Vibraciones en sistemas físicos Autor: Tadeusz Majewski.

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1 Vibraciones en sistemas físicos Autor: Tadeusz Majewski

2 Capítulo 3 Sistemas con un grado de libertad

3 TEMARIO I.Introducción II.Vibraciones libres de un sistema sin amortiguamiento III.Vibraciones libres amortiguadas IV. Vibraciones excitadas V.Excitación cinemática VI.Vibraciones excitadas por desbalance del rotor VII.Vibraciones con excitación periódica VIII. Respuesta a cualquier excitación IX.Aplicaciones de las vibraciones X.Problemas

4 Objetivos del Capítulo 3 a)Se presenta el comportamiento dinámico de los sistemas con un grado de libertad y la manera de calcular la frecuencia natural así como la amplitud de las vibraciones excitadas. b)En los ejemplos presentados, se muestra el procedimiento para obtener las ecuaciones de movimiento; a partir de éstas se pueden obtener los parámetros más importantes de estos sistemas. c)Para facilitar los cálculos, se plantea realizarlos usando el programa MATLAB.

5 I. Introducción 1.Cualquier máquina que tenga elementos inerciales y elásticos comienza a vibrar cuando se le aplica un impacto inicial o actúan sobre ésta una o más fuerzas que cambian con el tiempo. 2.Para analizar el comportamiento del sistema, es necesario definir su estructura y todas las fuerzas que existen en el sistema; es decir, se necesita plantear el diagrama de cuerpo libre. 3.El movimiento del sistema se define cuando se determina la ecuación diferencial correspondiente y se resuelve mediante un modelo matemático. 4.Cuando se analiza el sistema, generalmente se encuentra que la masa de los elementos elásticos es muy pequeña y por eso se considera despreciable. 5.Por otro lado, algunos cuerpos son muy rígidos con respecto a otros cuerpos (resortes) del sistema y se toman como rígidos; por tanto se les clasifica como objetos rígidos o elásticos.

6 II. Vibraciones libres de un sistema sin amortiguamiento Consideramos el sistema vibratorio más sencillo posible, es decir, un sistema formado por un resorte lineal k y una masa m. Se supone que la masa puede desplazarse sólo en la dirección vertical. En la siguiente diapositiva, la figura de la izquierda es un croquis del sistema propuesto y la figura de la derecha es su diagrama de cuerpo libre.

7 II. Vibraciones libres de un sistema sin amortiguamiento

8 Bajo la acción de la fuerza de gravedad, la masa se desplaza x st = mg/k, a la posición de equilibrio y se tiene mg = kx st Cuando se aplica un impacto, la masa se desplaza una distancia x hasta alcanzar la posición de equilibrio Aplicando la segunda ley de Newton F = ma en la dirección vertical, se tiene: (3.1) Como la fuerza de gravedad se compensa con la fuerza de tensión del resorte en su posición de equilibrio, se tiene que: (3.2) La ecuación diferencial (3.2) es lineal y se puede representar como sigue: (3.3) donde La solución general tiene la forma: (3.4) donde t es el tiempo, A y r son constantes desconocidas.

9 II. Vibraciones libres de un sistema sin amortiguamiento Sustituyendo x(t) en la ecuación (3.3) y dividiendo por se obtiene una ecuación algebraica, en lugar de una ecuación diferencial (ecuación 3.5): que tiene dos soluciones: La solución general es (ecuación 3.6): donde son constantes arbitrarias Usando la ecuación la ecuación (3.6) se transforma en la ecuación (3.8): Las constantes C 1 y C 2 se calculan a partir de las condiciones iniciales: Desplazamiento de la masa con respecto a su condición de equilibrio x(0) = C 1 = x 0 velocidad inicial por lo que C 1 = x 0 y C 2 = v0/ω 0

