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Interés Compuesto y Ecuaciones de Valor Maratón de Matemáticas Financieras UNAM - UAM-X Alberto I. Pierdant R. Andrés Morales A. Septiembre 2005.

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1 Interés Compuesto y Ecuaciones de Valor Maratón de Matemáticas Financieras UNAM - UAM-X Alberto I. Pierdant R. Andrés Morales A. Septiembre 2005

2 2 interés compuesto El interés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos. [Vidaurri,1997]. En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto.

3 3 El interés compuesto se usa principalmente para operar los depósitos en los bancos y en las asociaciones de préstamos y ahorros. Cuando se deposita el dinero en un banco, el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin de ganar intereses, es decir, está invirtiendo su dinero.

4 4 Es importante observar en esta acumulación (capital más los intereses del período), que los intereses de cada período no son pagados sino al finalizar el plazo establecido para la inversión. El interés compuesto será la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depósitos adicionales durante el período de inversión. IC = Monto Compuesto - Capital

5 5 El período convenido para convertir el período de interés en capital se llama período de capitalización o período de conversión capitalización o período de conversión. La expresión: período de capitalización semestral, significa que el interés gene- rado se capitaliza; es decir, se suma al capital, al término de cada 6 meses.

6 6 Al igual que en el interés simple, la tasa de interés dada en un problema de interés compuesto será una tasa anual, excepto que se diga lo contrario. Banco Azteca ofrece a un ahorrador un 20% de interés capitalizable cada semestre en su cuenta básica. Si el ahorrador deposita $2, el 1 de enero de 2002, y no hace movimientos en su cuenta durante 2 años. ¿Cuánto tiene al 1 de enero de 2004?

7 7 Tasa anual = 20% Período de capitalización: semestral Tasa de interés por período = 20/2 =10% Número de períodos de capitalización: 4 Capital al final del primer semestre Capital (depósito inicial) + Interés = 2, = 2,200 Capital al final del segundo semestre Capital + Interés = 2, = 2,420 Capital al final del tercer semestre Capital + Interés = 2, = 2,662 Capital al final del cuarto semestre( 1/enero/2004) Capital + Interés = 2, =2,928.20

8 8 Matemáticamente: Primer semestre (C + Ci) Segundo semestre (C+Ci) + (C+Ci) i factorizando (C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i) 2 Es decir, el monto compuesto para el período n será por lo tanto: MC = C(1+i) n interés del período

9 9 Utilizando esta última relación obtenemos para el problema propuesto: MC = 2,000 (1+0.10) 4 MC = 2,000 (1.4641) MC = 2,928.20

10 10 Tasa de interés nominal y efectiva tasa de interés nominal La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera. tasa efectiva por período La tasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.

11 11 Problemas Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto para $1,000 al 9% capitalizable en forma mensual durante 1 año. Determine el interés compuesto y el monto compuesto si se deposita en un banco $3,000 al 8% por 12 años con interés capitalizable en forma trimestral.

12 12 Solución al primer problema Capital:$1,000 Interés:9% Capitalización: mensual Tasa efectiva: 9%/12 = % Períodos: 12 MC = C(1+i) n MC=1,000( ) 12 MC = 1,000( ) = $1, Interés Compuesto = MC – Capital Interés Compuesto = 1, – 1,000 = $93.81

13 13 Solución al segundo problema Capital:$3,000 Interés:8% Capitalización: trimestral Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Períodos: 48 MC = C(1+i) n MC =3,000(1+0.02) 48 MC = 3,000( ) = $7, Interés Compuesto = MC – Capital Interés Compuesto = 7, – 3,000 = $4,761.21

14 14 Problema con cambio de tasa durante el período de inversión Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro por 6 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando 8% capitalizable en forma trimestral. Después de dos años y medio, la tasa cambió al 8% capitalizable en forma mensual. Determínese el interés y el monto compuesto al finalizar los 6 años.

15 15 Solución utilizando una escala de tiempo 1 1 Escala de tiempo: es un método gráfico que permite visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversión propuesta. [Taylor,1977] C 10 MC 1 42 MC 2 1 …….. Trimestres Meses

16 16 C 10 MC 1 42 MC 2 1 …….. Trimestres Meses MC 1 = C ( ) 10 MC 1 = 5000 ( ) MC 1 = $6, MC 2 = 6, ( ) 42 MC 2 = 6, (1.3219) MC 2 = $8,056.94

17 17 El monto compuesto al final del sexto año es: $8, El interés compuesto generado por la inversión es de: IC = MC 2 – C IC = 8, – 5,000 = $3,056.94

18 18 En EXCEL

19 19 Tasa de interés efectiva(i e ) También conocida como tasa efectiva, se define como la tasa de interés simple que produciría el mismo interés en un año que la tasa nominal capitalizada m períodos al año. Matemáticamente: i e = (1 + i/m) m -1 donde, i e = tasa efectiva i = tasa nominal m = número de períodos de capitalización en un año

20 20 Suponga que un inversionista deposita $1,000 en un banco que ofrece 10% capitalizado mensualmente. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva al final de un año? Tasa nominal: 10% períodos: 12 Tasa efectiva por período: 0.10/12 = Valor nominal compuesto al final del año: ( ) 12 = Valor tasa nominal compuesta: 10.47% Tasa efectiva i e = (1 + i/m) m -1 i e = ( /12) i e = – 1 = i e = 10.47%

21 21 Ecuaciones de Valor En el ámbito de las operaciones financieras un deudor puede desear remplazar un conjunto de deudas previamente contraídas con un determinado acreedor, por otro conjunto que le sean equivalentes, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento. Para lograr esto último es necesario plantear ecuación de valor. una ecuación de valor.

