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Arreglos y Permutaciones Integrantes: Daniela Ávalos Camila Badilla Nicolás Chávez Consuelo Contreras Alan Henríquez Pablo Robles Curso: 2 año medio B.

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2 Arreglos y Permutaciones Integrantes: Daniela Ávalos Camila Badilla Nicolás Chávez Consuelo Contreras Alan Henríquez Pablo Robles Curso: 2 año medio B Profesor: Daniel Montoya 8 8! V = 5 5!

3 1.- Un alumno tiene que elegir un ramo entre 4 idiomas y 5 asignaturas científicas. ¿De cuantas formas lo puede hacer? 4 idiomas + 5 asignaturas científicas = 9 formas diferentes Principio sumativo

4 2.-En el liceo San Antonio se dan las como actividades de libre elección: Fútbol, Ajedrez, Juvi, Tenis de mesa, Basquetbol, Atletismo. ¿De cuantas maneras un alumno puede elegir una de las opciones? - se suman las actividades y nos da un total de 6 maneras que se puede elegir.

5 3.- Un alumno debe elegir un Idioma y una asignatura científica del siguiente cuadro: Idiomas Asignatura Científica. Ingles. Matemática Francés Física Alemán Química Biología. Determine de cuantas maneras un alumno puede elegir Un idioma Una asignatura científica Un idioma y una asignatura científica Un idioma o una asignatura científica.

6 3.1= se suman los idiomas y nos da un total 3 formas de elegir un idioma 3.2= se suman las asig. Científicas y nos da un total de 4 formas de elegir una asignatura científica 3.3= se multiplica los idiomas y las asig. Científicas = 3 x 4 = = se suman los idiomas y las asig. Científicas = = 7

7 MURCIELAGO 4.- Considere la palabra MURCIELAGO. Determine el número de palabras que se pueden obtener si: Se toman todas las letras Se toman 5 letras Se toman 6 letras y la palabra debe empezar con la letra A Se toman 6 letras y la palabra debe terminar en O Se toman todas las letras y la palabra empiece con A y termine en O Que las letras centrales sean A y E (en ese orden).

8 x9x8x7x6x5x4x3x2x1 10! = x9x8x7x6x5 = x8x7x6x5 = x8x7x6x5 = x7x6x5x4x3x2x1 8! = x7x6x5x4x3x2x1 8! = En este problema podemos decir que de la palabra MURCIELAGO se pueden formar diversas palabras con respecto de la misma. En este problema se puede notar la utilización del bicho matemático (Ej.:10!) x = opciones posibles A O A O AO4321

9 Ejercicio Considere la palabra VAMPIRO. Determine el número de palabras que se pueden obtener, si: 5.1.-Se toman todas las letras Se toman todas las letras y la palabra debe empezar con P Se toman todas las letras y la 2º y penúltima letra de la palabra sean A y O respectivamente Se tomen todas las letras Y la segunda letra sea una vocal Se tomen todas las letras y la letra central sea una vocal Que tenga 5 letras y que empiece con A Que tenga 5 letras y que termine en O 5.8.-Que tenga 6 letras y que termine en M Que tenga 4 letras y que no contenga vocales.

10 Respuestas != 7*6*5*4*3*2*1=5.040 Explicación: Se toman todas las letras y hay un total de posibilidades o arreglos posibles (7-1)!= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720 Explicación: Hay una letra fija (7-2)!= 5!= 5*4*3*2*1= 120 Explicación: Existen 7 posibilidades a las cuales se le restan las que están fijas !*3= Explicación: En la 2ª casilla se encuentran 3 posibilidades, pues hay 3 vocales, dejando el resto de las posibilidades 6! !*3= Explicación: En la casilla del medio hay 3 opciones que corresponden a las 3 vocales de la palabra, dejando para las otras casillas 6! opciones (7-1)!/(7-5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360 Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7 opciones se le restan el dato fijo, y se divide por el factorial de las diferencia de las 7 opciones con la de las 5 que serán tomadas en cuenta (7-1)!/(7-5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360 Explicación: Se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior (7-1)!/(7-6)!= 6!/1= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720 Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7opciones y el dato fijo se divide por el factorial de la diferencia entre las 7 opciones y las 6 tomadas en cuenta != 4*3*2*1= 24 Explicación: Como sólo se tomaran en cuenta 4 opciones se calcula el factorial de 4 para sacar el resultado.

