Tema 10 DISPERSIÓN DE UN GRUPO DE DATOS. 1. Introducción 2. Amplitud total o rango 2.1. Definición y cálculo 2.2. Propiedades 3. Desviación Media 3.1.

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1 Tema 10 DISPERSIÓN DE UN GRUPO DE DATOS

2 1. Introducción 2. Amplitud total o rango 2.1. Definición y cálculo 2.2. Propiedades 3. Desviación Media 3.1. Definición 3.2. Cálculo 3.3. Propiedades 4. Varianza y desviación típica 4.1. Definición 4.2. Calculo 4.3. Propiedades 5. Amplitud semiintercuaril 5.1. Definición 5.2. Cálculo 5.3. Propiedades

3 6. Coeficiente de Variación 6.1. Definición 6.2. Cálculo 6.3. Propiedades 7. Otras medidas de variabilidad 8. Transformación de las puntuaciones

4 Amón, J. (1991). Estadística para psicólogos. Vol I. Estadística Descriptiva. Madrid: Pirámide. Botella, J.; León, O.; San Martín, R., y Barriopedro, M.I. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Teoría y Ejercicios. Madrid: Pirámide. De la Fuente, E.I. y García, J. (1998). Análisis de datos en Psicología. Ejercicios de estadística descriptiva. Granada: Urbano. Escobar, M. (1999). Análisis gráfico/exploratorio. Cuadernos de Estadística nº 2. Madrid: Muralla-Hespérides. Freixa, M., Salafranca, L., Guardia, J., Ferrer, R. y Turbany, J. (1992). Análisis Exploratorio de Datos: nuevas técnicas estadísticas. Barcelona: PPU. McRae, S. (1995). Modelos y métodos para las Ciencias del Comportamiento. Barcelona: Ariel.

5 Merino, J.M; Moreno, E; Padilla, M; Rodríguez-Miñón, P; Villarino, A. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Madrid: UNED. Palmer, A. (1995). El análisis exploratorio de datos. Madrid: Eudema Pérez, F.J., Manzano, V. y Fazeli, H. (1998). Problemas resueltos de Análisis de Datos. Madrid: Pirámide. Pérez, F.J., Manzano, V. y Fazeli, H. (1999). Análisis de Datos en Psicología. Madrid: Pirámide. San Martín, R., Espinosa, L. y Fernández, L. (1987). Psicoestadística Descriptiva. Madrid: Pirámide. Stenberg, R.J. (1993). Investigar en Psicología. Barcelona: Paidós.

6 1. INTRODUCCIÓN Las medidas de posición tratan de resumir en una sola cifra el conjunto de un colectivo. No obstante, dos conjuntos de datos pueden tener la misma media y ser muy distintos. La variabilidad o dispersión nos indica si esas puntuaciones se encuentran muy próximas entre sí o muy dispersas. Por ejemplo: 7, 9 y 11 y 1, 10 y 16 tienen la misma media 9 pero la variabilidad del segundo grupo de puntuaciones es mayor que la del primero.

7 Ejemplo: Conjunto 1: 4, 5, 6, 7, 8, 9 10; Media = 7 Conjunto 2: 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12; Media = 7 Los datos anteriores son además simétricos. El ejemplo pone de manifiesto la necesidad de complementar la media, que es una medida de posición, con otro valor numérico que exprese la dispersión de los datos a su alrededor. Existen varias medidas que expresan la variación de los datos en torno al valor central

8 2. AMPLITUD TOTAL O RANGO 2.1. DEFINICIÓN Y CALCULO Se define como la diferencia entre la puntuación máxima y la mínima y está en la misma métrica que la variable: A t =X max - X min +1. Para el conjunto 1: 10-4 = 6; para el conjunto 2: 12-2 = 10 Si tenemos en cuenta datos agrupado en intervalos es la diferencia entre la puntuación máxima y la mínima mas una unidad.

