ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA MEDIDAS DE VARIABILIDAD Psic. Gerardo A. Valderrama M.

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA MEDIDAS DE VARIABILIDAD Psic. Gerardo A. Valderrama M.

2 ¿QUÉ ES VARIABILIDAD? 1. 1. Variabilidad se refiere a qué tan alejados de la media aritmética están los datos. 2. 2. Las medidas de variabilidad cuantifican la magnitud de la dispersión de los datos con relación a la media aritmética 3. 3. Tipos de medidas de variabilidad: 3.1. LAS QUE NO CONSIDERAN LA MEDIA Amplitud Percentiles 3.2. LAS QUE CONSIDERAN A LA MEDIA La desviación media Varianza Desviación estándar

3 MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE NO PARTEN DELA MEDIA ARITMÉTICA 1. LA FLUCTUACIÓN Se trata de la diferencia entre el puntaje mayor y el puntaje menor de la muestra Se trata de la diferencia entre el puntaje mayor y el puntaje menor de la muestra Se le suma 1 para considerar la corrección por continuidad Se le suma 1 para considerar la corrección por continuidad Fórmula: Fórmula: F = Xma – Xme + 1 Fortalezas y debilidades Fortalezas y debilidades

4 LOS PERCENTILES 1. Se refiere a un puntaje que deja por debajo de si a cierto % de la distribución 2. Para su cálculo se requiere que los datos estén organizados de menor a mayor 3. Es una medida de Posición por lo cual se requiere que se encuentre el lugar 4. Fórmula: P x = Li + (%n - ∑fa) (i) P x = Li + (%n - ∑fa) (i) f i f i

5 IfFa 5-933 10-14811 15-1916 27 20-241744 25-291256 30-34763 35-39568 40-44472 45-49274 50-54276 55-59177 60-64178 P x = Li + (%n - ∑fa) (i) f i 1.¿Cuál es el valor del P 40 ? 2.Lugar(%n): (0.40) (78) = 31.2 3.Li = 19.5 4.fa = 27 5.fi = 17 6.ti = 5 P 40 = 19.5 + (31.2 – 27) (5) 17 P 40 = 19.5 + 1.24 = 20.74

6 MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE TOMAN EN CONSIDERACIÓN A LA MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE TOMAN EN CONSIDERACIÓN A LA MEDIA ARITMÉTICA

7 LA DESVIACIÓN DE LOS DATOS 1. 1. Los puntajes de desviación nos indican que tan lejos está el dato en bruto con respecto a la media de la distribución 2. 2. La desviación (d): X – X Puntaje de desviación de datos muestrales X -  Puntajes de desviación de datos poblacionales

8 LA DESVIACÍÓN MEDIA 1.DM: medida de variabilidad que parte de la media aritmética 2.Definición: promedio de desviaciones absolutas alrededor de la media aritmética 3.Fórmula para datos no agrupados: DM = ∑! X – X ! = ∑! d ! n n 4. Fórmula para datos agrupados en intervalos DM = ∑f (!pm - X!) = ∑(f!d!) n n

9 IFPm!d!f(d) 65-6926727,6455,28 70-7417222,64 75-7947717,6470,56 80-8498212,64113,76 85-898877,6461,12 90-9417922,6444,88 95-995972,3611,8 100-10481027,3658,88 105-109510712,3661,8 110-114411217,3669,44 115-119511722,36111,8 120-124212227,3654,72 ∑ = 70 ∑= 736.68 X94.64 1.Calcule la media 2.Reste cada PM de la media: l d l 3.Multiplique cada d por su frecuencia: fd 4.Sume la columna fd 5.Calcule la DM: DM = ∑ l fd l n DM = 736.68 78 DM = 9.44

10 MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE PARTEN DE LA MEDIA LA VARIANZA 1. Representación simbólica de la varianza Para datos poblacionales:  2 Para datos poblacionales:  2 Para datos muestrales : S 2 Para datos muestrales : S 2 2. Fórmulas para su cálculo:  2 = ∑(X -  ) 2 / N (datos no agrupados)  2 = ∑(X -  ) 2 / N (datos no agrupados) S 2 = ∑(X – X) 2 / n ( datos no agrupados) S 2 = ∑(X – X) 2 / n ( datos no agrupados) ∑(X –X ) 2 = Suma de cuadrados ∑(X –X ) 2 = Suma de cuadrados

11 1.  2 = ∑(X -  ) 2 / N SC / N SC = ∑(X – M) 2SC = ∑(X – M) 2 Sc = ∑X 2 – (∑X) 2 Sc = ∑X 2 – (∑X) 2 N 2.S 2 = ∑(X – X) 2 / n-1 SC /n-1 SC = ∑(X – X) 2SC = ∑(X – X) 2 Sc = ∑X 2 – (∑X) 2 Sc = ∑X 2 – (∑X) 2 n

