Redes en un Mundo Pequeño Marzo 2007 Bartolo Luque Departamento de Matemática Aplicada ETSI Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid.

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2 Redes en un Mundo Pequeño Marzo 2007 Bartolo Luque Departamento de Matemática Aplicada ETSI Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid

3 ¿Cómo visualizar la complejidad del mundo? Según Naciones Unidas existen en estos momentos más de 27 millones de refugiados. El mayor número alcanzado jamás. La anchura de las flechas indica la cantidad relativa de refugiados según las zonas.

4 Montañas de débito © 1988 - 2006, Ingo Günther and Worldspace Corporation

5 Polución

6 Comprehensive Guide to the World

7 Mark Lombardi Redes para representar la complejidad

8 "Redes globales, … porque cada una consiste en una red de líneas y apuntes, que a su vez tratan de inspirar y redactar un cuento, tipicamente sobre un evento reciente …, como la caída de un gran banco internacional o una firma de inversiones. Una de mis metas es investigar las fuerzas de interacción política, social y económica en los negocios contemporáneos." Complejidad en la corrupción: Manipuladores del poder Interconexiones clandestinas entre corporaciones, organizaciones políticas e instituciones internacionales. Mark Lombardi (1951-2000) Artista, pintor e historiador de arte

9 george w. bush, harken energy, and jackson stevens c.1979-90, 5th version, 1999 graphite on paper 20 x 44 inches sold

10 george w. bush, harken energy, and jackson stevens c.1979-90, 5th version, (detail)

11 Compañías vs. Países

12 They Rule www.theyrule.net www.theyrule.net They Rule permite crear redes de relaciones entre las 500 compañías más poderosas de EEUU y muchas de sus instituciones gubernamentales, educativas o fundaciones, a través de las personas que ocupan asiento en sus consejos de administración. Algunas de estas personas ocupan asientos en hasta 7 compañías...

13 Sociedad: Nodos (Nodes) : Individuos Enlaces (Links) : Relaciones sociales Redes sociales: Muchos individuos conectados entre sí a través de relaciones sociales.

14 School Friendship Network James Moody Tipos de nodos Races: Yellow - White Race Green - Black Race Pink - Other Raza Edad

15 "Friendships are determined by asking the participants, and hence are directed, since A may say that B is their friend but not vice versa". Dirigidos (Directed) No dirigidos (Undirected) Pesados (Weighted) 2,2 Tipos de enlaces: 1,3

16 "Chains of affection: The structure of adolescent romantic and sexual networks," Bearman PS, Moody J, Stovel K. American Journal of Sociology, Vol. 100, No. 1. Entrevistas a 832 adolescentes. Últimos 18 meses

17 A single gigant component that connected 52 percent (288). Moody said: They might know that their partner had a previous partner. But they dont think about the fact that this partner had a previous partner, who had a partner, and so on". The two most distant individuals are 37 steps apart.

18 No core group of very sexually active people at the high school. This network could be compared to rural phone lines, running from a long main trunk line to individual houses. As a comparison, many adult sexual networks are more like an airline hub system where many points are connected to a small number of hubs.

19 There were 63 simple pairs only 35 percent of the romantically active students (189) were involved in networks containing three or fewer students. There were very few components of intermediate size (4 to 15) students.

20 Long chains of connections. No loops: The surprising thing about the network at Jefferson High was the near absence of cycling. The lack of cycling seems traceable to rules that adolescents have about who they will not date. No to take seconds in a relationship.

21 Conectividad y distribución de conectividad k = 3 k = 2 k = 1 k f (k) 1 2 3

22 Grafos Distancia entre nodos de un grafo... Leonhard Euler (1707-1783)

23 El número de Erdös Fue autor o coautor de 1.475 artículos matemáticos y colaboró en ellos con un total de 504 coautores distintos. Pál Erdös Pál Erdös (1913-1996) En siglo XVII, el suizo Leonhard Euler, padre de trece niños, escribió ochenta volúmenes de resultados matemáticos.

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25 Walter Alvarez geology 7 Rudolf Carnap philosophy 4 Jule G. Charney meteorology 4 Noam Chomsky linguistics 4 Freeman J. Dyson quantum physics 2 George Gamow nuclear physics and cosmology 5 Stephen Hawking relativity and cosmology 4 Pascual Jordan quantum physics 4 Theodore von Kármán aeronautical engineering 4 John Maynard Smith biology 4 Oskar Morgenstern economics 4 J. Robert Oppenheimer nuclear physics 4 Roger Penrose relativity and cosmology 3 Jean Piaget psychology 3 Karl Popper philosophy 4 Claude E. Shannon electrical engineering 3 Arnold Sommerfeld atomic physics 5 Edward Teller nuclear physics 4 George Uhlenbeck atomic physics 2 John A. Wheeler nuclear physics 3 Números de Erdös de científicos famosos Número Erdös 1- 504 Número Erdös 2- 6.593 Número Erdös 3 - 33.605 Número Erdös 4 - 83.642 Número Erdös 5 - 87.760...... http://www.oakland.edu/enp/ ¿Y tú?

