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FIUBA 20081 MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 3.

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1 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 3

2 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Señal: Cualquier función del tiempo f(t) que lleva información. Sistema: Equipo que convierte una señal de entrada f(t) en una señal de salida g(t). Las señales de entrada y salida pueden ser múltiples, en cuyo caso se repre- sentan por un vector de funciones: Sistema lineal: Es aquél en que vale la superposición de efectos:

3 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Autovalores y autofunciones: Sea una función estímulo que depende del tiempo y de un cierto parámetro : f (t). Decimos que esta función estímulo es una autofunción de un cierto operador lineal £ si: donde H( ) es un valor complejo dependiente de pero independiente de t, llamado autovalor asociado con la autofunción. Como el autovalor es en general una constante compleja, se puede escribir en forma polar: donde A( ) es la amplitud y ( ) es la fase del complejo H( ). Entonces: y se observa que la aplicación de un operador lineal a una autofunción tiene como resultado una versión escalada y eventualmente desfasada de esta misma autofunción.

4 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de señales por superposición: En sistemas lineales podemos expresar el estímulo como una suma o superpo- sición de funciones: Entonces, por la linealidad del operador £, la respuesta será: Y se ve que: La linealidad permite representar una función estímulo mediante una suma o superposición lineal de otras funciones elementales, calcular la respues- ta para cada estímulo elemental y luego sumar los resultados para obte- ner la respuesta del sistema al estímulo original.

5 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de funciones del tiempo mediante conjuntos completos de funciones ortogonales: Retomamos la representación de una función del tiempo como una superposi- ción de funciones: Suponemos que esta representación es válida dentro de un dado intervalo T. En general, todas las cantidades del desarrollo serán cantidades complejas. Definimos el llamado producto interno de dos funciones: donde el asterisco indica el complejo conjugado de la función. Un caso particular es la norma de una función Decimos que dos funciones h n (t) y h m (t) son ortogonales en T si: Si además la norma vale 1, se dice que las funciones son ortonormales.

6 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de funciones del tiempo mediante conjuntos completos de funciones ortogonales (cont.): Si la representación de la función del tiempo es una superposición de funcio- nes ortogonales: podemos diseñar un método de cálculo de los coeficientes k. Multiplicamos el desarrollo por e integramos sobre el intervalo de definición T : de donde: Definimos el error cuadrático medio de la representación en T : Si el conjunto de funciones {hn(t)} es completo, entonces el error cuadrático medio tiende a cero para todo punto dentro de T para cualquier función f(t) a representar.

7 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Delta de Dirac y Representación Delta: La Delta de Dirac en el tiempo se define como: donde T es un intervalo de tiempo. Entonces podemos escribir (t T) : Esta ecuación representa la función como una superposición de sus valores muestreados en los sucesivos puntos del recinto de integración. Aunque esta representación - la representación delta - parece trivial, vemos a continuación que su aplicación a sistemas lineales nos da un poderoso meca- nismo de estudio.

8 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Delta de Dirac y Representación Delta (cont.): Sea un sistema lineal: Entonces, usando la representación Delta para f(t) : Obsérvese que el operador £ actúa sobre el tiempo no primado. Definimos la respuesta impulsiva del sistema como: y entonces podemos escribir: Las integrales de las representaciones delta, llamadas integrales de super- posición, definen completamente la respuesta del sistema en base a su res- puesta impulsiva en todos los puntos del intervalo de representación. La respuesta impulsiva de un sistema se conoce en la literatura física como la función de Green del problema.

9 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Sistemas lineales invariantes: Decimos que un sistema lineal es invariante en el tiempo, si su respuesta al impulso en un instante t para un impulso excitador aplicado en el instante sólo depende del intervalo [t - ]. Esto significa que distintos intervalos de tiempo llevan al mismo comporta- miento siempre que los intervalos entre estímulo y respuesta sean de igual magnitud. El sistema no cambia (es invariante) a medida que pasa el tiempo. Para sistemas lineales invariantes podemos entonces escribir: Y las integrales de superposición quedan: que son productos convolución entre el estímulo y la respuesta impulsiva. Como veremos en las siguientes secciones, utilizando la transformación de Fourier el producto convolución de dos funciones del tiempo se convierte al producto directo de las respectivas transformadas.

