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Segundo grado Matemáticas secundaria. Medida (1) Estimar, medir y calcular Formas geométricas: rectas y ángulos Significado y uso de las operaciones (1)

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Presentación del tema: "Segundo grado Matemáticas secundaria. Medida (1) Estimar, medir y calcular Formas geométricas: rectas y ángulos Significado y uso de las operaciones (1)"— Transcripción de la presentación:

1 Segundo grado Matemáticas secundaria

2 Medida (1) Estimar, medir y calcular Formas geométricas: rectas y ángulos Significado y uso de las operaciones (1) Problemas multiplicativos La suma y resta Multiplicación División Problemas aditivos Operaciones combinadas Análisis de la información (1) Relaciones de proporcionalidad Representación de la información: diagramas y tablas Principio multiplicativo Polígono de frecuencias ÍNDICE Significado y uso de las operaciones (2) Operaciones combinadas Problemas multiplicativos Formas geométricas. Cuerpos geométricos y medidas Justificación de fórmulas Estimar, mediar y calcular Siguiente

3 Potenciación Ecuaciones ÍNDICE Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional Justificación de fórmulas Representación de la información Análisis de la información (2) Relaciones de proporcionalidad Medidas de tendencia central Medida (2) Figuras planas: rectas y ángulos Mediatriz y bisectriz Rectas y ángulos Análisis de la información (3) Noción de probabilidad Representación de la información y gráficas Movimientos en el plano Regresar

4 Significado y uso de las operaciones (1) Problemas multiplicativos Los números positivos (mayores de cero) pueden indicar: Temperaturas calientes. Tengo ahorrado dinero. Ser más alto que los demás. Ganancia de peso. Los números negativos (menores de cero) pueden indicar: Temperaturas frías. Debo dinero. Ser más chaparrito que los demás. Pérdida de peso. Los números naturales se representan por medio de una recta numérica. Los números enteros son los números positivos y negativos.

5 Se pueden sumar: números positivos con positivos y el resultado es un número positivo. números negativos con negativos y el resultado es un número negativo. números positivos con números negativos, si el número positivo es mayor que la longitud del negativo el resultado es positivo y si el número negativo representa una longitud mayor que el positivo, entonces el resultado es un número negativo, esta operación también se conoce como la resta. Significado y uso de las operaciones (1) La suma y resta (+5) + (+3) = +(5 + 3) = +8 (-5) + (-3) = -(5 + 3) = -8 (+5) + (-3) = +(5 - 3) = +2 (-5) + (+3) = -(5 - 3) = -2

6 Multiplicación Cuando se quieren sumar y restar varios números positivos y negativos, es común ponerlos entre paréntesis, los cuales indican una multiplicación entre signos, para lo cual se requiere aplicar las leyes de los signos y la jerarquía de operaciones que a continuación se indican: Leyes de los signos SIGNOSRESULTADO (+)(+) más por más + más (+)(-) más por menos - menos (-)(+) menos por más - menos (-)(-) menos por menos + más Jerarquía de operaciones El orden en que se deben de hacer las operaciones es: las contenidas en paréntesis potencia y raíz, multiplicación y división, suma y resta. Significado y uso de las operaciones (1) Siguiente

7 Significado y uso de las operaciones (1) Hay que recordar que si a un paréntesis lo antecede un signo – (menos), todos los términos contenidos en él cambian de signo: -(a - b) = -a + b -(-c + d) = c - d Ejemplo: -( – 5 + 8) = 3 – – 8 = -4 No olvidar que la multiplicación es una suma abreviada: De esta manera, la multiplicación se puede descomponer en sumandos: (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = (-2) (4) = - 8 (+4) + (+4) + (+4) = (+4) (3) = +12 y agrupar sumandos iguales 3n = n + n + n a + a + a + a = 4a

8 División Significado y uso de las operaciones (1) La multiplicación y la división son operaciones inversas, por ejemplo 4 7 = = 7. De manera inversa, 45 9 = = 45. Cuando se dividen dos números enteros también se tiene que aplicar la ley de los signos para la división: Elementos de una división D d = c c d = D D dividendo d divisor c cociente SIGNOSRESULTADO (+)/(+) más entre más + más (+)/(-) más entre menos - menos (-)/(+) menos entre más - menos (-)/(-) menos entre menos + mas Siguiente

9 La división tiene la siguiente propiedad: Significado y uso de las operaciones (1) Una división es exacta cuando el residuo es cero, es decir, no sobra nada. La división de fracciones sigue la siguiente regla: Toda cantidad diferente de cero dividida entre su igual da por resultado 1.

