4. Funciones básicas.

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1 4. Funciones básicas

2 Sea z = x+iy, definimos la función exponencial como:
¿Por qué? (1) ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0). (2) ez es una función entera (es analítica en todo punto). (3) Su derivada coincide con la función misma, como en el caso de la exponencial real.

3 ux = ex cos y = vy uy = -ex sin y = -vx
(2) Veamos que ez es una función entera, es decir analítica para todo z: Tenemos: u(x,y) = ex cos y ; v(x,y) = ex sin y cuyas derivadas parciales son continuas para todo (x,y) y ux = ex cos y = vy uy = -ex sin y = -vx es decir, cumplen las las ECR, para todo (x,y). (3) Su derivada es:

4 Podríamos haber abordado la definición de la
siguiente manera: Recordando que la función exponencial real se determina por la ecuación diferencial f'(x) = f(x) con f(0)=1, nos preguntamos si existe una solución analítica a: f'(z) = f(z) con f(z)=1. Si la solución existe, coincidirá con ex cuando z = x. Supongamos como soluciones (separación de variables):

5 Derivemos ambas ecuaciones respecto a y y apliquemos CR:
Todas las soluciones son de la forma: con A y B constantes. Como:

6 O bien podríamos haber alcanzado la definición a través de series...

7 Propiedades de la función exponencial
(1)

8 Igualando la parte imaginaria:
(2) Resolvamos ez = 1: Igualando la parte imaginaria: ex sin y = 0  y =  n (n = 0,1,2.....). Igualando la parte real: 1 = ex cos y = ex cos ( 2n) = ex  x=0.  z =  2n i (n = 0,1,2.....). En particular e0 = 1. (3) (ez)-1 = e-z Observemos que 1 = e0 = ez-z = ez e-z. (4) (ez)n = enz , con n entero. Para n=0,1 la igualdad es cierta por definición. Para n > 1, aplicamos ez+w = ez ew e inducción. Para n < -1, (ez)n = [(ez)-1] –n = (e-z) –n = enz.

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10 (7) De modo que ez es periódica con periodo 2 i ez+ 2 i = ez  z
(5) Observemos que ez  0  z. El rango de la función exponencial es todo el plano w, excepto 0, C - {0}. (6) arg ez = y  2n (n = 0,1,2...). (7) De modo que ez es periódica con periodo 2 i ez+ 2 i = ez  z y v 3 Así que podemos dividir el plano z en bandas periódicas infinitas de ancho 2. De modo que la imagen de cada banda llena la totalidad del plano w (excepto w = 0). La banda - < y   se denomina región fundamental o principal de ez.  x u - -3

11 Las líneas y = c e y = d se transforman en los rayos
respectivamente (a excepción del origen). Las línea x = a y x = b se transforma en los círculos de radio R = a, b respectivamente. Combinando ambos hechos, observa como se transforma el rectángulo.

12 exp(z) = ex (cos y + i sen y)
f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y) Esquema de color dependiente del valor real Dominio Rango

13 f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)
Esquema de color dependiente del valor imaginario Dominio Rango

14 The complex exponential maps the infinite open strip bounded by the horizontal lines through ±πi one-to-one onto the plane minus the negative real axis. The lines of constant real part are mapped to circles, and lines of constant imaginary part to rays from the origin. In the animation we view a rectangle in the strip rather than the entire strip, so the region covered is an annulus minus the negative real axis. The inner boundary of the annulus is so close to the origin as to be barely visible. We also make the strip a bit thinner than 2π, so that the annulus does not quite close up.

15 ez = ex (cos y + i sen y) (1.1)

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23 (8) Fórmula de Euler Cuando z es imaginario puro (x = 0):
1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

24 ¿Cómo llegó Euler a esta fórmula? (Series de potencias ...)

25 (9) “The most remarkable fórmula in math” (Richard Feynman)
Observa que para la fórmula de Euler, nos proporciona la siguiente identidad: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

26 From Gianluca Gorni's web site

27 (10) |eiy| = |cos y + i sin y| = (cos2y + sin2y) = 1
(11) |ez| = |ex+iy|= |ex| |eiy|= |ex|= ex > 0 Ejercicio: Hallar todas las soluciones de ez = 3+4i Solución: Igualando módulos |ez| = ex = 5 x = ln(5) = 1,609. Igualando partes real e imaginaria: ex cos y = 3; ex sin y = 4  cos y = 0,6; sin y = 0,8  y = 0,927  2n z = 1,609 + (0,927  2n) i (n = 0,1,2.....)

