RADICALES Y LOGARITMOS

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1 RADICALES Y LOGARITMOS
U.D. 2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

2 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
U.D * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

3 Interés simple El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL.
La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS. El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. C . r . t C . r . t C . r . t i = ; i = ; i = , según se mida el tiempo en años, meses o días. O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

4 Interés simple Los intereses que nos da una entidad por nuestros ahorros es: i = C.(r/100).t Al finalizar el tiempo tendremos: Capital final = Capital inicial + i Cf = C + i Cf = C + C.(r/100).t Sacando C como factor común: Cf = C.[1 + (r/100).t] El término 1+(r/100).t es el índice de variación. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

5 Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 dias. Un banco les ofrece un interés nominal anual del 3%. ¿Qué dinero adicional obtendrían si lo colocan a 2 años? ¿Y si lo colocan a 26 meses? ¿Y si lo colocan a 800 días? C . r . t i = = = 300 € C . r . t i = = = 325 € C . r . t i = = = 367 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

6 Ejemplo_2 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. C . r . t r. 20 i = ; = ; Resolviendo la ecuación: = r  r = / = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

7 Ejemplo_3 ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial? Quiero que C + i = 3.C Luego debo conseguir unos intereses de 2.C. i = C . r . t / 100; 2.C = C.0,04.t Resolviendo la ecuación: 2 = 0,04.t  t = 2 / 0,04 = 50 Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique. Otra forma de resolverlo: Cf = C.[1 + (r/100).t] 3.C =C.[1+(4/100).t]  3.C = C + C.0,04.t  2.C =C.0,04.t Nota: Si en lugar de interés simple lo invertimos a interés compuesto se tardaría menos tiempo en triplicar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

8 INTERÉS COMPUESTO Siendo (1+r) el número índice.
En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año: Capital final = C + C.r = C.(1+ r) En el segundo año: Capital final = (C + C.r) + (C + C.r).r Sacando factor común a (C+C.r) Capital final = (C + C.r).(1+r) = C.(1+r).(1+r) = C.(1+r)2 En el tercer año: Capital final = C.(1+r)2 + C.(1+r)2 .r Sacando factor común a C.(1+r)2 Capital final = C.(1+r)2.(1+ r) = C.(1+ r)3 Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r)t Siendo (1+r) el número índice. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

9 Ejemplo_1 Ejemplo 1 Deposito en un banco € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. En el primer año: Capital final = ,05 = ,05 = 5250 En el segundo año: Capital final = ,05 = 5512,5 En el tercer año: Capital final = 5512, ,5.0,05 = 5688,025 Y así hasta el 10º año. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = 5000.(1+0,05)10 = 8144,47 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

10 Ejemplo_2 y 3 Ejemplo 2 Deposito en un banco € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = (1+0,03)10 = 13439,16 € (1+0,03)10 es el índice de variación a 10 años. Ejemplo 3 Deposito en un banco € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 120 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 120 meses tendremos: Capital final = C.(1+r)m Capital final = (1+3/1200)120 = (1+0,0025)120 = = , = 13493,53 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

11 Ejemplo_4 Ejemplo_4 Ingresamos en un banco la cantidad de € a un tipo de interés anual del 5 %.¿ Qué tiempo tiene que transcurrir para que se nos doble el capital?. Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+r)t = (1+0,05)t Ecuación exponencial. 40000 / = (1,05)t  = (1,05)t La incógnita está en el exponente y el resultado no es una potencia de la base, en cuyo caso hay que emplear LOGARITMOS. Tomando LOGARITMOS DECIMALES, tenemos: log 2 = log (1,05)t  log 2 = t. log 1,05 Despejando t, ahora que ya no está en el exponente, tenemos: t = log 2 / log 1,05 = 0, / 0, = 14,20 años @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

12 Comparación intereses
Los capitales depositados a interés simple crecen de forma lineal o aritmética. Cf = Co + Co.r.t = Co.(1 + r.t) Co = Capital inicial Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan en 50 €. Los capitales depositados a interés compuesto crecen de forma exponencial o geométrica. Cf = Co.(1 + i)t Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan sucesivamente en 60 €, en 67,5 €, en 73 €, etc. Co años @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.