Gerenciamiento Técnico de Proyectos Clase N ro 16 b Elementos de Estadísitica – Nociones de Probabilidad.

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1 Gerenciamiento Técnico de Proyectos Clase N ro 16 b Elementos de Estadísitica – Nociones de Probabilidad

2 Clase 16b - Nociones de probabilidad2 Probabilidad La probabilidad es una medida de la posibilidad de ocurrencia futura de un evento.  Puede asumir sólo valores entre 0 y 1  Un valor cercano a cero significa que el evento es poco posible que ocurra. Un valor cercano a uno indica que es muy probable que ocurra.  Hay tres definiciones de probabilidad: clásica, empírica y subjetiva.

3 Clase 16b - Nociones de probabilidad3 Definiciones continuación  La definición Clásica se aplica cuando hay n resultados equiprobables (que tienen la misma probabilidad de ocurrencia).  La definición Empírica se aplica cuando la cantidad de veces que el evento ocurre se divide por la cantidad total de observaciones.  La probabilidad Subjetiva se basa en cualquier información disponible.

4 Clase 16b - Nociones de probabilidad4 Definiciones continuación  Un experimento es la observación de cierta actividad o el acto de tomar alguna medida.  Una observación es el particular resultado de un experimento.  Un evento es el conjunto de resultados de un experimento.

5 Clase 16b - Nociones de probabilidad5 Eventos Mutuamente Excluyentes  Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos implica que ninguno de los otros puede suceder al mimo tiempo.  Dos o más eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia de otro

6 Clase 16b - Nociones de probabilidad6 Eventos Colectivamente Exhaustivos Dos o más eventos son colectivamente exhaustivos si al menos uno de ellos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.

7 Clase 16b - Nociones de probabilidad7 Un dado se lanza una vez.  El experimento es lanzar el dado.  Los resultados posibles son los números 1, 2, 3, 4, 5, 1 6.  Un evento es la ocurrencia de un número par. Es decir, anotaremos los resultados 2, 4, y 6. Ejemplo 1

8 Clase 16b - Nociones de probabilidad8 Ejemplo 2 Durante su carrera, la profesora Varela ha calificado con 10 a 186 de 1200 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno en su clase reciba un 10 como calificación el próximo año?  Este es un ejemplo de probabilidad empírica.  Para encontrar la probabilidad de que un alumno reciba un 10:

9 Clase 16b - Nociones de probabilidad9 Probabilidad Subjetiva Algunos ejemplos de probabilidad subjetiva son:  estimar la probabilidad de que Boca Juniors gane el torneo apertura este año.  estimar la probabilidad de que la tasa de interés para prestamos hipotecarios alcance al 8 por ciento.

10 Clase 16b - Nociones de probabilidad10 Reglas Básicas de Probabilidad Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de suma indica que la probabilidad de que ocurra A o que ocurra B es igual a la sima de sus respectivas probabilidades: P(A o B) = P(A) + P(B)

11 Clase 16b - Nociones de probabilidad11 Ejemplo 3 Una compañía de aviación ha suministrado la siguiente información sobre sus vuelos de Boston a Nueva York:

12 Clase 16b - Nociones de probabilidad12 Ejemplo 3 continuación  Si A es el evento de un vuelo llegando en forma anticipada, entonces P(A) = 100/1000 = 0,10.  Si B es el evento de un vuelo llegando tarde entonces P(B) = 75/1000 = 0,075.  La probabilidad de que un vuelo llegue tarde o en forma anticipada es: P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,10 + 0,075 =0,175.

13 Clase 16b - Nociones de probabilidad13 Regla del Complemento La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando la probabilidad de que el evento no ocurra a 1. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemeto de A, P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A).

14 Clase 16b - Nociones de probabilidad14 Regla del Complemento continuación  Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento aparece como: A ~A

15 Clase 16b - Nociones de probabilidad15 Ejemplo 4 Con los datos del ejemplo 3 y usando la regla del complemento encontrar la probabilidad de que un vuelo llegue anticipadamente (A) o tardeo (B) Si C es el evento de un vuelo llegando en horario, entonces P(C) = 800/1000 = 0,8. Si D es el evento de un vuelo cancelado, entonces P(D) = 25/1000 = 0,025.