28 (12) Las formas exponencial y trigonométrica
Recuerda que la forma polar para un número complejo es La fórmula de Euler nos dice que 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable. Forma exponencial de un número complejo

29 (13) La función exponencial y el conjugado
¿Qué números complejos satisfacen la expresión ? El módulo es 1 y puede tomar cualquier valor, de modo que satisfacen la expresión todos los números complejos sobre el círculo unidad. ¿Qué números complejos satisfacen la expresión ? z0=1 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable. Todos los números complejos sobre un círculo de radio 2, centrado en z0=1

30 (14) Producto y división en forma exponencial
Es sencillo multiplicar y dividir en forma exponencial. Por ejemplo, dividamos: En general: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

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32 Aplicación: Fasores Muchas señales pueden ser representadas como senoides:

33 Representación de un número complejo en forma de fasor

34 Cambio de Fase

35 Circuitos Corriente Alterna Resistencia R
La tensión está en fase con la corriente La tensión se retrasa respecto a la corriente en Inductancia L La tensión adelanta a la corriente en

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37 Resistencia Capacitancia Inductancia
Definimos la impedancia compleja Z como Resistencia Capacitancia Inductancia Cada una de esas fórmulas pueden ser escritas como Si definimos la tensión compleja como V = IZ podemos escribirlo en la forma

38 Funciones trigonométricas
A partir de la fórmula de Euler: Podemos escribir:

39 (Un paréntesis) Whittaker & Watson, A Course of Modern Analysis,
Fourth edition 1927

40 Observa que los autores suponen que el lector está familiarizado con la siguiente identidad trigonométrica: que es equivalente a:

41 sin ( kp/n ) 2 sin ( kp/n ) Esta identidad trigonométrica es equivalente al siguiente teorema geométrico: Si equiespaciamos n+1 puntos alrededor del círculo unidad y trazamos un conjuntos de cuerdas paralelas, entonces el producto de las longitudes dobladas de las n-1 cuerdas es n.

42 Y el producto de la longitud de las n-1 cuerdas será:
2 sin ( kp/n ) 2 sin ( kp/n ) Reordenando las cuerdas, introduciendo números complejos y usando la idea de que el valor absoluto y la suma de números complejos corresponde a la adición de vectores. La longitud de la k-ésima cuerda será: Y el producto de la longitud de las n-1 cuerdas será:

43 Introduzcamos un número complejo arbitrario z y definamos la función:
2 sin ( kp/n ) Introduzcamos un número complejo arbitrario z y definamos la función: Evaluemos: Para ello observemos que en los factores aparecen los n números: , que son las raíces enésimas de la unidad.

44 Longitud del producto de las n-1 cuerdas
2 sin ( kp/n ) Las n raíces de la unidad son solución de la ecuación: Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación polinómica tiene exactamente n raíces, que son: Así el polinomio puede factorizarse únicamente como: Como, además: Así: y Finalmente tenemos: Longitud del producto de las n-1 cuerdas

45 Teorema de Cotes (1716) Roger Cotes (1682 –1716) Si
es un n-ógono regular inscrito en un círculo de radio unidad centrado en O y P el punto sobre a distancia x de O, entonces Nota: Cotes no publicó una prueba de este teorema, quizás porque el uso de los números complejos no eran todavía considerado una manera respetable de probar un teorema en geometría.

46 Funciones trigonométricas de variable compleja
A partir de la observación anterior, resulta natural definir las funciones seno y coseno de una variable compleja z por medio de las siguientes expresiones: Observa que en variable compleja las funciones trigonométricas y exponencial están íntimamente relacionadas, cosa que no ocurre en variable real. Con estas definiciones: cos z (sin z) se reduce a cos x (sin x) cuando z es real. (2) cos z y sin z son funciones enteras (analíticas en todo punto). (3) Sus derivadas coinciden con sus equivalentes en variable real. 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

47 Ejemplo: Resolver cos z = 5.
Solución: Aplicamos la definición en exponenciales del coseno: cos z = [eiz + e-iz]/2 = 5 eiz + e-iz – 10 = 0; multiplicando la ecuación por eiz ei2z –10 eiz + 1 = 0; Haciendo el cambio de variable t = eiz t = eiz = 5  (25-1) = o 0.101 e-y = ó  y = 2.292 eix = 1  x = 2n (n=0,1,2....)  z =  2n  i (n=0,1,2....)