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28 Parámetros de una red Conectividad Número de vecinos de un nodo k P(k) := Distribución de conectividad. Diámetro Máxima distancia entre un par de nodos. ( The two most distant individuals are 37 steps apart.) Longitud característica

29 Distancia entre dos nodos: L (i,j) es el número de enlaces a lo largo del camino más corto entre los nodos i y j (geodesic path). La longitud característica L de una red es el promedio de L (i,j) para todos los posibles pares de nodos (i,j) de la red. i j

30 El concepto Small World, en términos sencillos, simplemente describe el hecho de que, a menudo y a pesar del enorme tamaño de muchas redes, la distancia media entre un par de nodos cualesquiera es corta. Una gran red con valor de L pequeño, decimos que presenta efecto "Small World" (SW). Longitud característica L Propiedad global

31 Tree Network

32 Random Network: Las redes aleatorias presentan efecto SW. De modo que SW no es un indicador de un principio organizador especial.

33 Random graphs – Erdos & Renyi (1960) Start with N nodes and for each pair of nodes, with probability p, add a link between them. For large N, there is a giant connected component if the average connectivity (number of links per node) is larger than 1.

34 Modelo de Erdös-Renyi (1960) Distribución de Poisson Muchos nodos tienen esta conectividad. Presenta efecto SW.

35 Large-Scale Online Social Network Visualization Jeffrey Heer "This image is a visualization of my personal friendster network (circa February, 2004) to 3 hops out. The network consists of 47.471 people connected by 432.430 edges".

36 "This image shows the same network but with the edges removed, allowing one to see the distribution of the individual nodes... a social galaxy".

37 Coeficiente de clustering o ¿Mis amigos son amigos entre sí? C(v) = 1/3 k = 3

38 Coeficiente de clustering o ¿Mis amigos son amigos entre sí? k = 3 C(v) = 0/3 = 0

39 Coeficiente de clustering o ¿Mis amigos son amigos entre sí? k = 3 C(v) = 2/3

40 Coeficiente de clustering o ¿Mis amigos son amigos entre sí? k = 3 C(v) = 3/3 = 1

41 Coeficiente de clustering o ¿Mis amigos son amigos entre sí? Observemos que el coeficiente de clustering se define para cada nodo. Definimos el clustering C de una red como el promedio de todos los coeficientes de clustering. El clustering C es una propiedad local. ¿Será alto o bajo C en la red de afectos?

42 ¿Cómo será C(N) en una red aleatoria de N nodos?

43 ¿Cómo será C(N) en una red regular de N nodos?

44 Comportamiento asintótico Red regularRed aleatoria

45 Social networks: Milgrams experiment 160 letters: From Wichita (Kansas) and Omaha (Nebraska) to Sharon (Mass) Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) who is more likely than you If you do not know the target person on a personal basis, do not try to contact him directly. Instead, mail this folder to a personal acquaintance who is more likely than you to know the target person.

46 ¡ El mundo es un pañuelo ! Cest petit le monde !! What a Small-World ! Seis grados de separación

47 Large-Scale Online Social Network Visualization Jeffrey Heer "This image is a visualization of my personal friendster network (circa February, 2004) to 3 hops out. The network consists of 47.471 people connected by 432.430 edges".

48 Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998) LL rand CC N Actors PowerGrid C.Elegans

49 A Few Good Man Robert Wagner Austin Powers: The spy who shagged me Wild Things Lets make it legal Barry Norton What Price Glory Monsieur Verdoux Bacons Game Internet Movie Database Oráculo de Virginia

50 Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998) LL rand CC N Actors 3,650,79225.226 PowerGrid C.Elegans

51 Power grid NW USA-Canada N = 4.914 k max = 19 k aver = 2,67 L = 18,7 C = 0,08 D = 46

52 Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998) LL rand CC N Actors 3,650,79225.226 PowerGrid 18,70,084.914 C.Elegans

53 Caenorhabditis elegans Neural system N = 282 k max = 14 k average = 9 L = 2,65 C = 0,28 D = 3

54 Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998) LL rand CC N Actors 3,650,79225.226 PowerGrid 18.70,084.914 C.Elegans 2,650,28282

55 LL rand CC N Actors 3,652,990,790,00027225.226 PowerGrid 18.712,40,080,0054.914 C.Elegans 2,652,250,280,05282 ¡Todas estas redes tienen C alto y a la vez L pequeño! Red regularRed aleatoria

56 Regular network high C large L Random network small C small L Small-world network high C small L N = 1000 k =10 D = 100 L = 49.51 C = 0.67 N =1000 k = 8-13 D = 14 d = 11.1 C = 0.63 N =1000 k = 5-18 D = 5 L = 4.46 C = 0.01 p = 0 p = 1

57 Redes regulares Redes SW Redes aleatorias

58 El modelo de Watts-Strogatz... fue solamente el comienzo...