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Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Conceptos básicos Concepto de matriz Operaciones con matrices - Adición - Producto por.

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1 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Conceptos básicos Concepto de matriz Operaciones con matrices - Adición - Producto por escalar - Producto de matrices En esta presentación te mostramos una forma de acercarte al concepto de matriz, sin embargo es importante aclarar que las matrices no nacieron de esta forma. Las matrices surgen de la necesidad de trabajar sistemas de ecuaciones lineales. Para mayor información puedes revisar la siguiente dirección:

2 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Conceptos básicos CONCEPTO DE MATRIZ Una empresa de alquileres tuvo los siguientes movimientos: Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles Sucursal Plaza del Parque: Sucursal Plaza Zaragoza: Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles ¿Cuál es el total de cada artículo por mes? Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 manteles Feb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles Ene: 200 mesas, 300 sillas y 200 manteles Feb: 300 mesas, 350 sillas y 200 manteles

3 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Conceptos básicos CONCEPTO DE MATRIZ Una empresa de alquileres tuvo los siguientes movimientos: Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles Sucursal Plaza del Parque: Sucursal Plaza Zaragoza: Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 manteles Feb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles Ene: 200 mesas, 300 sillas y 200 manteles Feb: 300 mesas, 350 sillas y 200 manteles Una forma de solución es la siguiente: ¿Cuál es el total de cada artículo por mes?

4 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Conceptos básicos CONCEPTO DE MATRIZ Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles Sucursal Plaza del Parque: Sucursal Plaza Zaragoza: Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 manteles Feb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles Ene: 200 mesas, 300 sillas y 200 manteles Feb: 300 mesas, 350 sillas y 200 manteles Una forma de solución es la siguiente: P = Ene Feb Mar mesassillasmanteles mesas sillas manteles Ene Z = Feb Mar A cada arreglo se le denomina: MATRIZ

5 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN La adición de matrices se realiza término a término: P Z

6 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN La adición de matrices se realiza término a término: P Z

7 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN La adición de matrices se realiza término a término: P Z

8 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN La adición de matrices se realiza término a término: P Z = R Matriz resultante o Matriz Resultado

9 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN De manera general, podemos establecer lo siguiente: Numeramos las columnas C1 C2 C3 Numeramos los renglones R1R2R3R1R2R3 Numeramos cada elemento con dos subíndices a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

10 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN De manera general, podemos establecer lo siguiente: Numeramos las columnas C1 C2 C3 Numeramos los renglones R1R2R3R1R2R3 Numeramos cada elemento con dos subíndices a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 De esta forma queda la representación o modelo matemático de una matriz de 3 x 3

11 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN De manera general, podemos establecer lo siguiente: Numeramos las columnas Numeramos los renglones Numeramos cada elemento con dos subíndices a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 De esta forma queda la representación o modelo matemático de una matriz de 3 x 3 Adicionamos una segunda matriz cuyos elementos denominamos con la letra b + b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

12 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices ADICIÓN De manera general, podemos establecer lo siguiente: Numeramos las columnas Numeramos los renglones Numeramos cada elemento con dos subíndices a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 De esta forma queda la representación o modelo matemático de una matriz de 3 x 3 Adicionamos una segunda matriz cuyos elementos denominamos con la letra b + b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 De manera que la matriz resultante tiene elementos c que se obtienen mediante la operación: cij = aij + bij c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 =

13 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR La sucursal Plaza del Parque tuvo las siguientes ventas: Sucursal Plaza del Parque: ¿Cuál es el total de ventas por mes de la sucursal Plaza Zaragoza? Abr: 200 mesas, 300 sillas y 100 manteles May: 300 mesas, 300 sillas y 200 manteles La sucursal Plaza Zaragoza tuvo 40% más ventas en los mismos dos meses comparada con Plaza del Parque.

14 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque P = Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entonces Tenemos que: Z = P *P Z = 1.40 * P Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR

15 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque P = Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entonces Tenemos que: Z = P *P Z = 1.40 * P Z = 1.4(200) Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR

16 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque P = Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entonces Tenemos que: Z = P *P Z = 1.40 * P Z = 1.4(200) 1.4(300) Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR

17 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque P = Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entonces Tenemos que: Z = P *P Z = 1.40 * P Z = 1.4(200) 1.4(300) 1.4(100) Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR

18 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque P = Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entonces Tenemos que: Z = P *P Z = 1.40 * P Z = 1.4(200) 1.4(300) 1.4(100) 1.4(300) 1.4(300) 1.4(200) Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR

19 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque P = Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entonces Tenemos que: Z = P *P Z = 1.40 * P Z = Esta operación se llama: Producto por escalar Operaciones con Matrices PRODUCTO POR ESCALAR

20 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES La sucursal Plaza Zaragoza tiene ventas registradas por El precio por artículo es el siguiente: $20 cada mesa, $10 cada silla y $15 cada mantel. Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 manteles Feb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles ¿A cuánto asciende el ingreso por mes?

