@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 8 * 4º ESO E. AC. SEMEJANZA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 8 * 4º ESO E. AC. SEMEJANZA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 8.5 * 4º ESO E. AC. ÁREAS Y VOLÚMENES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Sean A y B dos puntos inaccesibles de un terreno de labranza, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud de 70 m. Medimos, gracias a las correspondientes visuales, los ángulos ACD, BCD, BDC y ADC, que son de 75º; 120º, 30º y 45º respectivamente. Determinar la distancia AB. Resolución_5 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo: En el triángulo ACD se halla AC En el triángulo BCD se halla BC En el triángulo ABC se halla AB Solución: 22,10 m PROBLEMAS_5 A B C D 70 m

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Resolución_5 En el triángulo ACD se halla AC Por el Teorema del Seno: AC 70 ----------- = --------------------------------- Sen 45º sen (180 – 45 – 75) AC = 70 · 0,7071 / 0,8660 = 57,16 m En el triángulo BCD se halla BC Por el Teorema del Seno: BC 70 --------------- = ----------------------------- Sen 30º sen (180 – 30 – 120) BC = 70 · 0,50 / 0,50 = 70 m Resolución_5 A B C D 70 m 75º 120º 30º 45º

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Resolución_5 En el triángulo ABC se halla AB El ángulo ACB es: ACB = 120º - 75º = 45º Por el Teorema del Coseno: AB 2 = AC 2 + BC 2 – 2·AC·BC· cos ACB AB 2 = 57,16 2 + 70 2 – 2·57,16·70· cos 45º AB 2 = 3267,27+4900 – 5658,49 AB 2 = 2508,77 AB = 50,09 m Resolución_5 A B C D 70 m 75º 120º 70 m 57,16 m

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Tenemos la maqueta de un edificio piramidal de base hexagonal, pero con la escala borrada. Hemos podido medir las distancias que se muestran en el dibujo, realizadas sobre la maqueta. Sabemos que el volumen del edificio real es de 507,44 m 3. Hallar las medidas reales del edificio. Medidas que tenemos de la maqueta: Lado base: l = 5 cm Altura pirámide: h = 12 cm Arista de la pirámide: a = 13 cm Resolución Calculo el área de la base hexagonal: A = p.ap / 2 Perímetro p = 6.l = 6.5 = 30 Apotema de la base: ap= l.√3/2 = 2,5.√3 A = 30.2,5√3/2 = 64,95 cm2 Volumen: V = Sb.h/3 = 64,95.12/3 = 259,81 cm3 PROBLEMA 6 h a l

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 … Resolución El volumen de la maqueta me ha dado: Volumen: V = 259,81 cm3 Como está a escala: Vd 259,81 cm3 259,81 cm3 ---- = k  ---------------- = ----------------------- = Vr 507,44 m3 507440000 cm3 1 k = -----------------, que es la razón de volumen, 1 953 125 Como k = r 3  r = 1 / 125 Las medidas lineales reales son 125 veces las de la maqueta: L = 5.125 = 625 cm = 6,25 m H = 12.125 = 1500 cm = 15 m Resolución_6 h a l

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 PROBLEMA_7 Si el radio de la esfera inscrita en un cubo mide 1 m, ¿cuánto mide la arista del cubo? ¿Y el radio de la esfera circunscrita a él? R a r=1 m

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Resolución_7 La arista del cubo que contiene a la esfera inscrita en él es obvio que mide lo mismo que el diámetro de la esfera: a=d=2.r = 2.1 = 2 cm La diagonal de una cara del cubo será: d 2 = 2 2 + 2 2  d = √8 = 2. √2 m Partiendo el cubo en dos: (Ver figura) Visualizando el triángulo: Un cateto = r = 1 Otro cateto = d/2 = √2 Hipotenusa = R Y hallamos R = Radio esfera circunscrita R 2 = 1 2 + (√2) 2 = 1 + 2 = 3 R = √3 m R r=1 m a=2 m d=2.√2 m

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 PROBLEMA_8 Hallar el volumen de la figura. Resolución_8 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo rectángulo: Tg 75º = h / b 3,730 = h / 6 Luego h = 6.3,7320 = 22,39 V = Sb.h V= 4.6.22,39 V= 537,415 cm3 h a=4 cm 75º b=6 cm

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 PROBLEMA_9 Hallar el área lateral y el volumen de la figura. Resolución_9 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo rectángulo: Un cateto: h Otro cateto: R – r R – r = 4 – 3 = 1 Tg 60º = h / 1 h = tg 60º = √3 g= √(1+3)= 2 cm Al= π.(R+r).g = π.(4+3).2 = 14.π cm2 V = (1/3).(SB + Sb + √(SB.Sb)).h= V= (1/3).(π.16+ π.9+ √(π.16.π.9)). √3 = V= (√3/3).(25.π+ 12.π) = V= 37.π.√3 / 3 = 67,11 cm3 h 60º D=8 cm d=6 cm g