Segundo grado Matemáticas

Segundo grado Matemáticas
secundaria

ÍNDICE Siguiente Significado y uso de las operaciones (1)
Problemas multiplicativos La suma y resta Multiplicación División Problemas aditivos Operaciones combinadas Análisis de la información (1) Relaciones de proporcionalidad Representación de la información: diagramas y tablas Principio multiplicativo Polígono de frecuencias Significado y uso de las operaciones (2) Operaciones combinadas Problemas multiplicativos Formas geométricas. Cuerpos geométricos y medidas Justificación de fórmulas Estimar, mediar y calcular Medida (1) Estimar, medir y calcular Formas geométricas: rectas y ángulos Siguiente

ÍNDICE Regresar Análisis de la información (3)
Relaciones de proporcionalidad Medidas de tendencia central Análisis de la información (3) Noción de probabilidad Representación de la información y gráficas Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional Justificación de fórmulas Representación de la información Medida (2) Figuras planas: rectas y ángulos Mediatriz y bisectriz Rectas y ángulos Ecuaciones Potenciación Movimientos en el plano Regresar

Significado y uso de las operaciones (1)
Problemas multiplicativos Los números naturales se representan por medio de una recta numérica. Los números enteros son los números positivos y negativos. Los números positivos (mayores de cero) pueden indicar: Temperaturas calientes. Tengo ahorrado dinero. Ser más alto que los demás. Ganancia de peso. Los números negativos (menores de cero) pueden indicar: Temperaturas frías. Debo dinero. Ser más chaparrito que los demás. Pérdida de peso.

La suma y resta Se pueden sumar: números positivos con positivos y el resultado es un número positivo. (+5) + (+3) = +(5 + 3) = +8 números negativos con negativos y el resultado es un número negativo. (-5) + (-3) = -(5 + 3) = -8 números positivos con números negativos, si el número positivo es mayor que la longitud del negativo el resultado es positivo y si el número negativo representa una longitud mayor que el positivo, entonces el resultado es un número negativo, esta operación también se conoce como la resta. (+5) + (-3) = +(5 - 3) = +2 (-5) + (+3) = -(5 - 3) = -2

Multiplicación Cuando se quieren sumar y restar varios números positivos y negativos, es común ponerlos entre paréntesis, los cuales indican una multiplicación entre signos, para lo cual se requiere aplicar las leyes de los signos y la jerarquía de operaciones que a continuación se indican: Leyes de los signos SIGNOS RESULTADO (+)(+) más por más + más (+)(-) más por menos - menos (-)(+) menos por más (-)(-) menos por menos Jerarquía de operaciones El orden en que se deben de hacer las operaciones es: las contenidas en paréntesis potencia y raíz, multiplicación y división, suma y resta. Siguiente

Hay que recordar que si a un paréntesis lo antecede un signo – (menos), todos los términos contenidos en él cambian de signo: -(a - b) = -a + b (-c + d) = c - d Ejemplo: -( – 5 + 8) = 3 – – 8 = -4 No olvidar que la multiplicación es una suma abreviada: (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = (-2)  (4) = -8 (+4) + (+4) + (+4) = (+4)  (3) = +12 De esta manera, la multiplicación se puede descomponer en sumandos: 3n = n + n + n y agrupar sumandos iguales a + a + a + a = 4a

Elementos de una división
Significado y uso de las operaciones (1) División La multiplicación y la división son operaciones inversas, por ejemplo 4  7 = 28  28  4 = 7. De manera inversa, 45  9 = 5  5  9 = 45. Cuando se dividen dos números enteros también se tiene que aplicar la ley de los signos para la división: Elementos de una división D  d = c  c  d = D D  dividendo d  divisor c  cociente SIGNOS RESULTADO (+)/(+) más entre más + más (+)/(-) más entre menos - menos (-)/(+) menos entre más (-)/(-) menos entre menos mas Siguiente

Una división es exacta cuando el residuo es cero, es decir, no sobra nada. La división de fracciones sigue la siguiente regla: La división tiene la siguiente propiedad: Toda cantidad diferente de cero dividida entre su igual da por resultado 1.