10 Problemas aditivos Significado y uso de las operaciones (1) Las expresiones algebraicas se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, para lo cual se tienen que seguir las reglas anteriores, así como las leyes de los signos para la multiplicación y división. Las expresiones algebraicas en las que no figuran sumas ni restas se llaman término o monomio, éstos constan de una parte numérica o coeficiente y por una parte literal. Siguiente Por ejemplo en -3a 3 bc 5 el coeficiente es -3 y su parte literal es a 3 bc 5.

11 Lo anterior indica que sólo se pueden sumar términos semejantes, es decir peras con peras y manzanas con manzanas. Significado y uso de las operaciones (1) 3a + 2a + 4a = 9a 3a + 2b + 4a + 5b = 7a + 7b 5m – 3m + 2m – 2m = 2m 7m – 5m = 2m Siguiente Ejemplos:

12 Significado y uso de las operaciones (1) Las diversas situaciones que la gente vive se pueden representar por medio de expresiones algebraicas, por ejemplo encontrar el contorno o perímetro de un terreno que tiene una forma geométrica de la siguiente manera: Recordar que el perímetro o contorno es la suma de las longitudes de los lados de la figura geométrica. Entonces, el perímetro es: 4 d + 7d + 12d + 7d = 30d Siguiente

13 También partiendo de enunciados se puede obtener expresiones algebraicas como se indica a continuación: b) La edad de Pedro es el doble de la edad de María y ambas suman 24 años. Significado y uso de las operaciones (1) Para obtener el perímetro sumamos 2c + c + 2c + c, el resultado es 6c. a) La medida de los lados del polígono se encuentra expresada por un término algebraico. Calcula su perímetro. Si tomamos como n la edad de María, entonces la edad de Pedro es 2n. Luego edad de Pedro + edad de María = 24, es decir 2n + n = 24. De esta última 3n = 24. Al observarla podemos darnos cuenta que n = 8 pues (3)(8) = 24. María tiene 8 años y Pedro 16 años.

14 Significado y uso de las operaciones (1) Operaciones combinadas Las expresiones algebraicas también se pueden utilizar para encontrar áreas de diferentes figuras geométricas. Para lo cual se utiliza la multiplicación y se debe considerar la regla de producto de potencias. Una aplicación directa de la multiplicación es el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos: Área cuadrado = Lado Lado = L L Área rectángulo = Lado mayor Lado menor = L l Siguiente

15 Significado y uso de las operaciones (1) Lado mayor L = 105 metros Lado menor l = 60 metros Entonces el área = L l = 105 m 60 m = m 2 De esta manera se puede calcular el área de terrenos, por ejemplo si se considera un terreno cuadrangular de las siguientes medidas: Siguiente

16 Significado y uso de las operaciones (1) Si los lados una figura geométrica están representados por expresiones algebraicas el área se puede dejar indicada, por ejemplo: Siguiente

17 Para realizar el cálculo se considera la propiedad distributiva de la multiplicación: Significado y uso de las operaciones (1)

18 Estimar, medir y calcular Medida Un juego de geometría tiene diferentes elementos, los cuales sirven para medir longitudes y ángulos, también para trazar figuras geométricas. Las medidas de los ángulos de las escuadras son : Se puede utilizar las escuadras para trazar algunos ángulos, por ejemplo: Siguiente

19 Medida También se puede trazar círculos, cuadrados, líneas paralelas, etc. Siguiente

20 Medida En las siguientes figuras están marcados con rojo algunos ángulos, ¿se pueden identificar más? Un ángulo puede denotarse como AOB. Siguiente

21 Medida Al instrumento para medir o trazar ángulos se le llama transportador, es un medio círculo graduado de 0º a 180º. Siguiente Al medir un ángulo se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo, uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.