48 Two-to-one coverings of a disk by the complex cosine restricted to a rectangle of width 2π    and height 2 centered at the origin.

49 Two-to-one coverings of a disk by the complex sine restricted to a rectangle of width 2π    and height 2 centered at the origin.

50 El resto de funciones trigonométricas se definen en relación a las
funciones seno y coseno mediante las relaciones conocidas: Observa por ejemplo que: tan z y sec z (cot z y csc z) no son enteras, ya que no son analíticas en los puntos donde cos z (sin z) es 0. Las fórmulas usuales para las funciones trigonométricas de variable real siguen siendo válidas para las correspondientes de variable compleja: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

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52 Funciones hiperbólicas de variable real (recordatorio)
Las funciones hiperbólicas reales se definen por analogía a las definiciones de seno, coseno y tangente en variable compleja:

53 Representación gráfica de las funciones reales hiperbólicas
Nota : La ecuación de una cuerda suspendida de dos puntos a la misma altura es ÷ ø ö ç è æ = a x y cosh . La curva se conoce como catenaria.

54 Interpretación de las funciones hiperbólicas reales
Así como las funciones circulares (trigonométricas) aparecen en problemas que involucran integrales con (1-x2)1/2, las hiperbólicas aparecen con (1+x2)1/2.

55 Derivadas de las funciones hiperbólicas reales
Demostración:

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57 Escribamos las funciones trigonométricas complejas en forma binómica:
1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable. De la misma manera para la función seno tenemos:

58 Si particularizamos en las definiciones de las funciones trigonométricas complejas para z = ix tendremos:

59 Estos resultados nos dan una regla general para convertir identidades trigonométricas en identidades hiperbólicas: Cualquier identidad trigonométrica seguirá siendo válida si reemplazamos sin(), cos(), tan() por sinh(), cosh(), tanh() respectivamente. Teniendo en cuenta, además, que si hay un producto de dos sin() ó tan(), cambia el signo del término sustituido. Por ejemplo:

60 cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y = 0
(1) Resolver cos z = 0 cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y = 0 Parte real: cos x cosh y = 0  cos x = 0; x = (2n+1)/2 (n = 0,1,2...) Parte imaginaria: sin x sinh y = 0  sinh y = 0; y = 0 z =  (2n+1)/2 (n = 0,1,2....) (2) Resolver sin z = 0 sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = 0 Parte real: sin x cosh y = 0  sin x = 0; x =  n (n = 0,1,2...) Parte imaginaria: cos x sinh y = 0  sinh y = 0; y = 0 z =  n (n = 0,1,2....) Los ceros de cos z y sin z son los mismos que los de sus análogas funciones cos x y sin x reales.

61 Funciones hiperbólicas complejas
Hemos definido las funciones hiperbólicas de una variable real como: Parece natural definir las funciones hiperbólicas de variable compleja mediante las expresiones: (1) Estas funciones son enteras y con derivadas: (cosh z)’ = sinh z ; (sinh z)’ = cosh z 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable. (2) Otras funciones hiperbólicas se definen como: tanh z = sinh z / cosh z ; coth z = cosh z / sinh z sech = 1/cosh z ; csech z = 1/sinh z que son analíticas excepto en los puntos en que el denominador se anula.

62 Escribamos las funciones hiperbólicas complejas en forma binómica:
De la misma manera podemos demostrar que: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

63 Ejemplo: Veamos que |cos z|2 = cos2x + sinh2y
|cos z|2 = cos2x cosh2y + sin2x sinh2y Como cosh2y – sinh2y = [½(ey + e-y)]2-[½(ey - e-y)]2 = 1 |cos z|2 = cos2x (1 + sinh2y) + sin2x sinh2y = cos2x + sinh2y Ejercicio: Demostrar que : cosh (iz) = cos z y sinh (iz) = sin z Ejercicio: Demostrar la identidad de Moivre para funciones hiperbólicas:

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66 Ejercicio: Hallar todas las soluciones de la ecuación
. Hacemos , y la ecuación resulta: , cuyas soluciones son: , de donde , y también con k un número entero. Despejando z se obtiene la solución: , con k un nº entero. .

