@ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 COMPOSICIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES U.D. 8 * 1º BCS.

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2 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 COMPOSICIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES U.D. 8 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 FUNCIÓN INVERSA U.D. 8.3 * 1º BCS

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 FUNCIÓN INVERSA DE OTRA Sea y = f(x) una función real de variable real. Llamamos función INVERSA a la expresión y = f -1 (x) Condición: Si f(a) = b  f -1 (b) = a Relaciones entre una función y su inversa: (f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x (f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Para hallar la función inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuación y= f(x) y después se intercambian las x por las y. Ejemplo 1 Sea f(x) = x 2 - 1 y = x 2 – 1  x = y 2 – 1  y 2 = x + 1  y = +/- √(x+1) La función resultante No es función, por lo tanto la función dada no tiene inversa. Ejemplo 2 Sea f(x) = 1 / (x – 2) y = 1 / (x – 2)  x = 1 / (y – 2)  x.y – 2.x = 1  y = (1 + 2.x) / x Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada. Comprobemos: (f o f -1 )(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 3 Sea f(x) = sen x - 1 y = sen x – 1  x = sen y – 1  sen y = x + 1  y = arc sen (x + 1) Luego f -1 (x) = arc sen (x + 1 ) Comprobemos: (f o f -1 )(x) = sen [arc sen (x+1)] – 1 = (x + 1) – 1 = x (f -1 o f)(x) = arc sen (sen x – 1 + 1) = arc sen (sen x) = x Ejemplo 4 Sea f(x) = √ (x – 1) y = √ (x – 1)  x = √ (y – 1)  x 2 = y – 1  y = x 2 + 1 Luego f -1 (x) = x 2 + 1 Comprobemos: (f o f -1 )(x) = √ (x 2 + 1 – 1) = √ x 2 = x (f -1 o f)(x) = [√ (x – 1)] 2 + 1 = x – 1 + 1 = x

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplos gráficos 5 y 6 En color rojo f(x) y en color azul f -1 (x), o viceversa. y = - 2.x y = - x / 2 y = 2.x + 1 y = (1/2).x - 2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplos gráficos 7 y 4 En color rojo f(x) y en color azul f -1 (x), o viceversa. y = ln x y = e x y = x 2 +1 y = √ (x-1)

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Notas sobre el Ejemplos 4 La función y = x 2 + 1 considerada en todo su dominio, en R, no tendría función inversa, pues la parábola resultante no sería una función. La función y = x 2 + 1, en [0, +oo) sí produce una función inversa (Ver dibujo). Igualmente la función y = x 2 + 1, en (– oo, 0] nos produciría una función, que sería la simétrica respecto al eje de abscisas de la función del dibujo en color rojo. Por lo tanto hay funciones que tienen o no función inversa dependiendo del dominio a considerar, lo que hay que tenerlo en cuenta. y = x 2 +1 y = √ (x-1)

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Ejercicios En los ejemplos gráficos 5,6 y 7: A)Tomando una de las dos funciones, comprobar analíticamente que la función inversa es la otra función. B)Comprobar que en todos los casos se cumple: (f o g)(x)=x