22 Medida Los ángulos se clasifican en: Ángulos convexos Ángulo llano Ángulo perigonal Siguiente

23 Medida Los ángulos se clasifican de acuerdo a: Gráficamente: Las unidades con que se miden los ángulos son los grados y su símbolo es: º. 1 grado = 60 minutos 1º = 60 min 1 minuto = 60 segundos min = 60 s

24 Medida Formas geométricas: rectas y ángulos Las rectas se pueden clasificar en:

25 Análisis de la información Siguiente Relaciones de proporcionalidad

26 4.5 cm 5 cm Siguiente Análisis de la información

27 Una proporción es la igualdad de dos razones, y pueden expresarse como: Siguiente Análisis de la información

28 Solución: sea X lo que se pagará por 11 piezas La proporción es: = 11/ X X= pesos X = (11) Análisis de la información

29 Representación de la información: diagramas y tablas Análisis de la información Hay problemas de la vida diaria en los que se cuentan con varios posibles resultados, se puede enfrentar a situaciones en las que se tienen que listar y contar éstos. Por ejemplo: a) ¿Cuáles son los posibles resultados al lanzar una moneda y un dado? Al tirar una moneda hay dos casos posibles: águila (A) o sol (S). Al tirar un dado, hay seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6. En total los resultados son: (A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5), (A,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6). Siguiente

30 Análisis de la información AA,1A,2A,3A,4A,5A,6 SS,1S,2S,3S,4S,5S,6 A También las podemos representar en una tabla: Las posibilidades las podemos representar en un diagrama de árbol: S A,1 A,2 A,3 A,4 A,5 A,6 S,1 S,2 S,3 S,4 S,5 S,6 Siguiente

31 Análisis de la información Un vendedor de autos cuenta con las siguientes opciones: 5 autos de 2 puertas y 6 autos de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? Hay un gran número de posibles resultados, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Algunas de ellas son: Auto tipo 1 de 2 puertas y rines deportivos. Auto tipo 1 de 2 puertas y rines estándar. Auto tipo 1 de 4 puertas y rines deportivos. Auto tipo 1 de 4 puertas y rines estándar.

32 Análisis de la información Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, entonces hay m x n formas de hacer ambas cosas, esto puede ser extendido a más de dos eventos. Por ejemplo: a) Los diferentes arreglos de autos y rines que puede ofrecer el vendedor del problema anterior es igual a: (# de autos con 2 puertas) x (# de autos con 4 puertas) x (# de diferentes rines) = 5 x 6 x 2 = 60 Principio multiplicativo b) ¿Cuántas combinaciones diferentes se puede formar con la palabra TACO? Se puede escoger de 4 maneras diferentes a la primera letra, sólo nos quedan 3 letras para elegir la segunda (no podemos repetir letras y ya escogimos una). La tercera letra la escogemos de 2 maneras diferentes y a la cuarta de una manera. Para facilitar este tipo de conteo se aplica la técnica de la multiplicación o principio multiplicativo:

33 En un histograma se presenta la información organizando los datos en intervalos, se dibujan las barras sin dejar espacios vacíos entre ellas. Análisis de la información Polígono de frecuencias Existen diferentes tipos de gráficas estadísticas : de barras, circulares, histogramas y polígonos de frecuencias. Ejemplo: Tabla de distribución de frecuencias del peso de ambos riñones de hombres de 40 a 49 años. Clase Valor medio de clase (v i ) Frecuencia absoluta (f i ) Frecuencia relativa ( ]22711/25 ( ]26733/25 ( ] /25 ( ]34777/25 ( ]38744/25 Siguiente Frecuencia absoluta : número de veces que se repite un dato. Frecuencia relativa : frecuencia absoluta entre el número total de datos.

34 Análisis de la información Un polígono de frecuencias es la gráfica que resulta al unir, mediante una línea poligonal, los puntos medios consecutivos de los techos de las barras de un histograma. Ejemplo: polígono de frecuencias del peso de ambos riñones de hombres de 40 a 49 años

35 Significado y uso de las operaciones Operaciones combinadas Ejemplo:

36 Significado y uso de las operaciones Problemas multiplicativos Siguiente

37 Significado y uso de las operaciones

38 Formas geométricas. Cuerpos geométricos y medidas Un cuerpo geométrico consta de: Caras : polígonos que limitan el poliedro. Arista : segmento de recta donde se intersectan dos caras. Vértice : punto donde concurren tres o más planos. Cúspide : vértice opuesto a la base de una pirámide. Significado y uso de las operaciones