9 1.2. PROPIEDADES 1.Es muy fácilmente calculable 2.Presenta el inconveniente de tener en cuenta sólo las puntuaciones extremas, con lo cual es muy sensible a éstas. Si estas se mantienen constantes se mantendrá constante aunque el resto de puntuaciones varíen.

10 3. DESVIACIÓN MEDIA 3.1. DEFINICIÓN Una forma intuitiva de definir la dispersión respecto de la media sería obteniendo las desviaciones o diferencias de todas y cada una de las puntuaciones y promediarlas, pero ese promedio vale siempre 0, esta opción no sirve. Dos soluciones: tomar las desviaciones en valor absoluto o elevarlas al cuadrado. La primera solución se toma en la Desviación media, la segunda en la varianza. Definimos la desviación media, como la media en valor absoluto de n puntuaciones respecto de su media aritmética

11 3.2. CALCULO a) Datos no agrupados Aplicamos directamente la formula b) Datos agrupados

12 Tiemponini XiXi niXiniXi |X i -X|n i |X i -X| 1-15 16-30 31-45 442442 8 23 38 32 92 76 12 3 18 48 12 36 1020096 X=200/10=20 DM=96/100=9.6

13 3.3. PROPIEDADES 1. Es fácilmente calculable e inteligible 2. Se usa raramente debido a que los valores absolutos son muy poco manejables matemáticamente 3. No tiene buenas propiedades estadísticas y no es base de otros cálculos

14 4. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA 4.1. DEFINICIÓN Una solución alternativa es elevar las desviaciones al cuadrado y promediarlas, es decir, obtener la media de las desviaciones al cuadrado. Esta solución se denomina Varianza de la distribución. Está en una métrica diferente, la métrica de la variable elevada al cuadrado Para volver a la misma métrica, se extrae la raíz cuadrada de la varianza, estadístico conocido como Desviación típica La varianza presenta propiedades óptimas, muy útiles en el desarrollo de otros conceptos estadísticos Definimos la varianza como la media de las diferencias al cuadrado de n puntuaciones respecto de su media aritmética

15 Definimos desviación típica como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

16 4.2. Cálculo Datos no agrupados Aplicación directa de la formula anterior a los datos Desarrollando esta fórmula podemos llegar a otra fórmula de cálculo más cómodo

17

18 b) Datos agrupados

19 nini XiXi xi2xi2 niXiniXi niXi2niXi2 (X i -X)(X i -X) 2 n i (X i -X) 2 10-29 30-49 50-69 70-89 38 18 31 20 19,5 39,5 59,5 79,5 380,25 1560,25 3540,25 6320,25 741,00 711,00 1844,50 1590,00 14449,50 28084,50 109747,75 126405,00 -26,16 -6,16 13,82 33,83 684,76 38,04 191,32 1140,60 26021,03 684,79 5931,04 22892,08 1074886,50278686,7555528,94

20 4.3. PROPIEDADES 1. La varianza y la desviación típica son fundamento de muchas técnicas psicológicas de gran importancia en Psicología 2. Son sensibles a la variación de cada una de las puntuaciones. Baste con que varíe una de éstas para que varíen. Es debido a que dependen de todas y cada una de las puntuaciones y de la media 3. Son función de los intervalos elegidos (de su amplitud, de su número y de los límites de éstos) 4. La desviación típica viene expresada en las mismas unidades que los datos, no ocurre lo mismo con la varianza que estaría al cuadrado. Por ejemplo si los datos vienen dados en metros, la desviación típica vendrá dada en metros, pero la varianza vendrá en metros cuadrados.