16 Clase 16b - Nociones de probabilidad16 Ejemplo 4 continuación P(A or B) = 1 - P(C or D) = 1 - [0,8 +0,025] =0,175 C 0,8 D 0,025 ~(C o D) = (A o B) 0,175

17 Clase 16b - Nociones de probabilidad17 La Regla General de la Suma Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

18 Clase 16b - Nociones de probabilidad18 La Regla General de la Suma  El diagrama de Venn que ilustra la regla: A and B A B

19 Clase 16b - Nociones de probabilidad19 Ejemplo 5 En una muestra de 500 estudiantes, 320 dicen tener un stereo, 175 dicen tener un TV y 100 dicen tener ambos: Stereo 320 Ambos 100 TV 175

20 Clase 16b - Nociones de probabilidad20 Ejemplo 5 continuación  Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese estudiante tenga solo un stereo, sólo una TV o ambos, stereo y TV? P(S) = 320/500 = 0,64. P(T) = 175/500 = 0,35. P(S y T) = 100/500 = 0,20.

21 Clase 16b - Nociones de probabilidad21 Ejemplo 5 continuación  Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese estudiante tenga un stereo o un TV? P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = 0,64 +0,35 – 0,20 = 0,79.

22 Clase 16b - Nociones de probabilidad22 Probabilidad Conjunta La probabilidad conjunto mide la chance de que dos o más eventos ocurran simultáneamente.  Un ejemplo sería el evento en que un estudiante tenga un stereo y un TV.

23 Clase 16b - Nociones de probabilidad23 Regla Especial de la Multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que ambos eventos A and B sean independientes.  Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro.  La regla se traduce en: P(A y B) = P(A)*P(B)

24 Clase 16b - Nociones de probabilidad24 Ejemplo 6 Cristina posee dos acciones, IBM y General Electric (GE). La probabilidad de que la acción de IBM aumente su valor el próximo año es de 0,5 y la probabilidad de que la acción GE aumente su valor el próximo año es de 0,7. Asumiendo que las dos acciones se comportan en forma independiente, ¡cuál es la probabilidad de que ambas aumenten? P(IBM y GE) = (0,5)*(0,7) = 0,35.

25 Clase 16b - Nociones de probabilidad25 Ejemplo 6 continuación ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de esas acciones aumente su valor durante el próximo año? (Significa que una de ellas o ambas pueden aumentar.) P(al menos una) = = (0,5)*(0,3) + (0,5)*(0,7) +(0,7)*(0,5) = 0,85.

26 Clase 16b - Nociones de probabilidad26 Probabilidad Condicional La probabilidad condicional es la probabilidad que que un evento particular ocurra, cuando otro evento y ha ocurrido.  La probabilidad del evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A|B).

27 Clase 16b - Nociones de probabilidad27 Regla General de la Multiplicación La regla general de la multiplicación se emplea para encontrar la probabilidad conjunta de ocurrencia de dos eventos. La regla establece que para dos eventos A y B, la probabilidad de que ambos eventos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de ocurrencia del evento A por la probabilidad condicional de B dado que A ha ocurrido.

28 Clase 16b - Nociones de probabilidad28 Regla General de la Multiplicación La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A)*P(B/A) o P(A y B) = P(B)*P(A/B)

29 Clase 16b - Nociones de probabilidad29 Ejemplo 7 El rector de la escuela de negocios de la universidad del salvador ha recolectado la siguiente información sobre los alumnos no graduados de su escuela :

30 Clase 16b - Nociones de probabilidad30 Ejemplo 7 continuación Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea femenino (F) y estudie economía (A) P(A y F) = 110/1000. Si un estudiente es de sexo femenino, ¿cuál es la probabilidad de que ella estudie economía P(A|F) = P(A yF)/P(F) = [110/1000]/[400/1000] = 0,275