12 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1. Para poblaciones  = √ ∑(X -  ) 2 / N  = √ ∑(X -  ) 2 / N  = √SC / N  = √SC / N 2. Para muestras S = √∑(X – X) 2 / n-1 S = √∑(X – X) 2 / n-1 S = √SC / n S = √SC / n

13 S S 2 y S para muestras organizadas en Tablas de Frecuencias 1. 1. VARIANZA : S 2 S 2 = ∑(fpm 2 ) - X 2 n 2. DESVIACIÓN ESTÀNDAR: S S2 = ∑(fpm 2 ) - X 2 n

14 S 2 y S PARA MUESTRAS SIMPLES X X – X(X – X) 2 18-6.137,21 19-5.126.01 24-0.10.01 250.900.81 283.915.21 261.936.1 283.915.21 305.934.81 22-2.14.41 21-3.19.61 179.39 X = 24.1 1.Calcule la media de los datos: 24.1 2.Determine la D: (X-X ) de cada puntaje tomando en consideración los signos 3.Eleve al cuadrado cada diferencia: (X – X) 2 4.Calcule la Suma de Cuadrados (SC) : ∑ (X – X) 2 = 179.39 5. Calcule la S 2 = 179.39 9 S 2 = 19.943 6. Calcule la S: √ 19.93 S = 4.46

15 Ifpmfpm fpm 2 65-69267134 8978 70-74172 5184 75-79477308 23716 80-84982738 60516 85-89887696 60552 90-9417921564 143888 95-99597485 47045 100-1048102816 83232 105-1095107535 57245 110-1144112448 50176 115-1195117585 68445 120-1242122244 29768 Total∑ = 70 6625 638745 1.Calcule la media muestral: 94.64 2.Multiplique cada frecuencia por el punto medio: fpm 3.Multiplique cada fpm nuevamente por el pm: fpm 2 4.Sume la columna fpm 2 : 638,745 5.Calcule la S 2 : S 2 = 638,745 - (94.64) 2 70 S 2 = 168.20 6. Calcular la S : S = √ 168.20 = 12.97

16 PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR : 1.Proporciona una medida de dispersión de los puntajes con respecto a la media aritmética 2.La desviación estándar es sensible a cada uno de los datos de la distribución 3.Igual que la media, la desviación estándar es estable con respecto a las variaciones debidas al muestreo 4.Al igual que la media aritmética, puede manipularse algebraicamente. Esto permite realizar cálculos matemáticos con ellas para utilizarlas en estadística inferencial.

17 ASIMETRÍA 1. SIMETRÍA es el grado de equilibrio que presentan las puntuaciones a ambos lados de la tendencia central μ ≈ Md ≈ Mo: la distribución tiende a ser simétrica μ ≈ Md ≈ Mo: la distribución tiende a ser simétrica 2. ASIMETRÍA es la falta de equilibrio que presentan las puntuaciones a ambos lados de la tendencia central μ ≠ Md ≠ Mo: la distribución tiende a ser asimétrica μ ≠ Md ≠ Mo: la distribución tiende a ser asimétrica 3. Los datos que provienen de las muestras son asimétricos, o sea, que sus medidas de tendencia central serán diferentes 4. Unicamente en la CURVA NORMAL existe simetría, o sea: μ = Md = Mo

18 ASIMETRÍA

19 TIPOS DE ASIMETRIA SIMÉTRICA Asimetría positiva Asimetría negativa

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21 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA 1. La asimetría se puede calcular a través del CA: coeficiente de asimetría de Pearson CA1: Media - Moda CA1: Media - Moda S CA2: 3(Media – Mediana) CA2: 3(Media – Mediana) S

22 CURTÓSIS Al igual que en la asimetría, hay diversos métodos para calcular la curtósis. A continuación presentamos uno de ellos: Al igual que en la asimetría, hay diversos métodos para calcular la curtósis. A continuación presentamos uno de ellos: K= coeficiente de curtosis percentílico, cuya fórmula es la siguiente: K= coeficiente de curtosis percentílico, cuya fórmula es la siguiente: K = Q___ Donde: K = Q___ Donde: P 90 - P 10 P 90 - P 10 K = coeficiente de curtósis percentílico K = coeficiente de curtósis percentílico Q = desviación intercuartil = Q 3 – Q 1 Q = desviación intercuartil = Q 3 – Q 1 2 2 P 90 : percentil 90 P 90 : percentil 90 P 10 : percentil 10 P 10 : percentil 10