39 Justificación de fórmulas El volumen de un prisma se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Largo (L) Ancho (A) Altura (H) = L A H V = a 3 Significado y uso de las operaciones V = p q r V = a b c

40 Significado y uso de las operaciones Estimar, medir y calcular El litro es la unidad fundamental para medir la capacidad de los objetos. El litro se abrevia con la letra l. Tenemos los siguientes múltiplos y submúltiplos del litro. Para pasar de un múltiplo a otro el siguiente esquema es muy útil: Siguiente

41 Significado y uso de las operaciones Ejemplos: a) Convertir l a ml b) Convertir l a hl = l = 2.5 ml (10 10) = = l = 523 hl La unidad fundamental de volumen es el metro cúbico el cual está representado por el espacio que ocupa un cubo cuyas caras miden un metro por lado. Siguiente

42 Significado y uso de las operaciones Ejemplos: a) Convertir 45 m 3 a cm 3 b) Convertir mm 3 a cm = m 3 = cm = mm 3 = cm 3 Siguiente

43 Significado y uso de las operaciones Para medir la cantidad de líquido que cabe en un recipiente (capacidad) se utiliza en México el litro como unidad de medida. Las siguientes tabla da algunas conversiones entre unidades de capacidad y de volumen. Un cubo que mide 1 dm de arista, tiene un volumen igual a 1 dm 3 y su capacidad es de un litro. Volumen = 1 dm 3 Capacidad = 1 l

44 Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad En una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales. Cantidad de gasolina (l) Distancia recorrida (km) Ejemplo: Una compañía de autos hizo pruebas a un modelo para verificar que tuviera rendimientos constantes. El modelo siempre tuvo un rendimiento constante, los cocientes siempre han sido 16. Esta relación corresponde a una proporcionalidad directa, en donde el rendimiento es 16 kilómetros por litro de gasolina.

45 Moda : es el valor que más se repite en la muestra. Las medidas de posición central facilitan información sobre una serie de datos estadísticos que se quieren analizar. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Principales medidas de posición central: Media aritmética o promedio : es la suma de todos los valores de la variable entre el total de datos de la muestra. Lo denotaremos. Mediana : es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra. Ésta se calcula ordenando los datos y se toma el dato central. Medidas de posición central Análisis de la información Siguiente

46 Ejemplo: A partir de la tabla calcular el promedio, la mediana y la moda. La mediana de esta muestra es 1.26, esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas. Hay tres valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1.21, el 1.22 y el 1.28, por lo tanto se cuenta con tres modas. Análisis de la información El promedio es:

47 Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Observar la siguiente información: Por ejemplo en la sucesión 1, 6, 11, 16, … siempre aumenta 5 al número anterior. En las sucesiones los números se construyen a partir de una regla.

48 Significado y uso de las literales Ecuaciones Por ejemplo: Una ecuación se puede ver como una balanza que siempre está en equilibrio. Si se modifica de algún extremo se tiene que modificar exactamente igual el otro. Un valor es solución de una ecuación si hace cierta la ecuación. x = 3 es solución de x + 2 = 5.. Ejemplo Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

49 Es aquella en la que se relacionan datos y el valor de uno de ellos depende del valor que tome el otro. Por ejemplo: si un dulce cuesta $2 pesos, 6 dulces, ¿cuánto costarán? Si esta información se coloca en una tabla quedaría así: Significado y uso de las literales Relación funcional La relación es proporcional porque los cocientes de las cantidades son iguales. También esta información se puede registrar en una gráfica, ésta es una línea recta. X (número de dulces)12345 Y (precio)246810

50 Un polígono regular se puede dividir en triángulos isósceles, el número depende del número de lados que tenga éste. Pero seis veces el lado es el perímetro, entonces la fórmula es: Significado y uso de las literales Justificación de fórmulas El lado del hexágono es igual a la base del triángulo. El apotema del hexágono es igual a la altura del triángulo. El área del hexágono es seis veces el área del triángulo, es decir

51 Para representar la información se realiza a través de gráficas o tablas. Representación de la información Significado y uso de las literales Las gráficas tienen características como: estar delimitadas por los ejes. a cada eje se le denomina de un nombre diferente. permite registrar información con números positivos o negativos. De esta forma registran la información y algunas veces hasta se forman figuras caprichosas.

