Sistemas dinámicos discretos

Presentación del tema: "Sistemas dinámicos discretos"— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas dinámicos discretos
Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo: (i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio. Aquí tienes tres ejemplos:    (1) Audio-feedback: si acercamos el micrófono a la salida de sonido crearemos un circuito de retroalimentación del volumen: Vt+1 = r·Vt    donde V es el volumen y r la ganancia efectiva.    (2) Interés bancario: el dinero en el banco renta más o menos capital (generalmente vemos que menos).     St+1 = r·St   donde St es el saldo al t-ésimo año y r = (1 + tasa de interés - tasa de inflación).    (3) Crecimiento de una colonia de bacterias: las poblaciones varían en el tiempo (solo para gente con microscopio).    Pt+1 = r·Pt  donde Pt = número de células, población, en la t-ésima generación y r = (1 + tasa de crecimiento - tasa de defunción) = fecundidad.  

2 xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ... xt+1 = rt+1 · x0
La pregunta típica en SD es: dada una condición inicial (V0 decibelios, S0 euros o P 0 bacterias en nuestros casos) ¿cuál será el estado del sistema después de t iteraciones? Para los sistemas lineales como los expuestos, la respuesta no es difícil. Podemos resolverlos totalmente. Tenemos:    xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ...    Dada una condición inicial x 0:  x1 = r · x0     x2 = r · x1 = r2 · x 0  ...  Y en general:  xt+1 = rt+1 · x0    Conocida la condición inicial conocemos el estado del sistema en cualquier instante. Observemos que a pesar de que la ecuación es lineal el comportamiento dinámico es el de una sucesión geométrica.  Una serie temporal no lineal no implica necesariamente reglas dinámicas no lineales.   

3 Las gráficas siguientes muestran la riqueza de comportamientos dinámicos posibles de nuestra función iterada lineal al variar el parámetro r. Evidentemente, para nuestros ejemplos concretos ciertos comportamientos carecerán de sentido: ni volúmenes musicales negativos (música minimalista), ni intereses negativos (inflación hipergalopante), ni poblaciones negativas (noche de los muertos vivientes) son posibles. Decaimiento exponencial 0 < r < 1

4 Crecimiento exponencial r > 1 
Comportamiento estacionario r = 1 

5 Decaimiento oscilante -1 < r < 0 
Crecimiento oscilante r < -1 Ciclo periódico r = -1

6

7

8