@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U.D. 1 * 4º ESO E. AC. NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U.D. 1 * 4º ESO E. AC. NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U.D. 1.2 * 4º ESO E. AC. NÚMEROS REALES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Números RACIONALES FRACCIONES EQUIVALENTES Son fracciones equivalentes las que representan la misma cantidad o medida. Sus expresiones decimales son idénticas. Todas las fracciones equivalentes representan un mismo número racional. Ejemplo 3 6 9 --- = ---- = ---- = … 5 10 15 Que en su expresión decimal sería 0,6 El conjunto de todos los números racionales se designa por la letra Q Todo número decimal exacto o periódico representa un número racional.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Números IRRACIONALES Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES ( I). Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… Diagonal de un cuadrado de lado la unidad. El número π = 3,1415 … Cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. El número e = 2,7182… Base de los logaritmos neperianos, de enorme importancia en el Bachillerato y estudios superiores.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 APROXIMACIONES Sea el número √3 = 1,73205 1.-Aproximaciones por defecto: 11,71,731,7321,7320 2.-Aproximaciones por exceso: 21,81,741,7331,7321 3.-Aproximaciones por redondeo: 21,71,731,7321,7321 Se elige la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5 Aproximaciones

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 APROXIMACIONES Sea el número √11 = 3,3166247 1.-Aproximaciones por defecto: 33,33,313,3163,3166 2.-Aproximaciones por exceso: 43,43,323,3173,3167 3.-Aproximaciones por redondeo: 33,33,323,3173,3166 Por regla general, salvo indicación expresa, se emplea el método de redondeo para aproximaciones, pues es el método que en lo tocante a resultados de operaciones nos da el menor error. Aproximaciones

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 A menudo nos encontramos números con una excesiva cantidad de cifras decimales que no tiene sentido conservar. Tenemos que tomar un número limitado de ellas para trabajar. Entonces redondeamos. Y el resultado son números aproximados. Hay que fijarse bien en las llamadas cifras significativas: El número 12,475 tiene cinco cifras significativas. El número 1,0490 tiene cinco cifras significativas. El número 0,0400 tiene tres cifras significativas. El número 0,0034 tiene dos cifras significativas. Por regla general debemos acostumbrarnos a trabajar con cuatro decimales, dos en muy pocos casos y uno solo casi nunca. El número π = 3,1416 ó π = 3,14 en algunas ocasiones. Ejercicio para pensar: ¿Es lo mismo la expresión 2,76 que 2,760? Aproximaciones

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 ERROR ABSOLUTO Se llama error absoluto a la diferencia entre el valor exacto y el aproximado de un número. Eo = |Vr – Va| Si el lugar de expresiones decimales trabajamos con fracciones no cometeremos ningún error. Ejemplo: En lugar de 2 / 3 trabajamos con 0,66 Eo = |Vr – Va| Eo = |2/3 – 0,66| Eo = |2/3 – 66/100| Eo = |(200 – 198)/300| Eo = |2/300| = 2 / 300 = 1 / 150 = 0,0066666 El error absoluto es, en este caso, menor que una centésima. Error absoluto

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 ERROR RELATIVO Se llama error relativo de una aproximación al cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud. Con este tipo de error medimos en cuánto nos equivocamos por cada unidad de lo que estamos contando, midiendo o calculando. Se suele expresar en porcentajes. No es lo mismo equivocarse en una diferencia de 3 al contar los alumnos de una clase que al contar las personas de una ciudad. Ejemplo 1 Al contar los 30 alumnos de una clase nos salen 27 Er = Eo / Vr = (30-27)/30 = 3 / 30 = 0,1 = 10% Ejemplo 2 Al contar los 3000 habitantes de nuestro pueblo nos salen 2997 Er = Eo / Vr = (3000-2997)/3000 = 3 / 3000 = 0,001 = 0,10% Ejemplo 3 Al contar los 30 alumnos de una clase nos salen 33 Er = Eo / Vr = |30 – 33|/30 = | – 3| / 30 = 3 / 30 = 0,1 = 10% Error relativo

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 PROBLEMA 1 Al medir la longitud de una mesa anotamos 114,50 cm. Nos dicen que hemos cometido un error del 0,25%. ¿Qué mide realmente la mesa?. Resolución Er = |Eo| / Vr 0,25% = 0,0025 0,0025 = |Vr – Va| / Vr Pero no nos dicen si el error ha sido por exceso o por defecto. Por exceso: 0,0025 = (114,50 – Vr ) / Vr  0,0025.Vr = 114,50 – Vr 1,0025.Vr = 114,50  Vr = 114,50 / 1,0025 = 114,2145 cm Por defecto: 0,0025 = (Vr – 114,50) / Vr  0,0025.Vr = Vr – 114,50 114,50 = 0,9975.Vr  Vr = 114,50 / 0,9975 = 114,7870 cm PROBLEMAS

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 PROBLEMA 2 Un calibre comete un error por exceso del 0,05%. Al medir la arista de un cubo metálico nos indica 12,57 mm. ¿Qué mide realmente la arista?. Resolución Er = |Eo| / Vr 0,05% = 0,0005 0,0005 = |Vr – Va| / Vr Como nos dice que el error es por exceso: Por exceso: 0,0005 = (12,57 – Vr ) / Vr  0,0005.Vr = 12,57 – Vr 1,0005.Vr = 12,57  Vr = 12,57 / 1,0005 = 12,5637 mm PROBLEMAS