21 5. No serán calculables ni recomendables cuando no sea calculable o recomendable la media como medida de tendencia central. Y será recomendable su uso cuando lo sea la media (se suele considerar como medida de dispersión en datos donde la media se considera oportuna como medida de tendencia central) 6. Ambas como medida de variación serán siempre valores positivos (S 2 ≥0 y S≥0) 7. En las transformaciones lineales, la varianza se ve afectada solamente por el cambio de escala (constante multiplicativa), pero no por el cambio de origen (constante aditiva) Esto es, si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, su varianza no se altera Pero si multiplicamos pero si multiplicamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la varianza quedará multiplicada por el cuadrado de la constante y la desviación típica por el valor absoluto de esa constante

22 8. La varianza total de un grupo de puntuaciones, cuando se conocen los tamaños (n i ), las medias (X i ) y las varianzas (S X 2 ) de varios subgrupos hechos a partir del grupo total mutuamente exclusivos y exhaustivos, puede obtenerse sumando la media de las varianzas y la varianza de las medias. Es decir:

23 5. AMPLITUD SEMIINTERCUARIL Y AMPLITUD INTERCUARTIL 5.1. DEFINICIÓN Semidistancia entre el tercer cuartil y el primer cuartil, es decir, entre el percentil 75 y el percentil 25 También se puede hablar de amplitud intercuartilica. Definido como la distancia entre el tercer cuartil y el primer cuartil A Q = Q 3 – Q 1 Del mismo modo se puede hablar de amplitudes inter o semi inter, decílicas y percentílicas

24 6.2. CÁLCULO Amplitud semiirtecuartilica: basta con calcular los percentiles 75 y 25 y calcular la semidistancia entre ambos Amplitud intercuartílica: calcular los percentiles 75 y 25 y calcular la distancia entre ambos Se podrían calcular amplitudes inter decilicas e interpercentílicas y amplitudes semi inter decílicas y semi inter percentíliucas

25 5.3. PROPIEDADES 1. Es preferible a la varianza y desviación típica como medida de dispersión en caso de distribuciones muy asimétricas (recordemos que este caso era preferible la mediana a la media) 2. Podemos calcularlo en caso de que el intervalo máximo carezca de límite superior y el intervalo mínimo de límite inferior, siempre que el primer y el tercer cuartil no se encuentren dentro de esos intervalos (igual que la mediana). 3. Definida como la distancia entre dos puntos solo es calculable a nivel de intervalos y de razón, pero no a nivel meramente ordinal 4. Es menos sensible que la desviación media y que la varianza y desviación típica a la variación de los datos 5. Se suele considerar como medida de dispersión en datos donde la mediana se considera oportuna como medida de tendencia central

26 6. COEFICIENTE DE VARIACIÓN 6.1. DEFINICIÓN Consideremos dos variables distintas, por ejemplo el peso, medido en unidades de gramos y la altura, medida en centímetros. Ambas varianzas y desviaciones típicas no son comparables. Para hacer comparables ambas variabilidades con variables de distintas naturaleza es necesario que vengan expresadas en números abstractos. Una medida será tomar S x /X, este cociente es un número abstracto. Indica el número de veces que el numerador contiene al denominador, independientemente de lo que ambos signifiquen.

27 El Coeficiente de Variación es el resultado de dividir la desviación típica entre la media. Habitualmente este cociente viene multiplicado por 100 6.2. CÁLCULO En cualquier caso es la mera aplicación de la formula anterior Ejemplo: Supongamos una variable que tiene de media 2 y de desviación típica 1 Su CV=(1/2)·100=0.5·100=50

28 6.3. PROPIEDADES 1. Constituye una medida adimensional y abstracta, como cociente de dos números concretos. Por lo tanto permite comparar variabilidad de conjuntos de datos medidos en diferentes unidades o puntuaciones de sujetos en la misma variable medida en distintos grupos 2. Para su cálculo es preciso que la media sea diferente de 0. 3. No se ve afectada por los cambios de escala (multiplicación por una constante), pero sí de origen (suma de una constante) 4. Esto es, si a unas puntuaciones dadas les sumamos una cantidad el CV cambiará y si multiplicamos las puntaciones por una cantidad el CV se mantendrá constante

