PRINCIPIOS DE ESTADÍSTICAS INFERENCIALES PRUEBA DE HIPÓTESIS: MUESTRAS PEQUEÑAS.

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1 PRINCIPIOS DE ESTADÍSTICAS INFERENCIALES PRUEBA DE HIPÓTESIS: MUESTRAS PEQUEÑAS

2 MUESTRAS PEQUEÑAS Aquellas cuyos tamaño son ≤ 30 Aquellas cuyos tamaño son ≤ 30 El estad í stico Z no es el estad í stico de prueba adecuado para comparar dos o más medias El estad í stico Z no es el estad í stico de prueba adecuado para comparar dos o más medias Los estad í sticos de prueba adecuados son: Los estad í sticos de prueba adecuados son:  La “ t ” de Student: para dos medias  La “ F ” de Fisher: para tres o más medias

3 LA DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT La población de interés es normal o casi normal La población de interés es normal o casi normal Es una distribución continua Es una distribución continua Tiene forma de campana y es simétrica Tiene forma de campana y es simétrica Se trata de una familia de distribuciones Se trata de una familia de distribuciones Todas tienen media igual cero Todas tienen media igual cero Sus “s” difieren de acuerdo con n Sus “s” difieren de acuerdo con n Para cada tamaño n hay una distribución t Para cada tamaño n hay una distribución t t es más extendida y menos aguda en el centro que la normal t es más extendida y menos aguda en el centro que la normal A medida que aumenta n, la curva de t se aproxima a la de la curva normal A medida que aumenta n, la curva de t se aproxima a la de la curva normal

4 La Distribución “t” de Student Es una distribución continua Tiene forma de campana y es simétrica

5 Comparación de la Normal y la “t” de student “t” es más extendida y menos aguda que la normal Los valores críticos de “t” para un α determinado, son mayores en magnitud que para la Z

6 “t” de student es una familia de de distribuciones Hay una distribución “t” para cada tamaño de muestra (n)

7 OTRAS PROPIEDADES DE “t” 1. El intervalo de confianza es más amplio que para muestras grandes 2. La región de aceptación es más amplia que para muestras grandes 3. Será necesario un mayor valor “t” calculado para rechazar Ho que para muestras grandes

8 LOS GRADOS DE LIBERTAD Los grados de libertad (gl) para cualquier estadístico es el número de datos que pueden variar libremente al calcular dicho estadístico Los grados de libertad (gl) para cualquier estadístico es el número de datos que pueden variar libremente al calcular dicho estadístico Al calcular “t” se requiere calcular previamente “s” Al calcular “t” se requiere calcular previamente “s” Al calcular “s”, la ∑ de las diferencias alrededor de la media es igual a 0 Al calcular “s”, la ∑ de las diferencias alrededor de la media es igual a 0

9 EJEMPLO Sean X = 4, 8 y 12 Sean X = 4, 8 y 12 Media = 8 Media = 8 X X – media X X – media 44 – 8 = -4 88 – 8 = 0 1212- 8 = ? (+4) Sólo pueden variar libremente n -1 datos: 3 – 1 = 2 Sólo pueden variar libremente n -1 datos: 3 – 1 = 2 gl = n - 1 gl = n - 1

10 PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON “t” de STUDENT Prueba para la media poblacional Prueba para la media poblacional Prueba para dos medias poblacionales Prueba para dos medias poblacionales  El caso de dos muestras independientes  El caso de dos muestras correlacionadas Prueba para la significatividad del coeficiente de correlaci ó n Prueba para la significatividad del coeficiente de correlaci ó n

11 PRUEBA “t” PARA LA MEDIA POBLACIONAL 1. Se trata de evaluar si la media de una población ha sufrido algún cambio. Se debe obtener el valor de ésta media. 2. En estos casos, se selecciona una muestra de la población y se calcula la media y la “S” de la muestra. 3. La prueba de hipótesis consiste en comparar la media muestral con la media poblacional y determinar si la diferencia es estadísticamente significativa

12 4.Esta prueba de hipótesis se desarrolla con n – 1 grados de libertad 5.El estadístico de prueba es: to = X – Mo S / √ n-1 6. La to se compara con la t crítica, la cual se obtiene de la Tabla atendiendo a los grados de libertad, el nivel de significación y la(s) cola(s) de la H1.

13 PRUEBA “t” PARA DOS MEDIAS INDEPENDIENTES 1. Se trata de una aplicación de la t de student,para los casos en que se comparan las medias de dos muestras seleccionadas aleatoriamente de sus correspondientes poblaciones. 2. La prueba compara ambas medias y permite determinar si la diferencia observada entre las mismas es o no estadísticamente significativa

14 3. La prueba funciona con n 1 + n 2 – 2 grados de libertad. 4. El estadístico de prueba es: to = ___ X 1 – X 2 _________ √ [ SC 1 +SC 2 ] [ 1/n 1 + 1/n 2 ] n1 + n2 – 2 5. Las SC se determina¨: SC: ∑x 2 - (∑x) 2 / n 6. El valor to se compara con el valor t crítico de la Tabla, de acuerdo a los grados de libertad, alfa y cola(s) de la prueba.

15 PRUEBA “t” PARA DOS MUESTRAS CORRELACIONADAS 1. Se trata de una aplicación de la t de student, para los casos en que se comparan las medias de dos muestras que no son independientes 2. Es el caso de las comparaciones antes-después o una muestra comparada dos veces. En realidad no hay dos muestras sino una con dos mediciones; ambas mediciones provienen de los mismos sujetos. 3. La prueba compara ambas medias y permite determinar si la diferencia observada entre las mismas es o no estadísticamente significativa

16 4. El estadístico correspondiente es: to = D___ √ SCD/ n(n-1) Donde: 1. D = ∑D / n 2. SCD : ∑D 2 - (∑D) 2 /n 3. Se aplica con n – 1 gl

17 PROBLEMAS A fin de motivar a los ciudadanos a ahorrar gasolina, el gobierno estudia la idea de emprender una campaña nacional a favor del ahorro. Realiza un experimento en una pequeña localidad, selecciona 12 familias y mide la cantidad de gasolina que consumieron el mes antes de la campaña y durante el mes siguiente de la campaña. Los resultados son los siguientes: A fin de motivar a los ciudadanos a ahorrar gasolina, el gobierno estudia la idea de emprender una campaña nacional a favor del ahorro. Realiza un experimento en una pequeña localidad, selecciona 12 familias y mide la cantidad de gasolina que consumieron el mes antes de la campaña y durante el mes siguiente de la campaña. Los resultados son los siguientes:

18 FamiliaANTESDESPUES 15548 24338 35153 46258 53536 64842 75855 84540 94849 105450 115658 123225 Con alfa de 0,05, determine si la campaña surtió el efecto esperado

19 PRUEBA “t” PARA UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN 1. Las correlaciones son del tipo: Ho : r = 0 H1 : r > 0 r < 0 r < 0 r ≠ 0 r ≠ 0 2. El valor de to se calcula trav é s de: to = r xy √ 1-r 2 / n - 2 3. El valor to se compara con el valor t crítico de la Tabla, con n – 2 g.l.

20 PROBLEMAS 1. Suponga que se determinó el valor r=0.73 entre dos variables, con una muestra de 12 sujetos. Con alfa de 0.05, determine si la correlación es significativa. 2. Un coeficiente de correlación basado en una muestra de tamaño 18 resultó ser de 0.32. ¿Se puede deducir al nivel de significación de 0.05 y 0.01, que el coeficiente poblacional difiere de cero?