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Sistemas dinámicos discretos Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo: (i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio. Aquí tienes.

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Presentación del tema: "Sistemas dinámicos discretos Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo: (i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio. Aquí tienes."— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas dinámicos discretos Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo: (i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio. Aquí tienes tres ejemplos: (1) Audio-feedback: si acercamos el micrófono a la salida de sonido crearemos un circuito de retroalimentación del volumen: V t+1 = r·V t donde V es el volumen y r la ganancia efectiva. (2) Interés bancario: el dinero en el banco renta más o menos capital (generalmente vemos que menos). S t+1 = r·S t donde S t es el saldo al t-ésimo año y r = (1 + tasa de interés - tasa de inflación). (3) Crecimiento de una colonia de bacterias: las poblaciones varían en el tiempo (solo para gente con microscopio). P t+1 = r·P t donde P t = número de células, población, en la t- ésima generación y r = (1 + tasa de crecimiento - tasa de defunción) = fecundidad.

2 La pregunta típica en SD es: dada una condición inicial (V 0 decibelios, S 0 euros o P 0 bacterias en nuestros casos) ¿cuál será el estado del sistema después de t iteraciones? Para los sistemas lineales como los expuestos, la respuesta no es difícil. Podemos resolverlos totalmente. Tenemos: x t+1 = r· x t con t = 0, 1, 2,... Dada una condición inicial x 0 : x 1 = r · x 0 x 2 = r · x 1 = r 2 · x 0... Y en general: x t+1 = r t+1 · x 0 Conocida la condición inicial conocemos el estado del sistema en cualquier instante. Observemos que a pesar de que la ecuación es lineal el comportamiento dinámico es el de una sucesión geométrica. Una serie temporal no lineal no implica necesariamente reglas dinámicas no lineales.

3 Las gráficas siguientes muestran la riqueza de comportamientos dinámicos posibles de nuestra función iterada lineal al variar el parámetro r. Evidentemente, para nuestros ejemplos concretos ciertos comportamientos carecerán de sentido: ni volúmenes musicales negativos (música minimalista), ni intereses negativos (inflación hipergalopante), ni poblaciones negativas (noche de los muertos vivientes) son posibles. Decaimiento exponencial 0 < r < 1

4 Crecimiento exponencial r > 1 Comportamiento estacionario r = 1

5 Decaimiento oscilante -1 < r < 0 Crecimiento oscilante r < -1 Ciclo periódico r = -1

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