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Redes libres de escala Lucas Lacasa Dpto. Matemática Aplicada ETSI Aeronáuticos, UPM.

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Presentación del tema: "Redes libres de escala Lucas Lacasa Dpto. Matemática Aplicada ETSI Aeronáuticos, UPM."— Transcripción de la presentación:

1 Redes libres de escala Lucas Lacasa Dpto. Matemática Aplicada ETSI Aeronáuticos, UPM

2 Índice 1.Ausencia de escala: ley de potencias 2.Redes libres de escala ¿Dónde? ¿Cómo? 3. Redes libres de escala: ¿Y qué? Aplicaciones prácticas Redes libres de escala

3 ¿ CÚAL ES LA ALTURA DE UNA PERSONA?

4 ESCALA CARACTERÍSTICA Tamaño característico entre 50 cm y 272 cm La media está alrededor de 180 cm. LEY DE POISSON

5 ¿ QUE TIENEN EN COMÚN ESTAS DOS FOTOGRAFIAS ? NO PODEMOS ASEGURAR EL TAMAÑO !!!...EXISTEN MUCHOS CUERPOS QUE NO TIENEN UN TAMAÑO o ESCALA CARACTERÍSTICA...

6 Log-log plot Distribución de tamaños de ciudades NO EXISTE UN `TAMAÑO MEDIO´ DE CIUDAD BIEN DEFINIDO: hay muchas ciudades pequeñas pero también hay ciudades muy grandes LEY DE POTENCIAS O LIBRE DE ESCALA

7 EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA LEY POISSON LEY GAUSS NO EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA LEY DE POTENCIAS LOG-LOG

8 ¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ? GEOMETRÍA FRACTAL UN FRACTAL ES UN OBJETO QUE TIENE EL MISMO ASPECTO VISTO DESDE CUALQUIER DISTANCIA. TIENE EL MISMO ASPECTO A TODAS LAS ESCALAS. Zoom Cambio de escala =

9 ¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ? GEOFÍSICA : - TERREMOTOS - HURACANES LEY DE GUTENBERG-RICHTER ¡ LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE TERREMOTOS EN FUNCIÓN DE SU MAGNITUD SIGUE UNA LEY DE POTENCIAS ! Ley de potencias

10 ¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ? SOCIOLOGÍA : DISTRIBUCIÓN DEL TAMAÑO DE CIUDADES ECONOMÍA: DISTRIBUCION DE LA RIQUEZA, BOLSA FÍSICA, BIOLOGÍA, QUÍMICA, MATEMÁTICAS, ETC. ES UNA LEY QUE APARECE DE FORMA UBICUA DEBE RESPONDER A MECANISMOS MUY GENERALES AUSENCIA DE ESCALA (Fractales) SISTEMA CON MUCHOS COMPONENTES, CUANDO ESTOS COMPONENTES INTERACTÚAN ENTRE SÍ LOCALMENTE (Sociología)

11 2) UNA RED LIBRE DE ESCALA ES AQUELLA QUE POSEE UNA DISTRIBUCIÓN DE CONECTIVIDAD DE TIPO LEY DE POTENCIAS. * HAY MUCHOS NODOS CON POCOS ENLACES. * PERO TAMBIÉN HAY ALGUNOS NODOS CON MUCHOS ENLACES ( HUBS ). 1) UNA RED ES UN CONJUNTO DE NODOS Y ENLACES. NODOS COMPONENTES DE UN SISTEMA. ENLACES RELACIÓN ENTRE COMPONENTES. ¿QUÉ ES UNA RED LIBRE DE ESCALA?

12 WWW Nodos: WWW documents Links: URL links Autoorganizada

13 Sociedad (redes sociales) Nodos : individuos Links : interacciones entre individuos Ejemplos: - Modelos de votación - Estudios de propagación de rumores Autoorganizada

14 REDES BIOLÓGICAS Red metabólica Nodos : metabolitos Links : reacciones bioquímicas Nodos: especies Links: interacciones tróficas Red trófica Autoorganizada (evolución)

15 NO BIOLÓGICAS > 2 www = 2.1 actores = 2.3 citas = 3 eléctricas = 4 BIOLÓGICAS < 2 De proteínas =1.5, 1.6, 1.7, 2.5 Metabólica de E. Coli = 1.7, 2.2 Genética de expresión (levadura) = Genética de interacción funcional = 1.6 Algunas redes de las que conocemos su topología: P(k) ~ k -

16 - REDES AUTOORGANIZADAS (¿Evolutivamente?) - LA INTERACCIÓN ES LOCAL - SON REDES MUY DIFERENTES UNIVERSALIDAD ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN TODOS ESTOS EJEMPLOS? DEBE EXISTIR MECANISMOS GENERALES / EVOLUTIVOS MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

17 Enganche preferencial ( preferential attachment ) 1) POBLACIÓN INICIAL. 2) A CADA t, INTRODUCIMOS NUEVOS NODOS. 3) ESOS NUEVOS NODOS SE ENGANCHARÁN CON LOS EXISTENTES. DE TAL FORMA QUE, LO HARÁN CON MAYOR PROBABILIDAD, CON LOS NODOS MÁS RELEVANTES (MÁS FUERTES). Tiempo (más nodos) Población inicial

18 - Epidemiología (propagación de virus). - Robustez, tolerancia frente a ataques (deliberados). - Procesos de optimización (publicidad) APLICACIONES

19 Propagacion de epidemias: RED DE CONTACTOS SEXUALES Nodos: individuos Links: relaciones sexuales RED LIBRE DE ESCALA HAY UNOS POCOS NODOS CON MUCHA MAYOR PROBABILIDAD DE CONTAGIAR QUE OTROS (HUBS) La red influye sobre la dinámica ESTRATEGIAS DE PREVENCION DE EPIDEMIAS

20 PREVENCIÓN: ESTUDIO MATEMÁTICO DE LA ROBUSTEZ DE LA RED ROBUSTEZ FRENTE A FALLOS / ATAQUES: RED ELÉCTRICA SISTEMA ELÉCTRICO ESPAÑOL MODELO MATEMÁTICO (RED) GeneradoresNodos Líneas eléctricasEnlaces Calentamiento de un generador Desaparición de un nodo Mal estado de un cable de tensión Desaparición de un enlace Cortes en cadena Apagón general Desmembración de la red Fallo aleatorio Consecuencia (OTRO EJEMPLO: REDES ECOLÓGICAS y EXTINCIONES)

21 OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO: publicidad por Internet RED (internet) ES LIBRE DE ESCALA LA DIFUSIÓN DE INFORMACIÓN ENTRE NODOS NO ES ALEATORIA, SINO QUE ESTÁ ESTRUCTURADA ESTRATEGIAS DE OPTIMIZACIÓN según QUÉ TIPO DE DIFUSIÓN QUEREMOS (RAPIDEZ, CONSTANCIA, ETC) Se aplican: Teoría de grafos Difusión no lineal Física estadística (modelos de percolación)

22 * UBICUAS tanto en la naturaleza como a nivel social o tecnológico * AUTO-ORGANIZADAS a partir de principios evolutivos. * Estudio matemático : - modelización (mecanismos generales) - propagación: * frenarlo (virus) * optimizarlo (publicidad) - seguridad: * tolerancia frente a fallos (infraestructura) * robustez * ETCÉTERA CONCLUSIONES ~ Redes libres de escala P(k) k -


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