11 6.- Considere la palabra CAMINO. Determine el numero de palabras que se pueden obtener si: Se toman todas las letras Se toman cuatro de las letras Se toman todas las letras y la palabra empiece con M Se tomen todas las letras y la palabra termine con N Se tomen 3 letras y la palabra empiece con una vocal y las dos siguientes sean consonantes distintas De tres letras, y que las tres sean consonantes distintas.

12 6.1= 6! = 6x5x4x3x2x1= = 6x5x4x3= = Mx5x4x3x2x1= = 5x4x3x2x1xn= = 3x3x2=18 6.6= 3x2x1= 6

13 7.- Considere la palabra CAMARADA. ¿Cuántas palabras más se pueden formar si se toman todas las letras? 8 8! 8x7x6x5x4! V = = = 8x7x6x5= 4 4! 4! 1680= se pueden formar 1680 palabras

14 Ejercicio numero con la palabra Matemática P(10,2,3,2) 10! __________ = !x3!x2! 8.2 se toman 5 de las letras 10 10! V ______ = ! 8.3 Con seis letras y eventualmente se podrían repetir 10 10! V : _______ = !

15 9.-Considere el nº 3458.Cuantos números se pueden obtener: Para las 3 preguntas del ejercicio se usa el principio multiplicativo (N x M ) En los 2 primeros no se repiten las letras por lo que se van agotando las opciones -Con los 4 dígitos sin repetición. R: 4! = 24 -Con los 3 dígitos sin repetición. R: 4x3x2 = 24 En esta pregunta se pueden repetir todas la letras -Con los 4 dígitos con repetición. R: 4x4x4x4 = 256

16 10.- Considere el nº Cuantos números se pueden obtener: 10.1-De tres dígitos sin repetición De cuatro dígitos con repetición 10.1= 5x4x3= =5x5x5x5= 625

17 11.1.-¿Cuántas palabras más se pueden obtener con las letras de la palabra CHILENO? ¿Cuántas palabras más se pueden hacer con las letras de la palabra COLOCOLO? 11.1= (7!-1)= 7x6x5x4x3x2x1= = = 8 8! V = ____ = 420 (8,2,4,2) 2! x 4! x 2!

18 12.- Se tienen 5 libros distintos de matemática, 3 de Química y 2 de Física. De cuantas maneras se puede escoger: Un libro del total de ellos Uno de cada materia. 12.1= se suman el total de libros eso nos da = 5x3x2x2= 60

19 12.- Si en el problema anterior los libros de cada materia son iguales.¿De cuantas maneras se pueden ordenar todos los libros en un estante puestos en fila? 10 10! V = = 2520 (5,3,2) 5!x3!x2!

20 13.- Para una función existen cuatro tipos distintos de entradas de galería, y dos tipos de entradas distintos de platea ¿De cuantas maneras distintas se puede elegir una entrada? ¿Una de galería y una de Platea? ¿Dos de galería y una de platea?

21 13.1= se suman las distintas entradas eso nos da un total de = se multiplican las entradas y eso nos da un total de 8 entradas 13.3= dos de galería = 4x3= 12 y una de platea 2 = 12x2 = 24

22 14.-Suponga ahora que en el problema anterior las entradas de galería son todas iguales y las de platea son también todas iguales. Calcule de cuantas maneras se pueden ordenar las entradas puestas en una mesa y una sobre otra. 6 6! V = = 15 (4,2) 4!x2!

