2011.

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2 Lección 4 : 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones. Círculos de Mohr. Planos y tensiones principales. 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson. Deformación por esfuerzos triaxiales.

3 4.1.- Estado tensional de un punto
x y z snx txy t xz tyx sny tyz snz tzy tzx

4 4.1.- Tensiones principales de un punto
x y z dSx = dW a N dSy = dW b dSz = dW g s2 s3 s1 snx t xz txy s = s1+ s2 + s3 s1  s2  s3

5 4.1.- Matriz de Tensiones sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g
sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g = s x s y s z a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s [ s  = [ T  * [ u  cosenos directores

6 4.3.- Tensiones y direcciones principales
s2 s3 s1 s1 > s2 > s3 Direcciones principales x = a s1 y = b s2 z = g s3 s 1 s 2 s 3 x y z = a b g => => s s s32 x y z2 + = 1

7 4.2.- Círculo de Mohr t Pp s t s3 O1 s2 s1 sn O3 O2 sn C1 C3 P’p C2

8 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
= a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s x s y s z s x F p f cos f cos (90-f) F/S x = s n = s.u = (F/S . cos f ) cos f = F/S . cos2 f p f t = (F/S . sen f ) cos f = F/S . (sen 2f) 2 f 2 f n

9 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Fy Np = a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s 1 s 2 s 3 s x Fx p f cos f cos (90-f) snx sny x = s n = s nx . cos2 f + s ny . cos2 (90 – f) = p s nx + s ny 2 + s nx - s ny cos 2f s n = a 2 a s 1 s nx - s ny 2 sen 2f t p = f n s 2

10 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Fy Np Fx p p f f a 2 a s 1 n s 2 s nx + s ny 2 + s nx - s ny + t2 s 1 = )2 ( s nx + s ny 2 - s nx - s ny + t2 s 2 = )2 ( 2 t p s nx - s ny tan 2f =

11 4.3.- Tensiones y direcciones principales
[ s  = [ T  * [ u  Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él: 0 = (snx -s )*a + tyx * b tzx * g 0 = txy * a (sny - s)*b + tzy * g 0 = txz * a tyz * b (snz -s)*g Su determinante es : (snx -s ) tyx tzx txy (sny - s) tzy txz tyz (snz -s) = 0 que desarrollado es -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0

12 4.3.- Tensiones y direcciones principales
[ s  = [ T  * [ u  Ecuación característica o secular -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0 Tensiones principales : son las raíces de la ecuación donde : I1 = snx + sny + snz I2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t2yz-t2zx-t2xy I3 = | T |

13 Deformación Trasversal
ey = - m ex m coeficiente de deformación trasversal o de Poisson m = - ey ex

14 Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
ex = sx E + - sy m sz a DT ey = sy E + - sx m sz a DT ez = sz E + - sx m sy a DT Invariante lineal de deformaciones e = ex + ey + ez Invariante lineal de tensiones q = sx + sy+ sz

15 Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
ex = sx E + - sy m sz a DT s0 ey = sy E + - sx m sz a DT s0 ez = sz E + - sx m sy a DT s0 Invariante lineal de deformaciones e = ex + ey + ez Invariante lineal de tensiones q = sx + sy+ sz

16 Calculo matricial