Problemas aditivos Las expresiones algebraicas se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, para lo cual se tienen que seguir las reglas anteriores, así como las leyes de los signos para la multiplicación y división. Las expresiones algebraicas en las que no figuran sumas ni restas se llaman término o monomio, éstos constan de una parte numérica o coeficiente y por una parte literal. Por ejemplo en -3a3bc5 el coeficiente es -3 y su parte literal es a3bc5 . Siguiente

Lo anterior indica que sólo se pueden sumar términos semejantes, es decir “peras con peras” y “manzanas con manzanas”. Ejemplos: 3a + 2a + 4a = 9a a + 2b + 4a + 5b = 7a + 7b 5m – 3m + 2m – 2m = 2m m – 5m = 2m Siguiente

Entonces, el perímetro es:
Significado y uso de las operaciones (1) Las diversas situaciones que la gente vive se pueden representar por medio de expresiones algebraicas, por ejemplo encontrar el contorno o perímetro de un terreno que tiene una forma geométrica de la siguiente manera: Recordar que el perímetro o contorno es la suma de las longitudes de los lados de la figura geométrica. Entonces, el perímetro es: 4 d + 7d + 12d + 7d = 30d Siguiente

También partiendo de enunciados se puede obtener expresiones algebraicas como se indica a continuación: a) La medida de los lados del polígono se encuentra expresada por un término algebraico. Calcula su perímetro. Para obtener el perímetro sumamos 2c + c + 2c + c, el resultado es 6c. b) La edad de Pedro es el doble de la edad de María y ambas suman 24 años. Si tomamos como n la edad de María, entonces la edad de Pedro es 2n. Luego edad de Pedro + edad de María = 24, es decir 2n + n = 24. De esta última 3n = 24. Al observarla podemos darnos cuenta que n = 8 pues (3)(8) = 24. María tiene 8 años y Pedro 16 años.

Operaciones combinadas Las expresiones algebraicas también se pueden utilizar para encontrar áreas de diferentes figuras geométricas. Para lo cual se utiliza la multiplicación y se debe considerar la regla de producto de potencias. Una aplicación directa de la multiplicación es el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos: Área cuadrado = Lado  Lado = L  L Área rectángulo = Lado mayor  Lado menor = L  l Siguiente

De esta manera se puede calcular el área de terrenos, por ejemplo si se considera un terreno cuadrangular de las siguientes medidas: Lado mayor L = 105 metros Lado menor l = 60 metros Entonces el área = L  l = 105 m  60 m = m2 Siguiente

Si los lados una figura geométrica están representados por expresiones algebraicas el área se puede dejar indicada, por ejemplo: Siguiente

Para realizar el cálculo se considera la propiedad distributiva de la multiplicación:

Medida Estimar, medir y calcular
Un juego de geometría tiene diferentes elementos, los cuales sirven para medir longitudes y ángulos, también para trazar figuras geométricas. Las medidas de los ángulos de las escuadras son: Se puede utilizar las escuadras para trazar algunos ángulos, por ejemplo: Siguiente

Medida También se puede trazar círculos, cuadrados, líneas paralelas, etc. Siguiente

Medida En las siguientes figuras están marcados con rojo algunos ángulos, ¿se pueden identificar más? Un ángulo puede denotarse como AOB. Siguiente

Medida Al instrumento para medir o trazar ángulos se le llama transportador, es un medio círculo graduado de 0º a 180º. Al medir un ángulo se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo, uno de los lados debe coincidir con la línea del cero. Siguiente

Medida Los ángulos se clasifican en: Ángulos convexos Ángulo perigonal
Ángulo llano Siguiente

Medida Los ángulos se clasifican de acuerdo a: Gráficamente:
Las unidades con que se miden los ángulos son los grados y su símbolo es: º. 1 grado = 60 minutos º = 60 min 1 minuto = 60 segundos min = 60 s

Medida Formas geométricas: rectas y ángulos
Las rectas se pueden clasificar en:

Análisis de la información
Relaciones de proporcionalidad Siguiente

4.5 cm 5 cm Siguiente

Una proporción es la igualdad de dos razones, y pueden expresarse como: Siguiente