23 15.- En una estantería hay 6 frascos de mermeladas hechos de distinta fruta y 2 frascos de café de distinto tipo. Calcule de cuantas maneras se puede elegir Un frasco del total Un frasco de mermelada y otro de café. 15.1= se suman los frascos de mermeladas y de café y nos da un total de 8= = = se multiplican los frascos y nos da un total de 12 = 6 x2 = 12

24 16.- Considere las 5 celdas, de ellas una sombreada. y considere además el número Determine de cuantas maneras se puede anotar: Uno de los dígitos de numero en la celda sombreada Uno de los dígitos del numero en una de las celdas no sombreadas El 8 en una de las celdas no sombreada Si los números se pueden volver a elegir una vez elegido el anterior.De cuantas maneras se puede anotar uno de los dígitos en la celda sombreada.

25 16.1 = se ve la cantidad de dígitos y se multiplican por 1 = 6x1 = = se ve la cantidad de casillas y la cantidad de números y se multiplican= 6x5x4x3= = se cuenta la cantidad de casillas no sombreadas= = se multiplican la cantidad de números por la cantidad de casillas sombreadas = 6x1=

26 17.- Repita el ejercicio anterior considerando ahora el número: =se ve la cantidad de dígitos y se multiplican por 1= 5x1=5 17.2= se ve la cantidad de números y la cantidad de casillas y se multiplican= 5x4x3x2= = = se multiplica la cantidad de números por la cantidad de casillas sombreadas = 5x1=

27 18.-Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo. - Se multiplica la cantidad de idiomas y la cantidad de asignaturas= 5 x4 = 20

28 19.- ¿de cuantas formas se pueden repetir dos premios entre 10 personas, sabiendo que ambos premios? no se pueden conceder a una misma persona se pueden conceder a la misma persona. 19.1= si un premio se le concede a una persona = 10 y el otro a 10 = 100, pero se le resta 10 por los premios repetido eso nos da un total de = se multiplican las 10 personas con premios =10 x10 = 100

29 20.- ¿de cuantas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones? se multiplican los 5 cartas con los tres buzones pero de manera de usar todas las posibilidades de introducir 5 cartas en 3 buzones= 5x4x3x2 x3x2 = eso nos da un total de 243 formas de introducir 5 cartas en 3 buzones

30 21) Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. Calcule de cuantas maneras se pueden ocupar estos tres puestos. 4 Candidatos para presidente. 6 Candidatos para vicepresidente. 2 Candidatos para secretarios. 6 · 4 · 2 = 48 Respuesta : Estos tres puestos se pueden ocupar de 48 maneras diferentes.

31 22) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila? 22) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila? Desarrollo. - Desarrollo. - 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 Respuesta : Se pueden ordenar de 120 maneras distintas. Respuesta : Se pueden ordenar de 120 maneras distintas.

32 23.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 libros en una estantería? 7!= 7x6x5x4x3x2x1= 5040

33 Ejercicio 24 Hallar el número de formas en que se pueden colocar en una fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros. Hallar el número de formas en que se pueden colocar en una fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros Solución: 12*11*10*9 = 11880

34 Resolución ejercicio nº 25 de la guía: Ejercicio: ¿De cuantas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estas ocupen los lugares pares? Solución: Se realiza multiplicando la factorial de hombres y mujeres: 4(M)!(factorial) x 5(H)! (factorial) 4!x5!=4x3x2x1x5x4x3x2x1=2880 Se soluciona así por la simple razón de que como dice el ejercicio las mujeres ocupan lugares pares entonces los hombres los impares y completamos las casillas con la cantidad de formas que de las cuales se pueden ordenar: HMHMHMHMH Y luego multiplicamos para finalizar, es una forma de explicar lo anteriormente dicho (al principio)

35 26.) ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe estar, 26.1)...- en el centro? 26.2) ¿en uno de los extremos? Desarrollo: 26.1) P (7-1)= 6! 6·5·4·3·2·1= 720 6·5·4·3·2·1= ) P (7 -1) = 6! · 2! (6 ·5· 4· 3 ·2·1) · (2· 1) =1440 (6 ·5· 4· 3 ·2·1) · (2· 1) =1440

