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Publicada porMiguel Ángel Macías Gómez Modificado hace 6 años
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Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol
Estados de Tensión y Deformación Tensor de Tensiones Ejercicio N° 1 de la Guía de Problemas Propuestos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
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Veamos la definición de Tensión:
Introducción Con el objeto de explicar cómo se transmiten a través de los sólidos las fuerzas externas aplicadas, es necesario introducir el concepto de tensión, siendo este, el concepto físico más relevante de la mecánica de los medios continuos, y de la teoría de la elasticidad. Se denomina tensión a la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio continuo. Dependiendo de la orientación del plano en cuestión, el vector tensión puede no ser perpendicular al mismo, y puede descomponerse en dos vectores: una componente normal al plano, llamada tensión normal (), y otro componente contenida en el plano, denominada tensión cortante (). Veamos la definición de Tensión:
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Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD:
Introducción Conociendo x, y, z, xy, yz, xz la tensión que se ejerce sobre un plano que pasa por A, cuya normal tiene por cosenos directores (l, m, n) y considerando que… x y z A …si ds es el área de la cara BCD, las áreas de las caras ACD, ABD y ABC serán respectivamente: l.ds, m.ds, n.ds… D ds …el equilibrio del tetraedro conduce a las siguientes ecuaciones: l.ds y yx x xy m.ds yz xz B zy zx n.ds z C Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD:
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Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD:
Introducción … siendo las componentes x, y, z … … estas relaciones muestran que el conjunto de las tensiones alrededor de un punto forman un tensor simétrico: z y x A n (normal al plano BCD) (proyección de sobre el plano BCD) D z x y z xy xz zx yx zy yz … siendo además: (proyección de sobre la normal n) x y B … donde: C Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD:
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Introducción …por lo tanto:
El vector tendrá las siguientes componentes: x, y, z referidas al la terna x, y, z … … y las siguientes componentes: , referidas a la normal n y al plano BCD … z y x A n (normal al plano BCD) Las componentes x, y, z son invariantes para un determinado estado tensional, pero las , dependerán del plano de referencia… D z … por lo tanto habrá un plano para el cual, las tensiones serán máximas y las tensiones mínimas (min = 0) … x … estas direcciones definen las direcciones principales y las tensiones correspondientes serán las tensiones principales. y B C …por lo tanto:
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Veamos el siguiente ejemplo:
Enunciado Referido a una terna (x, y, z) se ha determinado para un plano cuya normal “n” exterior tiene los cosenos directores (l, m, n) que las componentes del vector de tensión son (x, y, z). Se pide: Escribir las ecuaciones vectoriales de los vectores “n” y . Determinar la componente normal y la tangencial . Hacer la figura de análisis. Datos: l = 0,4; m = 0,6; x = 20 MN/m2; y = 100 MN/m2; z = 30 MN/m2 Veamos el siguiente ejemplo:
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Definiremos primero el valor del coseno director “n”:
Resolución Siendo: …por lo tanto, el vector “n” será: …y el vector resulta: Definiremos primero el valor del coseno director “n”:
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Determinamos la componente normal y la tangencial :
Resolución Las determinamos como sigue… …calculamos el módulo del vector tensión : …calculamos su proyección sobre la normal al plano “n” por medio de producto escalar : …y siendo: Determinamos la componente normal y la tangencial :
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…y la figura de análisis será:
Resolución z y x A x y z n (normal al plano BCD) C D B …y la figura de análisis será:
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Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
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Muchas Gracias
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