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Construcción de fórmulas Profesor Marco Antonio García Juárez.

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Presentación del tema: "Construcción de fórmulas Profesor Marco Antonio García Juárez."— Transcripción de la presentación:

1 Construcción de fórmulas Profesor Marco Antonio García Juárez

2 Problema 1: D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseño favorito consiste en utilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes. He aquí algunos patios construidos por él: a) Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio cuadrado en cada lado, podemos hacer la siguiente tabla, en la que B indique el número de baldosas blancas empleadas. Complétela L N B ?

3 NÚMEROS FIGURADOS Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100. El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta correcta poco después de ser formulada la pregunta. ¿Cómo lo habrá hecho?

4 S= 101 x 50 = 5050 Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera: Trate de encontrar la regla para calcular la suma S de los n primeros números, es decir, para 1,2,3,4,5,6.. n …

5 Matemática pitagórica ¿Qué es lo más sabio? el número. ¿Qué es lo más bueno? la felicidad.

6 Seguramente conocerá los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C. NÚMEROS TRIANGULARES: Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular ( Trianón ) era una figura sagrada por la que tenían la costumbre de jurar. Complete la Tabla de los números triangulares: Nº … 10 … n.. T … … … … … ¿Tn?.. Dibuje las figuras T 4 y T 5 que siguen… Puede utilizar fichas de colores… T1T1 T2T2 T3T3 … T n

7 La fórmula para el n-ésimo número triangular es: (n-2) + (n-1) + n = n(n+1) 2 También es igual al coeficiente binomialcoeficiente binomial Complete =

8 NÚMEROS CUADRADOS: Nº n.. C n … Dibuje la figura C 5 que sigue C1C1 C2C2 C3C3 C4C4

9 El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación entre los números triangulares y los cuadrados: Compruebe la igualdad de forma algebraica

10 Suma de dos números triangulares consecutivos: número cuadrado La suma de dos números triangulares consecutivos, Tn y Tn 1 es un cuadrado perfecto, o, si se quiere en la terminología pitagórica, un número cuadrado. Demostrémoslo. Sean y T n = = Sumando T n + T n 1 = + Sumando T n y T n-1 es decir T n + T n 1 = n 2

11 Construya las fórmulas para encontrar el término general Números rectangulares Números pentagonales Dibuje la figura que sigue P 6 Puede utilizar fichas de colores

12 Números hexagonales Números estrellados Dibuje la figura que sigue H 6 Puede utilizar Fichas de colores

13 Números cúbicos Números tetraédricos

14 TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓN

15 MÉTODOS GEOMÉTRICOS El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como la suma de tres números triangulares de un orden menor y más la suma de los puntos de su lado, esto es: P n = 3 · P n-1 + n, de donde:

16 Deduzca del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números estrellados.

17

18 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números reales de manera que cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia. Veamos algunos ejemplos: -8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5. 70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = /2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2. De esta manera se tiene que : En general tenemos que:

19 En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PA: Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = n. Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los n primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4,......, n, de primer término 1, enésimo término n y diferencia 1. Si aplicamos la fórmula anterior se tiene que:

20 Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número pentagonal : P 1 = 1 P 2 = 1+4 P 3 = P 4 = P 5 = Hallar, mediante una técnica similar, el término general de los números hexagonales y estrellados Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia 3, tenemos que P n se corresponde con la suma de los n primeros términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas que hemos visto:

21 DIFERENCIAS FINITAS Comencemos estudiando las diferencias entre los términos consecutivos de una PA cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,... Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales La primera diferencia es constante La segunda diferencia es constante

22 Sucesión de números cúbicos.. La tercera diferencia es constante

23 En general, si una secuencia a 1, a 2, a 3, a 4,... Tiene las primeras diferencias fijas podemos concluir que la secuencia es una progresión aritmética de diferencia d y primer término a 1 : Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término general: a)2 n + 5, b)3 n - 1 y c)-6 n + 9. d) ¿Cómo son las secuencias de término general a n = a n + b?