67 f(z) = sen z Esquema de color dependiente del valor imaginario Dominio
Rango

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71 Pescando Biomorfos http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/home.htm
Algunas veces me considero un pescador. Los programas de ordenador  y las ideas son mis herramientas, cañas y redes. Los gráficos que aparecen  en mi pantalla son trofeos y deliciosas mieles.    Clifford A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos and Beauty

72 Biomorfos Partimos de una función iterada::
Escogemos una región del plano complejo y tomamos cada punto de esta región como semilla inicial z0 para iterar.  Tomemos uno de ellos. Lo iteramos, por ejemplo, 150 veces. Conocido el valor final de z, pintamos en función del valor absoluto de su parte real e imaginaria: Si alguna de ellas excede o es igual a 100 (por ejemplo), pintamos z0 como un punto blanco, En caso contrario lo pintamos en negro. Biomorfos

73 Función logarítmica Definimos el logaritmo de un número complejo z como (|z| > 0, no continua en z = 0). Definido de esta manera, observemos que: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable. El logaritmo complejo es multivaluado, una correspondencia multívoca, no una biyección. Debido a la multivaluación de la función arg z, a cada z corresponden un número infinito de valores.

74 Por ejemplo, calculemos el valor de
Para cada valor de n obtenemos un posible valor de la función logaritmo. Podemos construirnos una función unívoca tomando el argumento principal Arg z, en vez de arg z.

75 Valor principal del logaritmo
Tenemos: El valor principal de ln z se define como el valor correspondiente al valor principal del argumento de z: valor principal Usamos la letra mayúscula L para designar al valor principal: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

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77 (1) Sea z1 = z2 = ei = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = i
Esta es una relación familiar para los logaritmos naturales Sea z1 = z2 = ei = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = i observa que ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2) = 2i = ln(1) PERO: ¡no se cumple para el valor principal! Ln(z1z2) = Ln(1) = 0 ln(ez) = ln(ex+iy) = ln(ex) + i y  2ni = z  2ni

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79 Resumen repetición

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84 Esquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango

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88 Derivada del ln(z) Ejercicio:
Sea ln z = u(x,y) + i v(x,y). Entonces: u(x,y) = ln|z| = ½ln(x2+y2) v(x,y) = arg z = tan-1(y/x) + 2n; n=0,1,... ux = x/(x2+y2) vy = y/(x2+y2) (ln z)/ = ux + i vx= x/(x2+y2) – i y/(x2+y2) = (x - i y)/(x2+y2) = 1/z Ejercicio: Repetir los cálculos anteriores en polares.

89 Analiticidad de Ln z Como no existe ln 0, Ln z no está definido en z = 0. Como el argumento principal Arg z toma valores , el logaritmo experimenta un “salto” al cruzar el eje real negativo.

90 De modo que podemos tomar como dominio de analiticidad:
D = plano z –{R- U 0} El logaritmo no es analítico en z = 0 ni a lo largo del eje real negativo Analítica en todo punto excepto aquí ¿Existen y son continuas las derivadas parciales y se cumplen las ECR en el dominio D? 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable. ux = x/(x2+y2) = vy = [1/(1+(y/x)2)](1/x) uy = y/(x2+y2) = -vx = -[1/(1+(y/x)2)](-y/x) Se satisfacen ECR

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94 Repetimos: tomaremos como dominio de analiticidad
D = Z -{R- U 0}, o en polares los z's tq. r > 0 y -π < ө  π. Veamos sin son continuas las derivadas parciales y se cumplen las ecuaciones de CR en el dominio D en polares: 1. The real variable can be represented by a single line. All the values it can take, from -inf to +inf can be plotted on this line 2. We usually denote the función of x by the letter y - each point along the x-axis es mapped to a point in the x-y plane, y we can visualise the función of the real variable.

95 Ejemplo: determinar el mayor dominio de analiticidad
de la función f(z) = Ln[z-(3+4i)]. El Ln() es analítico para todo punto del plano z excepto la recta semi-infinita negativa y el cero. Descartaremos los valores de z que hacen que el argumento de f() sea negativo o cero: z-(3+4i) = x+iy-3-4i = (x-3)+i(y-4). Es decir: y-4 = 0, x-3 0 y = 4 x  3 3 4 3+4i

96 a) Determinar la región del plano complejo en la que la función es analítica. Considérese la determinación del logaritmo correspondiente al ángulo Re(w) Im(w) Examen JUNIO 04/05: P-1 determinación

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98 b) Determinar la región del plano en la que la función
es analítica. Respuesta. Determinación principal no analítica en: w1 = 0; Re(w1) < 0; Im(w1) = 0 π/z no analítica en z = 0.

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100 n=0,±1,±2...

101 k=0,±1,±2...

