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21.- Usa el hecho de que 10 = 9 + 1 para desarrollar un método rápido para comprobar el resto de cualquier número módulo 9. Un número en base 10 se escribe.

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1 21.- Usa el hecho de que 10 = para desarrollar un método rápido para comprobar el resto de cualquier número módulo 9. Un número en base 10 se escribe como: n = a n ….a 0 = a a 1 +….+ 10 n a n Hallar el resto al dividir por 9 es lo mismo que pasar a Z 9. n = a n ….a 0 = a a 1 +….+ 10 n a n = a 0 + 1a 1 +….+ 1 n a n = a 0 + a 1 +….+ a n Es decir, el resto de dividir un número por 9 es igual al resto de la suma de sus cifras.

2 22.- Aplica el método del ejercicio anterior para ver cuál de las siguientes operaciones está mal. 5783·40162 = Pasamos a Z = = 23 = = = = 13 = = = = 42 = = 6 En Z 9 5·4 = 20 = = 2 6 Luego la cuenta está mal.

3 22.- Aplica el método del ejercicio anterior para ver cuál de las siguientes operaciones está mal. 9787·1258 = Pasamos a Z = = 31 = = = = 16 = = = = 22 = = 4 En Z 9 4·7 = 28 = = 10 = = 1 4 Luego la cuenta está mal.

4 22.- Aplica el método del ejercicio anterior para ver cuál de las siguientes operaciones está mal. 8901·5743 = Pasamos a Z = = 18 = = 9 = = = 19 = = 10 = = = 27 = = 9 = 0 En Z 9 0·1 = 0 Luego la cuenta seguramente está bien.

5 23.- Usa el hecho de que 1001 = 7·11·13 para desarrollar un método rápido para comprobar la divisibilidad por 7, 11 ó 13. Un número en base 10 se escribe como: n = a n ….a 0 = a 0 a 1 a 2 + (a 3 a 4 a 5 )· (a 6 a 7 a 8 )· ….. Teniendo en cuenta que 1000 = -1 en Z 7, Z 11 y Z 13 n será divisible por 7, 11 ó 13 exactamente cuando lo sea: a 0 a 1 a 2 - a 3 a 4 a 5 + a 6 a 7 a 8 -…….

6 24.- Resuelve el sistema de congruencias. x 2 (mod 9) x 3 (mod 7) x 1 (mod 4) x -1 (mod 5) Paso 1.- Calculamos los qs q 1 = 7·4·5 = 140 q 2 = 9·4·5 = 180 q 3 = 9·7·5 = 315 q 4 = 9·7·4 = 252

7 24.- Resuelve el sistema de congruencias. Paso 2.- Calculamos los hs h 1 = = 5 -1 en Z 9, luego h 1 = 2 h 2 = = 5 -1 en Z 7, luego h 2 = 3 h 3 = = 3 -1 en Z 4, luego h 3 = 3 h 4 = = 2 -1 en Z 5, luego h 4 = 3 Paso 3.- Calculamos la solución x = 2·140·2 + 3 ·180·3 + 1 ·315·3 + (-1) ·252·3 + k·9·7·4·5

8 25.- Resuelve el sistema de congruencias. x 2 (mod 5) 2x 1 (mod 7) 3x 4 (mod 11) Vamos a dividir la segunda ecuación por 2 (en Z 7 ). Como 2 -1 = 4, multiplicamos por 4. 2x 1 (mod 7) 8x = x 4 (mod 7) Vamos a dividir la tercera ecuación por 3 (en Z 11 ). Como 3 -1 = 4, multiplicamos por 4. 3x 4 (mod 11) 12x = x 16 = 5 (mod 11)

9 25.- Resuelve el sistema de congruencias. x 2 (mod 5) x 4 (mod 7) x 5 (mod 11) Paso 1.- Calculamos los qs q 1 = 7·11 = 77 q 2 = 5·11 = 55 q 3 = 5·7 = 35

10 25.- Resuelve el sistema de congruencias. Paso 2.- Calculamos los hs h 1 = = 2 -1 en Z 5, luego h 1 = 3 h 2 = = 6 -1 en Z 7, luego h 2 = 6 h 3 = = 2 -1 en Z 11, luego h 3 = 6 Paso 3.- Calculamos la solución x = 2·77·3 + 1 ·55·6 + 4 ·35·6 + k·5·7·11

11 26.- ¿Cuál es la última cifra de la representación de 7 93 en base 10? Hay que calcular 7 93 en Z 10. En primer lugar, φ(10) = φ(2)·φ(5) = 1 · 4 = 4 Por tanto 7 4 = 1 en Z = 7 4·23+1 = (7 4 ) 23 · 7 = 1 23 · 7 = 7 en Z 10. Luego la última cifra de la representación de 7 23 en base 10 es 7.

