XVII CONIC 2009 Congreso Nacional de Ingeniería Civil Capítulo de Ingeniería Civil Consejo Departamental De Lambayeque Colegio de Ingenieros del Perú.

Presentación del tema: "XVII CONIC 2009 Congreso Nacional de Ingeniería Civil Capítulo de Ingeniería Civil Consejo Departamental De Lambayeque Colegio de Ingenieros del Perú."— Transcripción de la presentación:

1

2 XVII CONIC 2009 Congreso Nacional de Ingeniería Civil Capítulo de Ingeniería Civil Consejo Departamental De Lambayeque Colegio de Ingenieros del Perú Capítulo de Ingeniería Civil Consejo Departamental De Lambayeque Colegio de Ingenieros del Perú LA IMPORTANCIA DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Manuel E. García-Naranjo B. Septiembre 2011

3 INTRODUCCIÓN En la determinación de valores extremos (caudales máximos o mínimos, niveles máximos o mínimos, etc.) necesarios para el análisis y solución de muchos problemas relacionados con la ingeniería hidráulica, resulta común emplear las distribuciones probabílisticas más usuales para el estudio de problemas hidrológicos. Así, a partir de un registro histórico de valores extremos, se infiere aquellos valores máximos o mínimos asociados a un cierto período de retorno de diseño.

4 INTRODUCCIÓN Es relativamente común apreciar estudios en los cuales, a partir de una data histórica de valores extremos, se haya hecho uso de distribuciones tales como: Gumbel, Normal o Log Pearson tipo III, para estimar los valores extremos asociados a un periodo de retorno seleccionado. En menor medida se observará el empleo de distribuciones tales como: log normal de 2 parámetros, log normal de 3 parámetros o la distribución gamma de 2 ó de 3 parámetros.

5 INTRODUCCIÓN En este sentido cabría preguntarse: ¿qué ha llevado al especialista a seleccionar una determinada distribución probabilística para el análisis efectuado? ¿se ha verificado que la distribución escogida sea la que efectivamente mejor se ajusta o representa a la serie histórica de datos? ¿cuál de las distribuciones disponibles debió haberse empleado en verdad en la estimación requerida de valores extremos? Estas preguntas nos conducen a la necesidad de revisar los temas relacionados con las pruebas de bondad de ajuste.

6 DEFINICIONES Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos disponibles se ajustan a una determinada distribución. Se entiende por bondad de ajuste a la asimilación de los datos observados de una variable a una función matemática previamente establecida y reconocida. A través de ésta es posible entonces predecir el comportamiento de la variable en estudio (Pizarro, 1986)

7 DEFINICIONES Entre las pruebas de bondad de ajuste más conocidas, cabe mencionar las siguientes: Prueba de Chi Cuadrado Prueba de Kolmogorov Smirnov Prueba de Anderson Darling

8 PRUEBA DE CHI CUADRADO La prueba de Chi Cuadrado se basa en la comparación entre la frecuencia observada en un intervalo de clase y la frecuencia esperada en dicho intervalo, calculada de acuerdo con la distribución teórica considerada. Es decir, se trata de determinar si las frecuencias observadas en la muestra están lo suficientemente cerca de las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula formulada. Para aplicar esta prueba se debe agrupar las observaciones de la muestra en intervalos de clase, preferiblemente del mismo tamaño.

9 PRUEBA DE CHI CUADRADO Valor del estadístico Chi-cuadrado calculado El estadístico de prueba,  2 C queda definido por la expresión: donde: O i : frecuencia observada en el intervalo i, de acuerdo a la muestra considerada E i : frecuencia esperada en el intervalo i, de acuerdo a la distribución seleccionada k: número de intervalos de clase en que se han agrupado las observaciones

10 PRUEBA DE CHI CUADRADO Valor tabular de Chi-cuadrado El valor tabular del estadístico Chi-cuadrado,  2 t, se determina a partir del cuadro siguiente, en función de los grados de libertad y del nivel de significación elegido, esto es, la probabilidad de exceder el valor extremo.