10 II. Vibraciones libres de un sistema sin amortiguamiento Sustituyendo estos resultados en la ecuación (3.8) se tiene que: donde El sistema vibra de forma armónica con la frecuencia ω 0 = √k/m (frecuencia natural ) que es función de la rigidez del sistema k y de su inercia m. La amplitud es una función de los parámetros iniciales x 0 y v 0. El desplazamiento es x(t) y la velocidad del cuerpo es v = −aω 0 sen(ω 0 t − ψ). La amplitud del desplazamiento y la velocidad de las vibraciones libres son constantes cuando el sistema no tiene ningún amortiguamiento. En sistemas reales esto no es posible porque siempre existe amortiguamiento.

11 III. Vibraciones libres amortiguadas La figura de la izquierda muestra un sistema con amortiguación viscosa y la figura de la derecha muestra su diagrama de cuerpo libre (modelo Kelvin-Voigt). El amortiguador produce una fuerza proporcional a la velocidad (amortiguamiento viscoso): Donde c es el coeficiente de amortiguamiento y es la velocidad del cuerpo.

12 III. Vibraciones libres amortiguadas x se mide a partir de la posición de equilibrio de la masa m Aplicando la segunda ley de Newton, F = ma: Si sustituimos h = c/2m (c = 2hm) y ω 0 = √k/m (frecuencia natural del sistema sin amortiguación) en la ecuación anterior y la dividimos por m, se obtiene (3.13) la cual es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea con una solución de la forma: donde A y r son constantes indeterminadas. Insertando esta función en la ecuación diferencial, se obtiene como resultado la ecuación de segundo grado cuya solución general con dos raíces es

13 III. Vibraciones libres amortiguadas Estas dos raíces dan dos soluciones particulares: y la solución general de la ecuación (3.13) es la siguiente ecuación (3.17): donde A 1 y A 2 son constantes arbitrarias determinadas a partir de las condiciones iniciales del sistema. La solución x(t) puede adoptar distintas formas según r 1 y r 2 sean valores reales o complejos, lo cual corresponde físicamente a una amortiguación fuerte, h > ω 0, o a una amortiguación débil, h < ω 0. Entre esos dos casos extremos existe la amortiguación crítica correspondiente a h cr = ω 0 o c cr = 2mω 0.

14 III. Vibraciones libres amortiguadas Se conocen tres tipos de vibraciones libres amortiguadas: 1. Movimiento sobre amortiguado h > ω 0, ε = c/c cr (factor de amortiguación) > 1. Aquí r 1 y r 2 son reales y la solución tiene la forma de la ecuación (3.17). La raíces r 1 y r 2 son negativas y las funciones y son decrecientes con respecto al tiempo. Las constantes de integración se determinan con las condiciones iniciales. El movimiento disminuye exponencialmente con el tiempo. 2. Movimiento sub amortiguado h < ω 0, ε = c/c cr (factor de amortiguación) < 1 Para este caso las raíces r 1 y r 2 son imaginarias La ecuación que describe a este sistema es la siguiente ecuación (3.22): donde la amplitud a(t) decrece con el tiempo según la ecuación: La frecuencia de las vibraciones amortiguadas ω d es siempre menor que la frecuencia natural ω 0 Para un amortiguamiento pequeño cuando 1 se puede tomar !d !0, esto es, la frecuencia amortiguada y la no amortiguada son casi iguales. Amortiguación crítica La amortiguación del sistema se define por el factor de amortiguación : Para el sistema sobre amortiguado se tiene que > 1, para el subamortiguado < 1 y para amortiguación crítica se tiene = 1. El comportamiento de un sistema se puede predecir una vez que se conoce el factor de amortiguación.