Solución: sea X lo que se pagará por 11 piezas La proporción es: = 11/ X X = (11) X= pesos

Representación de la información: diagramas y tablas Hay problemas de la vida diaria en los que se cuentan con varios posibles resultados, se puede enfrentar a situaciones en las que se tienen que listar y contar éstos. Por ejemplo: a) ¿Cuáles son los posibles resultados al lanzar una moneda y un dado? Al tirar una moneda hay dos casos posibles: águila (A) o sol (S). Al tirar un dado, hay seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6. En total los resultados son: (A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5), (A,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6). Siguiente

1 A,1 Las posibilidades las podemos representar en un diagrama de árbol: 2 A,2 3 A,3 A 4 A,4 5 A,5 También las podemos representar en una tabla: 6 A,6 1 S,1 1 2 3 4 5 6 A A,1 A,2 A,3 A,4 A,5 A,6 S S,1 S,2 S,3 S,4 S,5 S,6 2 S,2 3 S,3 S 4 S,4 5 S,5 Siguiente 6 S,6

Un vendedor de autos cuenta con las siguientes opciones: 5 autos de 2 puertas y 6 autos de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? Hay un gran número de posibles resultados, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Algunas de ellas son: Auto tipo 1 de 2 puertas y rines deportivos. Auto tipo 1 de 2 puertas y rines estándar. Auto tipo 1 de 4 puertas y rines deportivos. Auto tipo 1 de 4 puertas y rines estándar.

Principio multiplicativo Para facilitar este tipo de conteo se aplica la técnica de la multiplicación o principio multiplicativo: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, entonces hay m x n formas de hacer ambas cosas, esto puede ser extendido a más de dos eventos. Por ejemplo: a) Los diferentes arreglos de autos y rines que puede ofrecer el vendedor del problema anterior es igual a: (# de autos con 2 puertas) x (# de autos con 4 puertas) x (# de diferentes rines) = 5 x 6 x 2 = 60 b) ¿Cuántas combinaciones diferentes se puede formar con la palabra “TACO”? Se puede escoger de 4 maneras diferentes a la primera letra, sólo nos quedan 3 letras para elegir la segunda (no podemos repetir letras y ya escogimos una). La tercera letra la escogemos de 2 maneras diferentes y a la cuarta de una manera.

Polígono de frecuencias Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un dato. Frecuencia relativa: frecuencia absoluta entre el número total de datos. Existen diferentes tipos de gráficas estadísticas: de barras, circulares, histogramas y polígonos de frecuencias. En un histograma se presenta la información organizando los datos en intervalos, se dibujan las barras sin dejar espacios vacíos entre ellas. Ejemplo: Tabla de distribución de frecuencias del peso de ambos riñones de hombres de 40 a 49 años. Clase Valor medio de clase (vi) Frecuencia absoluta (fi) relativa ( ] 227 1 1/25 ( ] 267 3 3/25 ( ] 307 10 10/25 ( ] 347 7 7/25 ( ] 387 4 4/25 Siguiente

Un polígono de frecuencias es la gráfica que resulta al unir, mediante una línea poligonal, los puntos medios consecutivos de los techos de las barras de un histograma. Ejemplo: polígono de frecuencias del peso de ambos riñones de hombres de 40 a 49 años

Significado y uso de las operaciones
Operaciones combinadas Ejemplo:

Problemas multiplicativos
Significado y uso de las operaciones Problemas multiplicativos Siguiente

Formas geométricas. Cuerpos geométricos y medidas Un cuerpo geométrico consta de: Caras: polígonos que limitan el poliedro. Arista: segmento de recta donde se intersectan dos caras. Vértice: punto donde concurren tres o más planos. Cúspide: vértice opuesto a la base de una pirámide.