11 PRUEBA DE CHI CUADRADO

12 Los grados de libertad se determinan con la expresión: g.l. = k – 1 – p grados de libertad, donde k es el número de intervalos de clase y p es el número de parámetros que definen completamente a la distribución seleccionada. El nivel de significación, , usualmente es 5% o 1%

13 PRUEBA DE CHI CUADRADO Los grados de libertad se determinan con la expresión: g.l. = k – 1 – p grados de libertad, donde k es el número de intervalos de clase y p es el número de parámetros que definen completamente a la distribución seleccionada. El nivel de significación, , usualmente es 5% o 1%

14 PRUEBA DE CHI CUADRADO Criterio de Decisión El criterio de decisión se fundamenta en la comparación del valor calculado de Chi-cuadrado con el valor tabular encontrado, esto es: Si el estadístico Chi-cuadrado calculado es menor o igual que el valor tabular, es decir:  2 C   2 t entonces, se acepta la hipótesis nula, que establece que los valores observados se ajustan a la distribución considerada, al nivel de significación seleccionado (usualmente  = 5% o 1%)

15 PRUEBA DE CHI CUADRADO Si el estadístico Chi-cuadrado calculado es mayor que el valor tabular, es decir:  2 C >  2 t entonces, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, que establece que los valores observados no se ajustan a la distribución considerada, al nivel de significación seleccionado (usualmente  = 5% o 1%); siendo necesario probar con otra distribución teórica.

16 PRUEBA DE CHI CUADRADO Comentarios Algunas consideraciones que hay que tener en cuenta con respecto a la aplicación de esta prueba son las siguientes: El análisis debe efectuarse con datos agrupados en intervalos de clase. El número de intervalos de clase debe ser por lo menos 5. Se recomienda también que, para facilidad de los cálculos, el número de intervalos de clase no sea mayor a 20. El número de observaciones esperado (frecuencia observada) en cada intervalo de clase debe ser por lo menos 5. Si esta condición no se cumple, es necesario agrupar en uno los resultados de varios intervalos de clase.

17 PRUEBA DE CHI CUADRADO Al efectuar los cálculos de las frecuencias esperadas, debe considerarse los intervalos extremos como casos especiales. Así: En el primer intervalo, que incluye aquellos valores observados entre x 0 y x 1, la probabilidad a considerar debe ser la correspondiente a que la variable aleatoria sea menor o igual que x 1 (no solo comprendida entre x 0 y x 1 ) En el último intervalo, que incluye aquellos valores observados entre x k-1 y x k, la probabilidad a considerar debe ser la correspondiente a que la variable aleatoria sea mayor que x k-1 (no solo comprendida entre x k-1 y x k )

18 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE CHI CUADRADO Operativamente, para aplicar en un caso práctico la prueba de chi-cuadrado debe seguirse el siguiente procedimiento: Determinar el Número de Intervalos de Clase El número de intervalos de clase se calcula con la fórmula propuesta por Yevjevich: NC = 1 + 1.33 ln(N) donde: NC - número de intervalos de clase N - número de datos

19 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE CHI CUADRADO Calcular la Amplitud de cada Intervalo La amplitud de cada intervalo se determina con la ecuación: El límite inferior del primer intervalo de clase se determina con la relación: Límite inferior = Xmin -  X/2

20 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE CHI CUADRADO Calcular los Intervalos de Clase, Marcas de Clase, Frecuencias Absoluta y Relativa Observadas y Frecuencia Acumulada La frecuencia absoluta observada corresponde al número de valores comprendido en el intervalo de clase. La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al total de datos, N. La frecuencia relativa se obtiene de dividir la frecuencia absoluta entre el número de datos, N La frecuencia acumulada resulta de acumular los valores correspondientes a la frecuencia relativa. La frecuencia acumulada en el último intervalo de clase debe dar 1.

