítica en /2, 3 /2,, pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de integración C incluye dos puntos singulares, z = 1. Para poder usar la fórmula integral de Cauchy, debemos tener sólo un punto singular z 0 dentro de C. Usaremos fracciones parciales:

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121 121 Por ejemplo, Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z 0, con la fórmula: Nota: cuando n=0 tenemos la Fórmula Integral de Cauchy: Generalización de la fórmula integral de Cauchy f analítica en y dentro de C, z 0 dentro de C Esta fórmula también es conocida como la formula para las derivadas de una función analítica.

122 122 Tomando f(z 0 ) como una función de variable z 0. Derivando con respecto a z 0 y aplicando la regla de Leibnitz: Partamos de la fórmula integral de Cauchy: Demostración de la generalización de la fórmula integral de Cauchy Usar el mismo procedimiento para demostrar por inducción:

123 123 La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional: Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez también analíticas en el dominio. Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z 0. Si f(z) no es analítica en z 0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería analítica en z 0 : una contradicción.

124 124 Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea f (z) es analítica en D, y C incluye z 0

125 125 Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea f (z) es analítica in D, y C incluye z 0

126 126 Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo. Examen JUNIO 02/03: P-1

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142 142 Resumen: con f (z) analítica dentro y sobre C. (1) con f (z) analítica dentro y sobre C (3) ( Teorema integral de Cauchy-Goursat ) (Fórmula integral de Cauchy ) con f (z) analítica dentro y sobre C (4) ( Fórmula para derivadas ) (2) donde F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y z 0 y z 1 en D.

143 143 Ejercicios: Demostrar (1) El teorema de Morera: (2) La desigualdad de Cauchy: Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y si para cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analítica en D (Probarlo usando la fórmula para las derivadas de una función analítica y la desigualdad ML) (3) El teorema de Liouville Si una función entera f (z) está acotada en valor absoluto para todo z, entonces f (z) debe ser constante – probarlo usando la desigualdad de Cauchy.

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145 145 Desigualdad de Cauchy Si tomamos el contorno circular C: |z – z 0 | = r, utilizando la generalización de la fórmula integral de Cauchy y la desigualdad ML: donde |f(z)| M para todos los puntos de C.

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147 147 Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que |f (z 0 )| M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer que |f (z 0 )| sea tan pequeño como queramos: |f (z 0 )| = 0. De modo que f es una función constante. Teorema de Liouville

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152 Ejercicio. Sea la función entera tal que: Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z). Respuesta. Por el teorema de Liouville: Por tanto

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