10 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier: La representación de funciones del tiempo mediante un conjunto completo de funciones ortogonales más usada es la representación de Fourier, que usa funciones trigonométricas o exponenciales complejas como conjunto base. La representación de Fourier es diferente según la señal a representar sea o no periódica. Decimos que una función es periódica con periodo T cuando la función tiene la propiedad: f(t kT) = f(t). T f(t)f(t) t La función se repite en todos sus detalles (va- lor, derivadas) al transcurrir un periodo. Obsérvese de esta definición que T es el inter- valo mínimo en que se cumple la propiedad. Otros parámetros básicos de la señal periódica: frecuencia fundamental: f 0 = 1/T frecuencia angular fundamental: ω 0 = 2π f 0 = 2π/T

11 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Potencia media de la señal: Energía de la señal: Como se ve, la potencia media de una señal periódica es finita, mientras que su energía es infinita. Las señales periódicas se llaman también señales de potencia. La representación de Fourier de una señal periódica es una serie de Fourier: donde f 0 es la frecuencia fundamental de la señal y las sucesivas frecuencias f n = n f 0 se conocen como frecuencias armónicas superiores. Las funciones exponenciales complejas del desarrollo asociadas a diferentes armónicas son ortogonales:

12 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Y es posible obtener los coeficientes del desarrollo con la técnica ya vista: Ejemplo: Tren de pulsos f t T A f t T A c n f f = nf 0 Ciclo de servicio: = /T

13 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Ejemplo: Tren de deltas y el espectro consiste en un nuevo tren de deltas. Algunas propiedades y trucos 1)Corrimiento en el tiempo: Sea Si realizamos un corrimiento en el tiempo en la función: t t – τ : y entonces: f t -TT 2T -2T

14 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Algunas propiedades y trucos (cont.) 2) Derivadas: Sea nuevamente: si derivamos repetidamente:... Para funciones rectas a tramos una técnica consiste en derivar hasta llegar a deltas y luego aplicar esta relación para hallar la serie de Fourier de la función original.

15 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Algunas propiedades y trucos (cont.) 3) Superposición: En ciertos casos podemos expresar una función periódica como la suma o superposición de dos o más funciones también periódicas del mismo periodo: Entonces, podemos escribir para los desarrollos de Fourier:

16 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Algunas propiedades y trucos (cont.) Ejemplo Sea nuevamente el tren de pulsos: Derivando una vez, el tren de pulsos se convierte en la superposición de dos trenes de deltas positivas y negativas de amplitud A y periodo T. El tren nega- tivo está corrido en τ respecto del tren positivo. La representación de Fourier de la derivada es así: Superposición: y entonces: que es el mismo resultado obtenido previamente f t T A f´ t T A -A

17 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales): Los pulsos reales tiene tiempos de subida y de caída: τ r : tiempo de subida τ f : tiempo de caida τ : ancho de pulso El objetivo de esta sección es analizar cómo estos parámetros modifi- can el espectro del tren de pulsos. Para hallar el espectro derivamos dos veces. Abajo se ven las gráficas de la primera y segunda derivadas. Esta última ya consiste en una suma de deltas: r f f t A A/2 r f f´ t T f f t T r

18 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): Como se ve, hay 4 trenes de deltas, con lo que los coeficientes de la serie de Fourier son: Operando: f f t T r

19 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : Los coeficientes de la serie de Fourier del pulso original son: y entonces: En el caso particular en que r = f : En función del ciclo de servicio. Se observa que el espectro de la señal trapezoidal consiste en el producto de dos funciones sinc. Este resultado no se puede extrapolar al caso general pero indica tenden- cias útiles.