22 22 ecuación de valor Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuesto para remplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento han sido trasladados fecha focal o fecha a una fecha común, llamada fecha focal o fecha de valuación de valuación [Vidaurri,1997].

23 23 Problemas de ecuaciones de valor para Interés Simple Un inversionista tiene una deuda que debe ser saldada en la siguiente forma: $1, en este momento y $2, dentro de un mes. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es del 35%?

24 24 Solución Dado que se desea pagar hoy, está será la fecha focal. 1,470 hoy X – pago propuesto 2,600 1 mes VP = 2,600 / (1+(0.35/12)(1)) = 2, Valor de las deudas = Valor de las deudas originales propuesto 1, = X, por lo tanto X = 3,996.32

25 25 Un inversionista debe $5,700 a pagar dentro de cuatro meses y $7,440 a pagar dentro de 8 meses. Una negociación con su acreedor le permitirá pagar mediante dos pagos de igual cuantía; el primero a efectuar dentro de 10 meses y el otro al cabo de un año. ¿Cuál será el pago, si ambos acuerdan una tasa de interés simple del 40%?

26 26 Solución La escala de tiempo muestra el acuerdo del inversionista. 1 meses 5, , 440 x x 8 M 1 = 5,700[1+(0.40/12)(8)] = 7,220 M 2 =7,440[1+(0.40/12)(4)] = 8,432 M 3 = X [1+(0.40/12)(2)] = X ( ) M 4 = X Ecuación de valor M 1 + M 2 = M 3 + M 4 7, ,432 = ( ) X + X 15,652 = X X = 7, (dos pagos)

27 27 Si la fecha focal es el quinto mes, ¿cuánto debe pagar? 1 meses 5, , 440 x x 8 M 1 = 5,700[1+(0.40/12)(1)] = 5,890 VP 2 =7,440 / [1+(0.40/12)(3)] = 6, VP 3 = X / [1+(0.40/12)(5)] = X ( ) VP 4 = X / [1+(0.40/12)(7)] = X ( ) Ecuación de valor M 1 + VP 2 = VP 3 + VP 4 5, , = X ( ) + X ( ) 12, = X X = 7, (dos pagos)

28 28 Como puede observarse, la selección de fecha focal determinada una fecha focal determinada, en el caso interés simple de usar interés simple, afecta el resultado de la valuación. Por ello, es muy importante que tanto el inversionista como el acreedor se pongan de acuerdo con respecto a ello.

29 29 Solución si usamos interés compuesto La escala de tiempo muestra el acuerdo del inversionista. 1 meses 5, , 440 x x 8 M 1 = 5,700[1+(0.40/12)] 8 = 7, M 2 =7,440[1+(0.40/12)] 4 = 8, M 3 = X [1+(0.40/12)] 2 = X ( ) M 4 = X Ecuación de valor M 1 + M 2 = M 3 + M 4 7, , = ( ) X + X 15, = X X = 7, (dos pagos)

30 30 Si la fecha focal es el quinto mes, ¿cuánto debe pagar? 1 meses 5, , 440 x x 8 M 1 = 5,700[1+(0.40/12)] 1 = 5,890 VP 2 =7,440 / [1+(0.40/12)] 3 = VP 3 = X / [1+(0.40/12)] 5 = X ( ) VP 4 = X / [1+(0.40/12)] 7 = X ( ) Ecuación de valor M 1 + VP 2 = VP 3 + VP 4 5, , = X ( ) + X ( ) 12, = X X = (dos pagos)

31 31 Ecuaciones de Valor para análisis mediante Interés Compuesto Una ecuación de valor a interés compuesto es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, el original y el propuesto, que se pagan o reciben en distintos momentos. La igualdad se plantea en una fecha determinada arbitrariamente llamada fecha focal o fecha de valuación. En las ecuaciones de valor a interés compuesto el resultado no se altera si se cambia la fecha focal.

32 32 BIBLIOGRAFIA Díaz M. Alfredo y Aguilera G. Víctor(1998), Matemáticas Financieras, 2da. Edición, McGraw Hill, México. Highland H. Esther y Rosenbaum S. Roberta(1987), Matemáticas Financieras, 3ra. Edición, Prentice Hall, México. Rivera S. Jorge(2002), Matemáticas Financieras, Alfaomega, México. Taylor A. George(1977), Ingeniería Económica, LIMUSA, México. Vidaurri A. Héctor M.(1997), Matemáticas Financieras, ECAFSA, México. Villalobos José L..(1993), Matemáticas Financieras, Editorial Iberoamérica, México.


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