Bloque 2: Divide y Vencerás

Presentación del tema: "Bloque 2: Divide y Vencerás"— Transcripción de la presentación:

1 Bloque 2: Divide y Vencerás
Unidad 2: Aplicaciones

2 Aplicaciones típicas DyV
Multiplicación entera y matricial Búsqueda y ordenación Selección y determinación de la media Exponenciación Las aplicaciones típicas son importantes porque pueden utilizarse como: Ejemplos del modo de confeccionar algoritmos DyV Bloques constructores de algoritmos específicos

3 Multiplicación de enteros largos
El algoritmo clásico de multiplicación es O(n2) Es posible aplicar la técnica divide y vencerás a este problema, conforme a la siguiente estrategia: Sean 2 números, a y b, de tamaño n Descompongamos los números a y b en 2 números de longitud n/2 El producto es

4 Multiplicación de enteros largos
Si n es par, las ecuaciones anteriores se simplifican Cuatro multiplicaciones de números con tamaño n/2 es similar a una multiplicación de números de tamaño n. No obstante, considerando:

5 Multiplicación de enteros largos
Se obtiene que Esta estrategia permite reducir de 4 a 3 multiplicaciones, de números de longitud n/2, a costa de aumentar el número de sumas y desplazamientos (multiplicación por potencias de 10) La complejidad de este algoritmo es (nlog 3), aunque sólo es eficiente para n grandes, debido a la existencia de constantes ocultas con un valor elevado

6 Multiplicación de matrices
Consiste multiplicar dos matrices cuadradas A, B de tamaños n x n, en un orden inferior a O(n3) Es una variación del problema de la multiplicación de enteros largos, consistente en dividir las matrices en submatrices y realizar los productos parciales En su formulación más evidente, es necesario resolver 8 subproblemas de tamaño n/2, siendo interesante la estrategia DyV únicamente cuando se resuelven 7 o menos subproblemas A11 A12 A22 A21 B11 B12 B22 B21 C11 C12 C22 C21 x =

7 Multiplicación de matrices
La solución consiste en: P = (A11+A22)(B11+B22) Q = (A12+A22) B11 C11 = P + S - T + U R = A11 (B12-B22) C12 = R + T S = A22(B21-B11) C21 = Q + S T = (A11+A12)B22 C22 = P + R - Q + U U = (A21-A11)(B11+B12) V = (A12-A22)(B21+B22) Este algoritmo posee un O(nlog7)  O(n2.81). Al igual que para el caso de la multiplicación de enteros, las constantes ocultas son muy altas y el algoritmo es útil solo para valores de n grandes

8 Búsqueda La búsqueda binaria probablemente el algoritmo DyV más conocido, con O(log n) Dado que se trata realmente de un algoritmo de simplificación, en lugar de DyV, puede programarse fácilmente de forma iterativa, la cual es su implementación más frecuente FUNCTION busquedaBinaria(T[1..n], x):1..n; BEGIN i:= 1; j:= n; repeat m:=(i+j) div 2; if T[m] > x then j:= m-1 else i:= m+1 until i>j or T[m]=x; busquedaBinaria:= m; END;

9 Dos algoritmos de ordenación bien conocidos son DyV
Mergesort Quicksort Para ordenar mediante mergesort (ordenación por mezcla) los elementos de un array de tamaño n se: Divide el array original es dividido en dos trozos de tamaño igual (o lo más parecido posible), es decir n/2 y n/2. Resuelven recursivamente los subproblemas Llega al caso base cuando se obtiene un subarray de un solo elemento (versión pura) o cuando se obtiene un subarray de tamaño reducido (versión con umbral) Combinan los dos subarrays (lo cual se puede realizar en O(n)) Se obtiene una función de complejidad O(n log n), frente al O(n2) típico de los algoritmos no DyV de ordenación

10 Ordenación PROCEDURE mergeSort (VAR T[1..n]) BEGIN
{se podría evitar la utilización de un algoritmo básico} if T es pequeño then OrdenaciónDirecta(T[1..n]) else begin s:= n div 2; mergeSort(T[1..s]); mergeSort(T[s+1..n]); merge(T[1..n], T[1..s], T[s+1..n]); end; END;