24 Veamos que cuando el término general de una secuencia viene dada por un polinomio de segundo grado en n, a n = a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son constantes: Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el término general será del tipo a n = a n2 + b n + c. Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma: la diferencia segunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay que restarle 3a al primer valor de D 1. Por último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer término de la secuencia.

25 Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las secuencias de término general: a) n2 + 3n + 2 b) -n2 + 7 Investiga utilizando diferencias el patrón de la secuencia de los números tetraédricos. Estudia las diferencias de una sucesión de término general a n = a n3 + b n2 + c n + d Halla el término general de las secuencias: 2, 9, 20, 35, 54, 77,.... 4, 5, 8, 13, 20, 29,....

26 Llamamos números poligonales a los que se generan mediante un polígono: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si en la fórmula cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los números triangulares; si la cambiamos por 2 obtenemos la de los números cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtiene la de los pentagonales,... Comprueba que se verifican las siguientes relaciones: C n =T n + T n-1 P n =C n + T n-1 H n =P n + T n-1

27 No siempre nos valen las diferencias: Cuando el término general de una secuencia no sea un polinomio en n no podremos utilizar la técnica de las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos para estudiar dos tipos de secuencias que también son muy frecuentes en la literatura matemática: las progresiones geométricas y las sucesiones recurrentes. Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito el proceso de construcción de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1). ¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la línea negra? ¿Y si considerásemos a la infinidad de ellos? Resuelve la cuestión cuando leas el siguiente apartado:

28 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números reales de manera que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón. De esta manera se tiene que :

29 En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PG:

30 Halla el perímetro del copo de nieve de n capas: En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG, si -1 < r < 1, se tiene que, es decir, r a la n se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande. En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG sería: Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?

31 SUCESIONES RECURRENTES De manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas en las que un término se expresa en función de términos anteriores. Veamos un par de casos que aclaren la idea: Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los vértices numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder): En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada término es la suma de los dos anteriores) Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesión, con lo que no se hacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su término general.

32 Las Torres de Hanoi: Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma que queden en la misma posición. Los discos sólo pueden situarse descansando en alguno de los tres postes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobre otro menor. Hallar la secuencia Nº. De discos n Nº. mínimo de movimientos ¡¡¡superpresentaciones power point!!!\animaciones Juegos\torrehanoi.pps

33 METODOLOGÍA Comenzar por pocos discos. Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo A n = A n A n-1 = · A n-1. Observar que de A 1 = 1; A 2 = 3; A 3 = 7; A 4 = 15; A 5 = 15; etc, se sigue que A n = 2 n - 1. Del hecho de que A n = · A n-1 se deduce que las diferencia primera será: D = A n+1 - A n = A n - A n = 1 + A n que no se hace constante. Puedes estudiar lo que ocurre con las demás diferencias y comprobarás que ocurre lo mismo. Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término general: A n = 2 n - 1.

34 Problemas Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo la mitad de las restantes más media, al tercero la mitad de las que quedaban más otra media manzana, etc. El séptimo comprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes más media manzana, agotó la mercancía. ¿Cuántas manzanas tenía el jardín? Determina la expresión de An :

35 Demuestra que si multiplicas por ocho un número triangular, y sumas uno, obtienes un número cuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema geométrico. (NOTA: la demostración algebraica requiere expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado perfecto) Realiza las sumas: (2n+1) (n+2) (3n+2)

36 ¿Cuántos trozos, no necesariamente iguales, se pueden obtener como máximo al realizar n cortes sobre una tarta? Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has conseguido, sabiendo que las diferencias segundas de dicha secuencia se hacen constantes.

37 Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas. Expresa el número de cubos necesario para realizar una de n capas.

38 Halla An (número máximo de regiones obtenidas por intersección de n círculos)

39 A veces las apariencias engañan. Si observamos el número máximo de regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una circunferencia, la observación de los 5 primeros términos parece indicar que la secuencia sigue la fórmula An = 2n-1. Claramente se ve que el término sexto no cumple ya esa regla. Determina la expresión general de la sucesión, sabiendo que sus primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que sus cuartas diferencias son constantes.

40 Muchas gracias


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