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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 11 SUCESIONES U.D. 3 * 1º BCT
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 12 APLICACIONES DE PROGRESIONES U.D. 3.6 * 1º BCT
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL. La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS. El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. C. r. t C. r. tC. r. t i = ------------- ; i = ------------; i = ------------, según se mida 100 1200 36000 el tiempo en años, meses o días. O sea Interés = C.r.t,, Capital final = C + C.r.t, que es una P.A. Es una PA porque cada año nos dan los mismos intereses d = C.r Interés simple
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Los intereses que nos da una entidad por nuestros ahorros es: i = C.(r/100).t Al finalizar el tiempo tendremos: Capital final = Capital inicial + i Cf = C + i Cf = C + C.(r/100).t Es una progresión aritmética, pues cada periodo de tiempo (años, trimestres, meses o días) nos dan los mismos intereses: an = Cf d = C.(r/100) a1 = C (n – 1) = t Interés simple
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene 5.000 € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 dias. Un banco les ofrece un rédito del 3%. ¿Qué dinero obtendrían si lo colocan a 2 años? ¿Y si lo colocan a 26 meses? ¿Y si lo colocan a 800 días? C. r. t 5.000.3.2 i = ------------- = ---------------- = 300 € 100 100 C. r. t 5.000.3.26 i = ------------- = ---------------- = 325 € 1200 1200 C. r. t 5.000.3.800 i = ------------- = ------------------- = 367 € 36000 36000
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo_2 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que 5000 + i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. C. r. t 5.000. r. 20 i = ------------- ; 1000 = ---------------- ; 1200 1200 Resolviendo la ecuación: 1200000 = 100.000. r r = 1200000 / 100000 = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Ejemplo_3 ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial? Quiero que C + i = 3.C Luego debo conseguir unos intereses de 2.C. C. r. t C. 4. t i = ------------- ; 2.C = ------------; 100 100 Resolviendo la ecuación: 200. C = 4.C.t t = 200. C / 4. C = 50 Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año: Capital final = C + C.r/100 = C.(1+ r/100) En el segundo año: Capital final = (C + C.r/100) + (C + C.r/100).r/100 Sacando factor común a (C+C.r/100) Capital final = (C + C.r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100) 2 En el tercer año: Capital final = C.(1+r/100) 2 + C.(1+r/100) 2.r/100 = C.(1+ r/100) 3 Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100) t Interés compuesto
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 El interés compuesto es una progresión geométrica. Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100) t Cf = C.(1+ r/100) t Comparando con la fórmula de las PG: an = Cf a1 = C r (razón) = (1+ r(rédito)/100) n – 1 = t Interés compuesto
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Si en lugar de años (t), los intereses se abonan cada dos o tres meses, o incluso mensualmente, entonces el llamado periodo de capitalización será menor al año. Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 12 será el interés mensual. En un mes tendremos unos intereses de: Al cabo de m meses tendremos: Capital final = C.(1+ r/1200) m Si por características especiales los intereses se abonan en días, tendremos: Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 360 será el interés diario. Al cabo de n días tendremos: Capital final = C.(1+ r/36000) n
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Ejemplo 1 Deposito en un banco 5.000 € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r) t Capital final = 5000.(1+0,05) 10 = 8144,47 € Ejemplo 2 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 4%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r/100) t Capital final = 10000.(1+0,04) 10 = 14.802,5 €
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 Ejemplo 3 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 20 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 20 meses tendremos: Capital final = C.(1+r/1200) m Capital final = 10000.(1+0,04/12) 20 = 10000.(1+0,003334) 20 = 10.688,34 € Ejemplo_4 Un piso me ha costado 120.000 €. Cada año se revaloriza un 10%.¿Qué valdrá al cabo de 15 años. Utilizando la fórmula, al cabo de 15 años tendremos: Capital final = C.(1+r) t Capital final = 120.000.(1+0,1) 15 = 501.269 €
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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13 Ejemplo 5 Deposito en un banco 1.000.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 100 días?. Utilizando la fórmula, al cabo de 100 días tendremos: Capital final = C.(1+ r/36000) n Capital final = 1.000.000.(1+ 3/36000) 100 = =1.000.000.(1+ 0,000083334) 100 = 1.008.367,80 € Ejemplo_6 Un coche me ha costado 12.000 €. Cada año que pasa pierde un 20% de su valor.¿Qué valdrá al cabo de 20 años. Utilizando la fórmula, al cabo de 20 años tendremos: Valor final = P.(1+ r) t Valor final = 12.000.(1 – 20/100) 20 = = 12.000.0,80 20 = 12.000. 0,01153 = 138,35 €
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