15 III. Vibraciones libres amortiguadas Para un amortiguamiento pequeño cuando ε << 1, se puede tomar ω d = ω 0, es decir, la frecuencia amortiguada y la no amortiguada son casi iguales. La amplitud de las vibraciones va disminuyendo a medida que el tiempo aumenta. Las vibraciones son muy parecidas a las vibraciones armónicas pero la amplitud no es constante y por eso no son armónicas. La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo y tiende a cero cuando t tiende a infinito. 3. Amortiguación crítica La razón crítica de amortiguamiento c cr se define como el valor de c para el cual La amortiguación del sistema se define por el factor de amortiguación ε: Para el sistema sobre amortiguado, ε > 1, para el subamortiguado ε < 1 y para amortiguación crítica, ε = 1 Se puede predecir el comportamiento de un sistema si se conoce el factor de amortiguación ε.

16 Vibraciones excitadas Sistema con un grado de libertad y excitación armónica Los sistemas con un grado de libertad se encuentran en muchas máquinas; por ejemplo impresoras, relojes, vehículos, y en otros sistemas motrices Las vibraciones se generan por fuerzas dinámicas o por el contacto con otros elementos que giran o se desplazan Generalmente, las excitaciones se dividen en dos grupos: excitación directa (fuerza, presión, torque) y excitación cinemática (desplazamiento de un punto) En la siguiente figura se muestran el croquis del sistema propuesto y su diagrama de cuerpo libre En la posición x en el diagrama de cuerpo libre, actúan tres fuerzas sobre la masa m: fuerza de excitación F(t), fuerza del resorte F 1 = kx y la fuerza del amortiguador F 2 = c. Ecuación del movimiento de la masa m: (3.32) donde

17 IV. Vibraciones excitadas

18 La solución de la ecuación (3.32) se obtiene como la suma de la solución generalizada x 1 de la ecuación homogénea y la solución particular x 2 de la ecuación no homogénea: x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) A medida que el tiempo aumenta, la solución x 1 (t) (vibraciones libres) tiende a cero, por lo que se le conoce como vibración transitoria. Por eso la solución final se toma igual a x 2 : que es un movimiento armónico con frecuencia de excitación Ω Finalmente, donde A es la amplitud de la vibración: y el ángulo de fase es: para

19 V. Excitación cinemática A veces las vibraciones se generan por el movimiento de otros objetos, por ejemplo pisos y paredes. En la figura de la siguiente diapositiva se muestran el croquis del sistema propuesto y su diagrama de cuerpo libre. En la figura de la izquierda la base vibra de manera armónica de acuerdo a la siguiente ecuación: Estas vibraciones se transmiten a la masa m a través de resortes y amortiguadores. El desplazamiento del objeto con respecto a su posición de equilibrio se define por x Las fuerzas que actúan sobre la masa m son: Aplicando la segunda ley de Newton, se define el movimiento de la masa como sigue: donde La solución de esta ecuación es: donde

20 V. Excitación cinemática

21 VI. Vibraciones excitadas por desbalance del rotor El desbalance de rotores es la fuente más importante de vibraciones. Los elementos giratorios producen vibraciones, ruido, causan fatiga de los elementos y disminuyen el confort del trabajo. Normalmente cada rotor se balancea para disminuir las reacciones dinámicas, especialmente cuando el rotor gira a velocidades altas. Para este tipo de operaciones, se usan equipos especializados de balanceo; por ejemplo, para las ruedas de vehículos, para los rotores de los motores eléctricos o de combustión interna, y para turbinas y compresores. En la figura de la siguiente diapositiva se muestra un rotor con su base. La masa total del sistema, incluyendo la base y el rotor, es M. El rotor tiene masa m y gira con una velocidad constante y su centro de masa C está situado a una distancia e del eje de rotación. Cuando el rotor gira, genera una fuerza centrífuga Al valor me [kgm] se le llama desbalance estático del rotor. El sistema puede vibrar en dirección vertical por acción de la componente vertical de la fuerza F o.