12 27.- De un número n se sabe Las dos últimas cifras al escribirlo en base 3 son 12 La última cifra al escribirlo en base 11 es 7 Las últimas tres cifras en base 2 son 101 Es menor que 300 ¿Cuánto vale n? n = ……12 3 = 2 + 1·3 + algo · n = ……7 11 = 7 + algo · n = ……101 2 = 1 + 0·2 + 1 ·2 2 + algo ·

13 27.- ¿Cuánto vale n? n = ……12 3 = 2 + 1·3 + algo · n = ……7 11 = 7 + algo · n = ……101 2 = 1 + 0·2 + 1 ·2 2 + algo · De la primera ecuación:n 5 (mod 9) De la segunda ecuación:n 7 (mod 11) De la tercera ecuación:n 5 (mod 8) Vamos a resolver el sistema:

14 27.- ¿Cuánto vale n? x 5 (mod 9) x 7 (mod 11) x 5 (mod 8) Paso 1.- Calculamos los qs q 1 = 11·8 = 88 q 2 = 9·8 = 72 q 3 = 9·11 = 99

15 27.- ¿Cuánto vale n?. Paso 2.- Calculamos los hs h 1 = = 7 -1 en Z 9, luego h 1 = 4 h 2 = = 6 -1 en Z 11, luego h 2 = 2 h 3 = = 3 -1 en Z 8, luego h 3 = 3 Paso 3.- Calculamos la solución x = 5·88·4 + 7 ·72·2 + 5 ·99·3 + k·9·11·8 = k Paso 4.- Escogemos el valor de k para que sea menor que 300. Como 4253 = 5· , tomo k = -5 y obtengo n = 293

16 28. De un número n se sabe que: a) Las tres últimas cifras al escribirlo en base 5 son 112. b) Las dos últimas cifra al escribirlo en base 11 son 17. c) Las últimas tres cifras en base 2 son 101. ¿Cuánto puede valer n? n = ……112 5 = 2 + 1·5 + 1 ·5 2 + algo· n = ……17 11 = ·11 + algo · n = ……101 2 = 1 + 0·2 + 1 ·2 2 + algo ·

17 28.- ¿Cuánto vale n? De la primera ecuación:n 32 (mod 125) De la segunda ecuación:n 18 (mod 121) De la tercera ecuación:n 5 (mod 8) Vamos a resolver el sistema: n = ……112 5 = 2 + 1·5 + 1 ·5 2 + algo· n = ……17 11 = ·11 + algo · n = ……101 2 = 1 + 0·2 + 1 ·2 2 + algo ·

18 28.- ¿Cuánto vale n? x 32 (mod 125) x 18 (mod 121) x 5 (mod 8) Paso 1.- Calculamos los qs q 1 = 121·8 = 968 q 2 = 125·8 = 1000 q 3 = 125·121 = 15125

19 28.- ¿Cuánto vale n?. Paso 2.- Calculamos los hs h 1 = = en Z 125 φ(125) = φ(5 3 ) = 5 3 – 5 2 = 125 – 100 = 100 h 1 = = = = (93 3 ) 33 = = = (107 3 ) 11 = = = 43·(43 5 ) 2 = 43· = 43·57 2 = 43·124 = 5332 = 82

20 28.- ¿Cuánto vale n?. h 2 = = en Z 121 h 3 = = 5 -1 en Z 8, luego h 3 = 2 φ(121) = φ(11 2 ) = 11 2 – 11 = 121 – 11 = 110 h 2 = = = = 32 9 · = (32 3 ) 3 (32 2 ) 50 = = = ·(56 2 ) 25 = 54· = 54· = 54·(111 5 ) 5 = 54· = 54·67 5 = 54· = 54·89 = 4806 = 87

21 28.- ¿Cuánto vale n?. Paso 3.- Calculamos la solución x = 32·968· ·1000· ·15125·2 + k·125·121·8

22 29. Una banda de 17 piratas se reúne para repartirse un cofre con más de cien monedas de oro. Efectuado equitativamente el reparto sobra una moneda. En la pelea resultante para adjudi- carla muere un pirata. Vuelven a realizar el reparto y sigue sobrando una moneda. Muere otro otro pirata y ahora sobran 3 monedas. ¿Cuál es el mínimo número de monedas que puede contener el cofre?. Sea n el número de monedas. Al repartir n entre 17 sobra 1, luego n 1 (mod 17) Al repartir n entre 16 sobra 1, luego n 1 (mod 16) Al repartir n entre 15 sobran 3, luego n 3 (mod 15)

23 29.- ¿Cuánto vale n? n 1 (mod 17) n 1 (mod 16) n 3 (mod 15) Paso 1.- Calculamos los qs q 1 = 16·15 = 240 q 2 = 17·15 = 255 q 3 = 17·16 = 272

24 29.- ¿Cuánto vale n?. Paso 2.- Calculamos los hs h 1 = = 2 -1 en Z 17, luego h 1 = 9 h 2 = = en Z 16, luego h 2 = 15 h 3 = = 2 -1 en Z 15, luego h 3 = 8 Paso 3.- Calculamos la solución x = 1·240·9 + 1 ·255· ·272·8 + k·17·16·15 = k Paso 4.- Escogemos el valor de k para que sea lo menor posible. Como = 3· , tomo k = -3 y obtengo n = 273

25 29) Supongamos que la solución anterior es el número real de monedas que contenía el cofre y que la historia continúa. Siempre que sobran monedas en el reparto hay pelea y muere un pirata. ¿Cuántos piratas quedarán vivos cuando en el reparto no sobre ninguna moneda?. Hay que buscar el mayor divisor de 273 que sea menor que = 3·91 = 3·7·13 El mayor divisor que sea menor que 17 es 13. Al final quedarán 13 piratas.


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