Largo (L)  Ancho (A)  Altura (H) = L  A  H
Significado y uso de las operaciones Justificación de fórmulas El volumen de un prisma se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Largo (L)  Ancho (A)  Altura (H) = L  A  H V = p  q  r V = a  b  c V = a3

Estimar, medir y calcular El litro es la unidad fundamental para medir la capacidad de los objetos. El litro se abrevia con la letra l. Tenemos los siguientes múltiplos y submúltiplos del litro. Para pasar de un múltiplo a otro el siguiente esquema es muy útil: Siguiente

Ejemplos:  10  10  10 = 2.5 l = 2.5 ml a) Convertir l a ml  (10  10) =  100 = 523 l = 523 hl b) Convertir l a hl La unidad fundamental de volumen es el metro cúbico el cual está representado por el espacio que ocupa un cubo cuyas caras miden un metro por lado. Siguiente

Ejemplos: 45  1000  1000 = 45 m3 = cm3 a) Convertir 45 m3 a cm3  1000 = 358.4 mm3 = cm3 b) Convertir mm3 a cm3 Siguiente

Para medir la cantidad de líquido que cabe en un recipiente (capacidad) se utiliza en México el litro como unidad de medida. Un cubo que mide 1 dm de arista, tiene un volumen igual a 1 dm3 y su capacidad es de un litro. Volumen = 1 dm3 Capacidad = 1 l Las siguientes tabla da algunas conversiones entre unidades de capacidad y de volumen.

Relaciones de proporcionalidad En una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales. Ejemplo: Una compañía de autos hizo pruebas a un modelo para verificar que tuviera rendimientos constantes. Cantidad de gasolina (l) Distancia recorrida (km) 2 32 4 64 16 256 El modelo siempre tuvo un rendimiento constante, los cocientes siempre han sido 16. Esta relación corresponde a una proporcionalidad directa, en donde el rendimiento es 16 kilómetros por litro de gasolina.

Medidas de posición central Las medidas de posición central facilitan información sobre una serie de datos estadísticos que se quieren analizar. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Media aritmética o promedio: es la suma de todos los valores de la variable entre el total de datos de la muestra. Lo denotaremos Principales medidas de posición central: Moda: es el valor que más se repite en la muestra. Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra. Ésta se calcula ordenando los datos y se toma el dato central. Siguiente

Ejemplo: A partir de la tabla calcular el promedio, la mediana y la moda. La mediana de esta muestra es 1.26, esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas. Hay tres valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1.21, el 1.22 y el 1.28, por lo tanto se cuenta con tres modas. El promedio es:

Significado y uso de las literales
Patrones y fórmulas Observar la siguiente información: En las sucesiones los números se construyen a partir de una regla. Por ejemplo en la sucesión 1, 6, 11, 16, … siempre aumenta 5 al número anterior.

Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo: Una ecuación se puede ver como una balanza que siempre está en equilibrio. Si se modifica de algún extremo se tiene que modificar exactamente igual el otro. . Un valor es solución de una ecuación si hace cierta la ecuación. x = 3 es solución de x + 2 = 5 . Ejemplo

Relación funcional Es aquella en la que se relacionan datos y el valor de uno de ellos depende del valor que tome el otro. Por ejemplo: si un dulce cuesta $2 pesos, 6 dulces, ¿cuánto costarán? Si esta información se coloca en una tabla quedaría así: X (número de dulces) 1 2 3 4 5 Y (precio) 6 8 10 La relación es proporcional porque los cocientes de las cantidades son iguales. También esta información se puede registrar en una gráfica, ésta es una línea recta.

Justificación de fórmulas Un polígono regular se puede dividir en triángulos isósceles, el número depende del número de lados que tenga éste. El lado del hexágono es igual a la base del triángulo. El apotema del hexágono es igual a la altura del triángulo. El área del hexágono es seis veces el área del triángulo, es decir Pero seis veces el lado es el perímetro, entonces la fórmula es:

Representación de la información Para representar la información se realiza a través de gráficas o tablas. Las gráficas tienen características como: estar delimitadas por los ejes. a cada eje se le denomina de un nombre diferente. permite registrar información con números positivos o negativos. De esta forma registran la información y algunas veces hasta se forman figuras caprichosas.