21 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE CHI CUADRADO Calcular la Media y Desviación Estándar para los Datos Agrupados La media y la desviación estándar de los datos agrupados se determina mediante las siguientes relaciones:

22 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE CHI CUADRADO donde: f i – frecuencia absoluta x i – marca de clase k – número de intervalos de clase N – número total de datos Adoptar alguna distribución probabilística y determinar la frecuencia esperada para cada intervalo de clase

23 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE CHI CUADRADO Calcular los estadísticos Chi Cuadrado y aplicar el criterio de decisión El estadístico de prueba,  2 C se calcula con la expresión: El estadístico tabular  2 t se determina en la tabla de Chi Cuadrado en función de los grados de libertad y del nivel de significancia seleccionado Finalmente, si  2 C   2 t se acepta la hipótesis nula que afirma que la serie de datos se ajusta a la distribución seleccionada Si  2 C   2 t se rechaza la hipótesis nula y se afirma que la serie de datos no se ajusta a la distribución seleccionada

24 CASO PRACTICO DE CHI CUADRADO

25

26

27

28 PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV Este procedimiento es un test no paramétrico que permite establecer si dos muestras se ajustan al mismo modelo probabilístico (Varas y Bois, 1998). Es un test válido para distribuciones continuas y sirve tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas (Pizarro et al, 1986). Así mismo, Pizarro (1988), hace referencia a que, como parte de la aplicación de este test, es necesario determinar la frecuencia observada acumulada y la frecuencia teórica acumulada; una vez determinadas ambas frecuencias, se obtiene el máximo de las diferencias entre ambas.

29 PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV El estadístico Kolmogorov-Smirnov, D, considera la desviación de la función de distribución de probabilidades de la muestra P(x) de la función de probabilidades teórica, escogida Po(x) tal que: Dn = max  P(x) – Po(x)  La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior sea menor que el valor tabulado Dα para un nivel de significancia (o nivel de probabilidad) requerido. El valor crítico D  de la prueba se obtiene de la tabla mostrada, en función del nivel de significancia  y el tamaño de la muestra n.

30 PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV Tabla de valores de D  en función del nivel de significancia y del tamaño de la muestra

31 PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV El procedimiento a seguir en la aplicación práctica de la prueba de Kolmogorov-Smirnov es el siguiente: Determinar la frecuencia observada acumulada y la frecuencia téorica acumulada, Po(x) y P(x). En cada caso, calcular: Dn = max  P(x) – Po(x)  Así, Dn es la máxima diferencia entre la función de distribución acumulada de la muestra y la función de distribución acumulada teórica escogida Fijar un nivel de probabilidad o de significancia . Los valores de 0.05 y 0.01 son los más usuales.

32 PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV Determinar el valor crítico D  en la tabla correspondiente. Aplica el criterio de decisión: Si el valor calculado Dn es menor que el D , se acepta la hipótesis nula (Ho) que establece que la serie de datos se ajusta a la distribución teórica escogida. Si el valor calculado Dn es mayor que el D , se rechaza la hipótesis nula (Ho) y se acepta la hipótesis alternativa (Ha) que establece que la serie de datos no se ajusta a la distribución teórica escogida.

33 EJEMPLO PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV

34

35 PRUEBA DE ANDERSON-DARLING Esta prueba no paramétrica es una modificación del test de Kolmogorov- Smirnov, donde se le da más peso a las colas de la distribución que la prueba de K-S. Fórmula:A 2 = − N− S El estadístico para la prueba de Anderson-Darling es:

36 PRUEBA DE ANDERSON-DARLING donde: n - es el número de datos F(x) - es la función e distribución de probabilidad teórica F n (x) - es la función de distribución empírica Para definir la regla de rechazo para esta prueba es necesario obtener el estadístico ajustado para luego compararlo con los valores críticos de la tabla de Anderson- Darling. La tabla siguiente muestra los valores críticos para distintas distribuciones con parámetros conocidos.

37 PRUEBA DE ANDERSON-DARLING

38 Una vez obtenido el estadístico ajustado, la regla de rechazo se realiza de manera análoga a la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Si A n 2 es mayor o igual que a o, se acepta la hipótesis nula; siendo a o el valor asociado al estadístico de prueba A n 2

39 BREVES CONCLUSIONES ¿En que casos es recomendable cada estadístico? Chi-Cuadrado: es recomendable para distribuciones discretas o continuas cuando existe gran cantidad de datos. Se recomienda trabajar con datos agrupados. Kolmogorov-Smirnov (K-S): es recomendable para distribuciones continuas y muestras de cualquier tamaño. No requiere hacer uso de datos agrupados. Anderson-Darling: es recomendable para distribuciones con colas pronunciadas. No requiere hacer uso de datos agrupados.