102 Obtener los puntos del plano complejo donde la función
es analítica. Considerar la determinación principal.

103 Zonas de no analiticidad – plano w
Re(w) Im(w) Re(w)<0 Im(w)=0 Im(z) Re(z) -1 1 (Re(z)<-1) y (Re(z)>1) Im(z)=0 Zonas de no analiticidad – plano z

104 Sol.: u(x,y) = 1/2 Log [x2 + (y-3)2]
v(x,y) = Arg (z-3i) + 4π f(z) = Log |z - 3i| + 4πi

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107 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas
Determinemos la inversa del seno a partir de Todas ellas son multiformes ... Demostrar:

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112 El valor principal de la
arcotangente será:

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115 Demostrar la expresión y calcular todos los valores posibles de .
Examen JUNIO 02/03: P-1

116 P1. Junio 2007 Obtener la forma binómica de Respuesta.

117 a) Solución con signo negativo de la raíz cuadrada:

118 b) Solución con signo positivo de la raíz cuadrada:

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120 Potencias Definamos ahora donde c = a+bi es complejo como:
Podemos expresar potencias de números complejos en forma de funciones exponenciales/logarítmicas cuando el exponente es real. Por ejemplo, En general, para k real: Definamos ahora donde c = a+bi es complejo como: El valor principal de zc será ecLn(z) Observa que si z = e entonces zc = ec proporciona un único valor: ec = ea(cos b + i sin b). Para cualquier otra base, dado que ln(z) es multivaluado, zc lo será también. El número de valores es infinito excepto cuando c es racional.

121 Es decir: Si c = n = 1,2,.... entonces zn es univaluado e idéntico a la potencia enésima habitual de z Si c = n = -1,-2,.... la situación es similar. Si c = 1/n = 2,3,.... entonces zc = nz = e(1/n)ln z (z0) el exponente se determina en función de los múltiplos de 2i/n y obtenemos distintos valores de la raíz nth Si c = p/q, siendo el cociente de dos enteros positivos, zc tiene un número finito de valores distintos. Si c es irracional o complejo entonces zc es infinitamente multivaluado.

122 Ejercicio: Calcular la derivada de
Ejemplo: Calcular ii ¡Infinitos valores reales! Valor principal real Ejercicio: Calcular la derivada de

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130 Recuerda que una función es analítica en una región R si es diferenciable en todos los puntos de R.
Los términos función holomorfa, función diferenciable, función compleja diferenciable o función regular se usan a menudo de forma intercambiable para referirse a función analítica. Muchos matemáticos prefieren el término “función holomorfa”, mientras que “función analítica” es más usado por físicos e ingenieros. Recuerda que una función analítica en todos los puntos del plano complejo se llama entera. Como hemos visto una función analítica puede no serlo en uno o más puntos singulares o a lo largo de los cortes de ramas. Para acabar, una función univaluada que es analítica en todo punto de su domino a excepción de un conjunto discreto de singularidades (polos y singularidades no esenciales), se denomina función meromorfa.

131 M.C. Escher

132 The Mathematical Structure of Escher’s Print Gallery
B. de Smit and H. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS, vol. 50, N. 4 (April 2003) ¿Qué efecto quiere conseguir Escher en esta litografía? ¿Por qué aparece una mancha blanca en el centro del cuadro? Prentententoonstelling (Galería de grabados) M.C. Escher 1956

133 “Lo que yo traté de representar era solamente una superficie
que se hincha, de forma anular, sin principio ni fin.” El espejo mágico de M. C. Escher (Bruno Ernst, ed. Taschen)

134 Mundo “real” Transformación Mundo “curvo”

135 Anti-transformación Transformación
Cualquier camino simple cerrado alrededor del origen del mundo “curvo” se antitransforma en un camino no cerrado en el mundo “real”. Por ejemplo el camino ABCD. Anti-transformación Transformación

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137 Rectificación de la litografía

138 El efecto Droste En Alemania la marca de chocolate Droste es famosa
por el efecto visual de una de sus cajas de cacao. En ella la imagen se contiene a sí misma en pequeña escala.

139 Escher and the Droste effect
Tras un zoom de 28 = 256 volvemos a la imagen original.

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141 Reconstrucción

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147 Una rotación en sentido horario de 157.6255960832. . . grados y
un zoom de nos devuelve a la imagen original. M.C. Escher: More Mathematics Than Meets the Eye, Sara Robinson. SIAM News, Vol. 35, N. 8, Ocober 2002.