29 7. OTRAS MEDIDAS DE VARIABILIDAD A. MEDIANA DE LAS DESVIACIONES ABSOLUTAS (MEDA). Constituye la mediana de las desviaciones absolutas con respecto a la mediana. La MEDA tiene la misma relación con la Mediana que la desviación media con la Media. Valores grandes de MEDA corresponden a observaciones dispersas y valores pequeños a observaciones concentradas alrededor de la mediana Para su cálculo: 1. Calcular la Mediana del conjunto de observaciones 2. Calcular la desviación o diferencia de cada observación respecto de la mediana y tomarla en valor absoluto 3.Ordenar de menor a mayor las desviaciones absolutas de la mediana 4. Obtener la mediana de las desviaciones absolutas

30 B. COEFICIENTE DE VARIACIÓN CUARTILICO Al igual que el Coeficiente de Variación, permite comparar variabilidades. Se podrá utilizar como CV adimensional cuando se haya considerado la Mediana apropiada como índice de tendencia central

31 NOTA: Tengamos presente que todo índice de variabilidad es esencialmente positivo. Las puntuaciones de una variable pueden ser positivas o negativas, pero su variabilidad o dispersión será siempre positiva (no son todas las puntuaciones iguales entre si, hay alguna variabilidad) o nula (todas las puntuaciones son iguales, no hay variabilidad), pero es inconcebible una variabilidad negativa

32 8. TRANSFORMACIÓN DE LAS PUNTUACIONES Frecuentemente interesa comparar puntuaciones obtenidas en diferentes variables, pero dada la diferente métrica, esta comparación puede llevar a conclusiones engañosas Una posibilidad son las puntuaciones diferencia o distancias respecto de la media: x i = X i – Media o lo que se denomina puntuación diferencial (x i ) Son mas informativa que las directas, pues nos indica si la puntuación es superior o inferior a la media o si coincide con ella Sin embargo, esta solución no tiene en cuenta la dispersión de los datos y además no permite comparar puntuaciones de sujetos pertenecientes a distintos grupos o a distintas variables

33 Una solución consiste en no medir las distancias a la media en términos absolutos, sino con relación a la variabilidad del grupo de referencia, indicando la cuantía de la diferencia en términos de las distancias generales observadas en las puntuaciones. Estas distancias están representadas en la desviación típica y se usa ésta como unidad de medida. Así obtenemos las puntuaciones típicas o estandarizadas (z i ): La puntuación típica de una observación indica el número de desviaciones típicas que esa observación se separa del grupo de observaciones

34 Ejemplo: Supongamos un grupo de datos donde la media sea 38 y su desviación típica 10 Para un sujeto que tenga una puntuación 48 Puntuación directa (x i )=48 Puntuación diferencial (x i )= 48-38=10 Puntuación típica (z i )=(48-38)/10=1 (quiere decir que el sujeto se separa de su media de grupo una desviación típica)

35 PROPIEDADES 1. Las puntuaciones así obtenidas son adimensionales, por lo que permiten comparar observaciones de diferentes grupos, variables medidas de distintas formas o variables diferentes, ya que siempre tienen el mismo significado. 2. El proceso de convertir puntuaciones a típicas se denomina tipificación 3. Decimos que dos puntuaciones son equivalentes cuando tienen la misma puntuación típica 4. Pueden ser positivas (indicando que la observación es superior a la media de su grupo) o negativas (indicando que es inferior)

36 5. La media de las puntuaciones típicas es cero, mientras que su varianza y su desviación típica son iguales a uno 6. Si transformamos linealmente las puntuaciones típicas, multiplicándolas por una constante a y sumando una constante b, entonces las puntuaciones transformadas tendrán como media la constante sumada, b, como desviación típica el valor absoluto de la constante multiplicada |a|, y como varianza el cuadrado de esa constante a 2