21 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Una forma de resolver el problema: Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 manteles Feb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles mesas sillas manteles Ene Feb Mar El precio por artículo es el siguiente: $20 cada mesa, $10 cada silla y $15 cada mantel. Ingreso Mesa 20 Silla 10 Mantel 15

22 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Una forma de resolver el problema: mesas sillas manteles Ene Feb Mar Ingreso Mesa 20 Silla 10 Mantel (20) Ene

23 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Una forma de resolver el problema: mesas sillas manteles Ene Feb Mar Ingreso Mesa 20 Silla 10 Mantel (20) Ene + 400(10)

24 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Una forma de resolver el problema: mesas sillas manteles Ene Feb Mar Ingreso Mesa 20 Silla 10 Mantel (20) Ene + 400(10)+ 250(15)

25 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Una forma de resolver el problema: mesas sillas manteles Ene Feb Mar Ingreso Mesa 20 Silla 10 Mantel (20) Ene + 400(10)+ 250(15) Feb 400(20) + 300(10) + 300(15) Mar 150(20) + 100(10) + 100(15)

26 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Una forma de resolver el problema: mesas sillas manteles Ene Feb Mar Ingreso Mesa 20 Silla 10 Mantel 15 13,750 Ene Feb 15,500 Mar 5,500 Matriz de Ingreso por mes Ingreso

27 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES La fabrica de muebles Michoacán tuvo los siguientes volúmenes de producción durante enero en sus tres sucursales: Mano de obra de $750 por escritorio y $600 por librero Norte:600 escritorios y 700 libreros Sur:800 escritorios y 600 libreros Centro:900 escritorios y 500 libreros Materia prima de $2,500 por escritorio y $2,000 por librero Gastos indirectos de $500 por escritorio y $400 por librero ¿Cuáles son los costos individuales por sucursal? Con los siguientes costos:

28 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Mano de obra de $750 por escritorio y $600 por librero Norte:600 escritorios y 700 libreros Sur:800 escritorios y 600 libreros Centro:900 escritorios y 500 libreros Materia prima de $2,500 por escritorio y $2,000 por librero Gastos indirectos de $500 por escritorio y $400 por librero

29 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos 2, , El producto de matrices se realiza de la siguiente forma: 600(2,500) + 700(2,000)

30 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia prima 2,900,000 Norte El producto de matrices se realiza de la siguiente forma: 600(750) + 700(600) Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos

31 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia prima 2,900,000 Norte El producto de matrices se realiza de la siguiente forma: 870,000 Mano de obra Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos

32 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia prima 2,900,000 Norte El producto de matrices se realiza de la siguiente forma: 870,000 Mano de obra 600(500) + 700(400) Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos

33 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia prima 2,900,000 Norte El producto de matrices se realiza de la siguiente forma: 870,000 Mano de obra 580,000 Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos Gastos indirectos

34 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES Escribimos dos matrices asociadas a los datos: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia prima 2,900,000 Norte El producto de matrices se realiza de la siguiente forma: 870,000 Mano de obra 580,000 Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos Gastos indirectos 3,200,000960, ,000 Sur 3,250,000975, ,000 Centro

35 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES La operación se realizó de la siguiente forma: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos

36 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES La operación se realizó de la siguiente forma: Escritorio librero Norte Sur Centro Escritorio Librero 2, , Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos Materia Prima Mano de obra Gastos indirectos Norte Sur Centro 600(2,500) + 700(2,000) 600(750) + 700(600) 600(500) + 700(400) 800(2,500) + 600(2,000) 800(750) + 600(600) 800(500) + 600(400) 900(2,500) + 500(2,000) 900(750) + 500(600) 900(500) + 500(400)

37 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Operaciones con Matrices PRODUCTO DE MATRICES De forma general, el producto de matrices se realiza de la Siguiente manera: a11 a12 a13 a21 a22 a23 b11 b12 b21 b22 b31 b32 c11 c12 c21 c22 = Cada elemento de la matriz resultante se obtiene de la siguiente forma: cij = Ri Cj R1 R2 C1C2

38 Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Diseñó: M.D.M. Arturo Corona Pegueros Carrera de Administración Área Recursos Humanos División Económico-Administrativa Universidad Tecnológica de Querétaro Querétaro, México Última actualización: julio 2010 Cualquier comentario dirigirlo a:


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