Potenciación Potenciación
El producto de varios factores iguales se le llama potencia. 2  2  2 = Potenciar quiere decir multiplicar por si mismo el número de veces que indique el exponente (número pequeño que se encuentra a la derecha de la cantidad mencionada). Por ejemplo en el número 3 se debe multiplicar 4 veces, el número 3 se debe multiplicar 2 veces

Medida Figuras planas: rectas y ángulos
Dos figuras planas son congruentes cuando tienen la misma forma y las mismas dimensiones o el mismo tamaño. Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos son congruentes y sus ángulos respectivos también los son. La congruencia de polígonos puede estudiarse mediante la congruencia de triángulos. Los triángulos de la figura tienen ángulos congruentes, pero la medidas de sus lados no son congruentes, por lo que los triángulos no son congruentes.

Medida Mediatriz y bisectriz
La bisectriz es la línea que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. La mediatriz es línea perpendicular trazada en el punto medio de un segmento de recta. En un triángulo podemos trazar las bisectrices de los ángulos interiores. En un triángulo podemos trazar las mediatrices de cada uno de sus lados, como lo observarás en el ejemplo.

Medida Rectas y ángulos
Recordar que los ángulos de los triángulos pueden ser internos o externos. Algunos ángulos se pueden crear sin necesidad de tener juego de geometría. Al observar el siguiente triángulo notamos que : tiene un ángulo mayor a 90º, tiene un lado más largo que los otros dos, su base es más corta que sus dos lados, entre otras cosas.

Análisis de la información (2)
Noción de probabilidad La probabilidad determina la posibilidad de obtener uno o varios resultados favorables en un experimento al azar. La probabilidad está presente en la vida diaria en situaciones como: cuando se lanza una moneda al aire no se sabe si caerá cara o cruz. cuando al lanzar un dado no se sabe que cara caerá. al comprar el boleto de una rifa no se sabe cual será el boleto ganador. Siguiente

Si se eligiera a un niño de primer grado, ¿qué promedio será más probable que tenga? Se ha elegido un niño que tiene un promedio mayor que 8.5, ¿de qué grado es más probable que sea? Entre 7 y 8.5 De segundo grado

Representación de la información y gráficas Durante una semana don Pedro registró las ventas de su restaurante. En su libreta anotó: lunes, $2 400; martes, $1 900; miércoles, $3 800; jueves, $1 750; viernes, $3 900; sábado, $4 900; domingo, $5 200. Pensó en hacer la siguiente tabla y su correspondiente gráfica: Día Ventas lunes $2 400 martes $1 900 miércoles $3 800 jueves $1 750 viernes $3 900 sábado $4 900 domingo $5 200 Observó que el sábado y domingo fueron los días de mayor venta.

Variable independiente
Ecuaciones En una ecuación las literales son incógnitas, es decir que no conocemos su valor, y uno o más valores de la misma hacen verdadera la expresión algebraica. En una función se llaman variables; cuando una de ellas cambia esto trae como resultado un cambio en la otra variable. Por lo que se tiene una variable independiente y otra dependiente. Por ejemplo: Si, x + y = 12, tenemos que y = -x + 12 Variable independiente (x) Variable dependiente (y) -2 14 -1 13 12 1 11 2 10 Siguiente

Ecuaciones Un sistema de dos ecuaciones tiene dos incógnitas, al buscar su solución estamos encontrando los valores de las incógnitas que satisfagan ambas ecuaciones. Por ejemplo en el sistema de ecuaciones la solución es pues Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones, la solución es independientemente del método que se emplee. Siguiente

Ecuaciones Resolver por el método de igualación el sistema de ecuaciones Paso 1. Se despeja la incógnita dependiente que es y en ambas ecuaciones. y = 6 – x y = x Paso 2. Se igualan las dos expresiones. 6 – x = x Paso 3. Se resuelve la ecuación para x. 12 = 3x por lo tanto x = 4 Paso 4. Se sustituye el valor de x en alguna de las 2 ecuaciones despejadas y se obtiene el valor y. y = 6 – 4 y = 2 Al graficar las ecuaciones las líneas rectas se cortan en el punto (4, 2)

Movimientos en el plano
La simetría central de una figura consiste en una rotación de centro O (centro de la simetría) y ángulo de 180°.

¡Felicidades!

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