20 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : Los coeficientes de la serie de Fourier del pulso original ( r = f ) son: donde: = /T (ciclo de servicio) = r /T En este caso, el espectro tiene la gráfica: f = 10 MHz Lineal r = 5 ns dB = 0.1 = 0.5 = 0.9 Las armónicas pares se anulan para = 0.5

21 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : Los coeficientes de la serie de Fourier del pulso original ( r = f ) son: donde: = /T (ciclo de servicio) = r /T Las amplitudes de los coeficientes c n ( n > 0 ) para = 0.1 y = 0.9 coin- ciden. En la gráfica se muestra la di- ferencia entre ambos juegos de coe- ficientes en función de n. Se ve que se anula para n entero. La diferencia entre ambos espectros es el valor promedio c 0.

22 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : El espectro de Fourier del pulso original ( r = f ) es: y en dB: en función de la frecuencia f = nf 0. Al graficar en función de f, cada término se comporta asintóticamente como: 1)Para f 0, predomina el primer término (const.). Este término tiene una única asíntota, de pendiente 0 db/decada. 2)El segundo término sinc(π f) tiende a 1 para f 0, y a 1/π f para f>>0. Tiene entonces dos asíntotas: una de pendiente 0 db/decada para f 0, y otra de pendiente -20 db/decada para f>>0. Las asíntotas se cortan en f 1 = 1/π. 3)El tercer término es similar al segundo, pero el punto de corte de asíntotas se da en f 2 = 1/π r (>f 1 ).

23 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : Finalmente, el comportamiento asintótico del espectro de Fourier en dB del pulso: se muestra en la gráfica. Se pueden señalar dos características fundamentales: 1) El contenido de alta frecuen- cia del tren depende de r. 2) La frecuencia en que la ampli- tud del espectro comienza a disminuir ( f 1 ) depende de, e indirectamente de. f1f1 f2f2 0 db/dec -20 db/dec -40 db/dec

24 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : En las gráficas se muestra el espectro de Fourier de un tren de pulsos de f 0 = 10 MHz, = 0.5 y r = 20 ns (negro), 5 ns (azul). Se ve claramente cómo en este último caso aumenta el contenido espectral de alta frecuencia.

25 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.) : El hecho que el espectro de Fourier de un tren de pulsos trapezoidales cae a -40 db/decada por encima de f 2 = 1/π r indica que podemos tomar esta frecuencia (o un múltiplo de 2 ó 3 por seguridad) para truncar la serie infinita de Fourier. Si r f una visión conservadora para la estimación del contenido es- pectral es tomar el valor menor y adjudicarlo a r en los cálculos pre- vios. Otros sugieren usar el promedio. Obviamente lo mejor es medir. No hay influencia del ciclo de servicio en el espectro, salvo que al cam- biar se cambie, que determina el primer punto de corte asintótico del espectro. Sin embargo, a igualdad de otros factores, un aumento del ciclo de ser- vicio aumentará la potencia media de la onda.

26 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Señales no periódicas: Cuando la señal no es periódica, la representación de Fourier se convierte en la transformada de Fourier: Esta operación permite pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La operación inversa se conoce como antitransformada de Fourier: Existe entonces un mecanismo de transformación biunívoco entre ambos dominios: del tiempo y de la frecuencia:

27 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Señales no periódicas: Propiedades de la transformada de Fourier: Linealidad. donde y son constantes cualesquiera. Similaridad. donde es una constante cualquiera. Un estiramiento en la escala del tiempo implica una compresión en la escala de frecuencias y vicever- sa, además de un cambio global en la amplitud del espectro. Corrimiento. donde es un real. Un corrimiento en el dominio del tiempo implica un cambio de fase en el dominio de la frecuencia.

28 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Señales no periódicas: Propiedades de la transformada de Fourier (cont.): Teorema de Rayleigh-Parseval esta integral se interpreta como el contenido energético de la señal. Convolución es decir que la transformada de la convolución en el dominio del tiempo es igual al producto de las transformadas individuales.

29 FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señales y sistemas lineales Representación de Fourier – Señales no periódicas: Propiedades de la transformada de Fourier (cont.): Convolución Este resultado es muy importante cuando se aplica a la respuesta impul- siva de sistemas lineales invariantes. Recordamos: Entonces, si: tenemos: Función transferencia


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