36 27.- ¿De cuantas maneras pueden colocarse 9 libros diferentes sobre una estantería de forma que: ¿Tres de ellos estén siempre juntos? ¿Tres de ellos no estén nunca todos juntos? 27.1= = 6x5x4x3x2x1x3x2= =

37 ejercicios: 28. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra empujado Si cada letra no se emplea más de una vez: R:8X7X6X5X4=6720 *Se toman 5 letras de las 8 letras de la palabra empujado (sin repetirse las letras) Si cada letra se puede repetir: R:8X8X8X8X8= *se toman 5 letras de la palabra empujado ( 8 letras) con la posibilidad de repetirse

38 29.- Hallar los números que se pueden formar con 4 de los dígitos: 1, 2, 3, 4, Si estos no se pueden repetir en cada número Si se pueden repetir Si los dígitos no se pueden repetir ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar, empezando por 2? ¿Terminando en 25? dígitos, 4 casillas, sin repetir _ 5!_ = 5! = 5! = 120 Arreglos (5-4)! 1! dígitos, 4 casillas, con repetición de dígitos 5 = dígitos, un fijo (el 2 ) en 4 casillas, sin repetir P (5-1) = P 4 = 4! = dígitos, 4 casillas y termina con 2 y 5 fijos P (5-2) = P 3 = 3! =

39 30.-Hallar cuantos números se pueden formar con los 10 dígitos, 0,1,2,3,4,5,6,7,8, Si cada uno de ellos se emplea solo una vez ¿Cuantos de ellos son impares?. Se multiplican los números pero se le resta el cero al principio que no se toma en cuenta y que P(9-2)=7!= 5040 Y se divide por dos para saber cantos son impares eso nos da un total de 2520

40 31.- Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos, 1, 2,3…………….9., pudiendo estos repetirse ¿Cuantos de estos números? ¿Empiezan por 40? ¿Son pares? ¿Son divisibles por 5? 31.2 se multiplican los 9 dígitos y nos da un total de = se divide por 90= eso nos da un total de 1000 números que empiezan por = se divide por dos y nos da un total de = se divide por 5 y nos da un total de

41 32.- ¿Cuantos números comprendidos entre y 5.000, se pueden formar con los dígitos, 0,1,2,3,4,5,6?, si cada uno se puede repetir en cada numero. Se multiplica los números y se ven los que están entre esos números y eso nos da 6!= 240 números

42 Ejercicio 33 Se pueden tomar distintas posibilidades: Levantando… 1 banderola: 5 2 banderolas: 5*4 3 banderolas: 5*4*3 4 banderolas: 5*4*3*2 5 banderolas: 5*4*3*2*1 Ahora nosotros aplicamos principio sumativo: 5 + (5*4) + (5*4*3) + 5! + 5! = 325

43 34.- ¿De cuantas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda? se ponen 5!= 5x4x3x2x10 120

44 35-.¿De cuantas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de modo que dos de ellas estén siempre juntas? Ya que es redonda se usa (n-1)! = 7!= 1440

45 36.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 4 mujeres y 4 hombres alrededor de una mesa redonda de manera que cada mujer este entre dos hombres? ya que es redonda se ponen intercalados es decir HMHMHMHM = 4x4x3x3x2x2x1x1= y como es redonda se usa (n-1)!= 4x4x3x3= 144

46 37.- ¿Cuantas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores diferentes? Se usa el principio sumativo y se multiplica los 9 colores de cuenta de la pulsera eso es igual a 9!= formas de pulseras diferentes

47 38.- ¿De cuantas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 de ellos? 8 8! V = = eso nos da un total de !

48 39.- ¿Cuantas diagonales tiene un octágono? Se multiplican los ochos lados del octágono y se dividen por dos ya que se repiten la mitad y eso nos da un total de 20 diagonales


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