22 VI. Vibraciones excitadas por desbalance del rotor Rotor con desbalance

23 Vibraciones excitadas por desbalance del rotor Las fuerzas que actúan sobre el sistema son: El movimiento del sistema se define con la ecuación (aplicando la segunda ley de Newton F = ma): cuya solución es: donde A es la amplitud de vibración igual a:

24 VII. Vibraciones con excitación periódica Cuando la excitación es periódica, F(t + T) = F(t), ésta se puede describir con la serie de Fourier: donde la frecuencia fundamental de excitación es: Y el valor promedio de la fuerza es: además:

25 Vibraciones con excitación periódica Se obtiene la ecuación diferencial de la masa al aplicar la segunda ley de Newton, que es lineal con excitación poliarmónica: Para la solución de esta ecuación, se aplica el principio de superposición. La solución se obtiene como la suma de las soluciones para cada componente armónica de la fuerza F(t). La componente de excitación genera la vibración: La solución general de la ecuación es:

26 Respuesta a cualquier excitación Los sistemas dinámicos pueden estar sometidos a la acción de excitaciones arbitrarias que originan una respuesta transitoria cuyas características son de vital importancia en el diseño de máquinas. La respuesta de un sistema a una excitación arbitraria se determina en términos de su estado inicial. Una excitación arbitraria es variable de acuerdo a la siguiente ecuación: La respuesta de un sistema con un grado de libertad para cualquier excitación se puede calcular con la integral de Duhamel para las condiciones iniciales x(0) = (ecuación 3.53): donde es la fuerza para cualquier instante de tiempo x(t) desplazamiento del objeto después del instante de tiempo t.

27 Casos de excitación 1.- Fuerza constante F o sin condiciones iniciales

28 De la ecuación (3.53): donde es el desplazamiento estático que ejerce la fuerza F o Las vibraciones x(t) presentan oscilaciones respecto a x st x(t) → x st cuando t → El desplazamiento máximo de la masa respecto a la posición inicial: Para el sistema sin amortiguamiento h = 0, el desplazamiento máximo es

29 Casos de excitación 2.- Fuerza constante F o con tiempo finito t o

30 Se puede usar la misma relación del caso 1 y describir la excitación como una combinación de dos excitaciones; una que empieza en el tiempo cero y otra negativa que empieza en el tiempo t o, véase la figura anterior La respuesta del sistema es: a)Para el instante de tiempo t ε (0, t o ): b) Para el instante de tiempo t ≥ t o:

31 Casos de excitación 3.- Respuesta de un solo pulso

32 En este tipo de respuesta, el tiempo de acción de la fuerza es muy corto (véase la figura anterior) y se le define como un pulso dado por la siguiente ecuación: Se toma la fuerza promedio F o = I/t o La respuesta del sistema es: El desplazamiento máximo es:

33 Casos de excitación 4.- Serie de pulsos

34 Para una serie de impulsos (figura anterior) las vibraciones se resuelven con el método de superposición: Para la respuesta de n pulsos es: donde tan(δ)=ω/h Para un sistema sin amortiguamiento, h = 0; t o = T/2 = π/ω o ; T = T o = 2π/ω o La respuesta tiende al infinito cuando n tiende a infinito y ésta es la situación de resonancia.

35 Aplicaciones de las vibraciones Las propiedades de las vibraciones se usan en métodos experimentales para estimar ciertos parámetros de los materiales. Las propiedades mecánicas de los materiales se definen con tres parámetros principales: el módulo de Young E, el módulo de rigidez G y la razón de Poisson v. Estos tres parámetros se relacionan con la siguiente ecuación: Experimentalmente, primero se miden E y G y después se calcula la razón de Poisson. Para materiales nuevos (por ejemplo materiales inteligentes o compuestos) sus propiedades se determinan experimentalmente. Los parámetros E y G se miden a través de un experimento estático, donde se estira o tuerce una probeta y simultáneamente se miden la fuerza y la deformación de la misma. Las vibraciones también se usan para medir dichos parámetros. Existen bancos experimentales para medir los módulos E y G aplicando un método dinámico.