11 Ordenación Para ordenar mediante quicksort los elementos de un array de tamaño n se: Divide el array utilizando un procedimiento Pivote, que devuelve un entero l tal que A[k]  A[l]  A[m], para k = 1..l-1, m=l+1..n Resuelven recursivamente los subproblemas Llega al caso base cuando se obtiene un subarray de un solo elemento (versión pura) o cuando se obtiene un subarray de tamaño reducido (versión con umbral) No es necesario combinar los subarrays

12 Ordenación PROCEDURE quickSort (VAR T[1..n]) BEGIN
{Puede no utilizarse un algoritmo básico} if n es pequeño then OrdenaciónDirecta(T[1..n]) else begin pivote(T[1..n], l); quickSort(T[1..l-1]); quickSort(T[l+1..n]); end; END;

13 Ordenación PROCEDURE pivote(T[i..j]; var l: integer)
{en l se devuelve la posición del pivote} BEGIN p:= T[i]; k:= i; l:= j+1; repeat k:= k+1 until (T[k] > p) or (k  j); repeat l:= l-1 until (T[l]  p); while k < l do begin intercambiar (T[k], T[l]); repeat k:= k+1 until (T[k] > p); end; Intercambiar (T[i], T[l]); END;

14 Quicksort posee una función de complejidad O(n log n) en el caso medio
Ordenación Quicksort posee una función de complejidad O(n log n) en el caso medio No obstante, en el caso peor la complejidad de quicksort es O(n2) Ocurre, dada la función pivote, vista anteriormente, cuando el array está ordenado de modo decreciente o todos los elementos son iguales La clave para conseguir un algoritmo O(n log n) es seleccionar adecuadamente la mediana (ver a continuación) Aun así, si todos los elementos del array son iguales, el comportamiento del algoritmo sigue siendo O(n2) Se soluciona utilizando un pivote modificado pivoteBis(T[i..j]; media, var k, l: integer) El problema de selección.

15 Se denomina Problema de Selección a:
Dado un array T[1..n] y Un entero s tal que 1<= s <= n Identificar el elemento que, una vez ordenado T de modo no decreciente, ocuparía la posición s-ésima Solucionar el problema de selección es sencillo en O(n log n) Basta ordenar el array T y acceder a la s-ésima posición No obstante, puede realizarse en O(n), habida cuenta de que exista un procedimiento eficiente para calcular la media de un conjunto de datos De hecho, el problema de selección es equivalente al cálculo de la mediana, mínimo y máximo

16 Selección Suponiendo la existencia de una función mediana, el problema se resolvería siguiendo los pasos: Identificar la mediana del array Utilizando un procedimiento como pivoteBis, reordenar el array Si 1 <= s < k, repetir con el subarray T[1..k-1] Si k <= s <= l, se ha terminado Si l < s <= n, repetir con el subarray T[l+1..n], buscando el s-l+1 elemento Varias notas: El algoritmo depende del cálculo de la mediana. Si la mediana calculada difiere mucho de la media real, la función de complejidad se torna O(n2), al igual que en el quicksort Se utiliza pivoteBis, y no pivote, para evitar el caso patológico de que todos los elementos del array sean iguales

17 El algoritmo sería de la forma siguiente:
Selección El algoritmo sería de la forma siguiente: FUNCTION seleccion(T[1..n], s):tipo; BEGIN p:= mediana(T[1..n]); pivoteBis(T[1..n], p, k, l); if s < k then selección:= seleccion(T[1..k-1], s) else if s > l then selección:= seleccion(T[l+1..n], s-l+1) else selección:= p; END;

18 Selección La mediana puede calcularse (en realidad, se calcula un valor relativamente similar) mediante el siguiente procedimiento de mediana a 5 FUNCTION pseudoMediana(T[1..n]):tipo; BEGIN {Es de nuevo un algoritmo de DyV} if n <= 5 then pseudoMediana:= medianaAdHoc(T[1..n]) else begin z:= n div 5; array Z[1..z]; for i:= 1 to z do Z[i]:= medianaAdHoc(T[5i-4..5i]); pseudoMediana:= selección(Z, z div 2 + 1); end; END;

19 Es posible, utilizando DyV, utilizar la siguiente estrategia
Exponenciación Realizar la operación an implica, en su formulación más simple, una complejidad O(n) Es posible, utilizando DyV, utilizar la siguiente estrategia El número de multiplicaciones utilizando la versión DyV es O(log n). No obstante, teniendo en cuenta el tamaño de los números implicados en la multiplicación, éste algoritmo sólo es eficiente cuando se utilizan productos DyV