52 Potenciación Potenciar quiere decir multiplicar por si mismo el número de veces que indique el exponente (número pequeño que se encuentra a la derecha de la cantidad mencionada). El producto de varios factores iguales se le llama potencia = el número 3 se debe multiplicar 4 veces, el número 3 se debe multiplicar 2 veces Por ejemplo en

53 Figuras planas: rectas y ángulos Dos figuras planas son congruentes cuando tienen la misma forma y las mismas dimensiones o el mismo tamaño. Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos son congruentes y sus ángulos respectivos también los son. La congruencia de polígonos puede estudiarse mediante la congruencia de triángulos. Los triángulos de la figura tienen ángulos congruentes, pero la medidas de sus lados no son congruentes, por lo que los triángulos no son congruentes. Medida

54 Mediatriz y bisectriz La mediatriz es línea perpendicular trazada en el punto medio de un segmento de recta. La bisectriz es la línea que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. En un triángulo podemos trazar las mediatrices de cada uno de sus lados, como lo observarás en el ejemplo. En un triángulo podemos trazar las bisectrices de los ángulos interiores. Medida

55 Rectas y ángulos Al observar el siguiente triángulo notamos que : tiene un ángulo mayor a 90º, tiene un lado más largo que los otros dos, su base es más corta que sus dos lados, entre otras cosas. Medida Recordar que los ángulos de los triángulos pueden ser internos o externos. Algunos ángulos se pueden crear sin necesidad de tener juego de geometría.

56 La probabilidad está presente en la vida diaria en situaciones como: Análisis de la información (2) La probabilidad determina la posibilidad de obtener uno o varios resultados favorables en un experimento al azar. al comprar el boleto de una rifa no se sabe cual será el boleto ganador. cuando se lanza una moneda al aire no se sabe si caerá cara o cruz. cuando al lanzar un dado no se sabe que cara caerá. Siguiente Noción de probabilidad

57 Si se eligiera a un niño de primer grado, ¿qué promedio será más probable que tenga? Se ha elegido un niño que tiene un promedio mayor que 8.5, ¿de qué grado es más probable que sea? De segundo grado Entre 7 y 8.5 Análisis de la información (2)

58 Durante una semana don Pedro registró las ventas de su restaurante. En su libreta anotó: lunes, $2 400; martes, $1 900; miércoles, $3 800; jueves, $1 750; viernes, $3 900; sábado, $4 900; domingo, $ Pensó en hacer la siguiente tabla y su correspondiente gráfica: DíaVentas lunes$2 400 martes$1 900 miércoles$3 800 jueves$1 750 viernes$3 900 sábado$4 900 domingo$5 200 Observó que el sábado y domingo fueron los días de mayor venta. Representación de la información y gráficas Análisis de la información (2)

59 Ecuaciones En una ecuación las literales son incógnitas, es decir que no conocemos su valor, y uno o más valores de la misma hacen verdadera la expresión algebraica. En una función se llaman variables ; cuando una de ellas cambia esto trae como resultado un cambio en la otra variable. Por lo que se tiene una variable independiente y otra dependiente. Por ejemplo: Si, x + y = 12, tenemos que y = -x + 12 Variable independiente (x) Variable dependiente (y) Siguiente

60 Un sistema de dos ecuaciones tiene dos incógnitas, al buscar su solución estamos encontrando los valores de las incógnitas que satisfagan ambas ecuaciones. Por ejemplo en el sistema de ecuaciones la solución es pues Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones, la solución es independientemente del método que se emplee. Ecuaciones Siguiente

61 Resolver por el método de igualación el sistema de ecuaciones Ecuaciones Paso 2. Se igualan las dos expresiones. 6 – x = x Paso 3. Se resuelve la ecuación para x. 12 = 3x por lo tanto x = 4 Paso 4. Se sustituye el valor de x en alguna de las 2 ecuaciones despejadas y se obtiene el valor y. y = 6 – 4 y = 2 Al graficar las ecuaciones las líneas rectas se cortan en el punto (4, 2) Paso 1. Se despeja la incógnita dependiente que es y en ambas ecuaciones. y = 6 – x y = x

62 Movimientos en el plano La simetría central de una figura consiste en una rotación de centro O (centro de la simetría) y ángulo de 180°.

63 ¡Felicidades!


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