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¿Que es la Teoría de la Computación? Sergio Rajsbaum Instituto de Matemáticas, UNAM.

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Presentación del tema: "¿Que es la Teoría de la Computación? Sergio Rajsbaum Instituto de Matemáticas, UNAM."— Transcripción de la presentación:

1 ¿Que es la Teoría de la Computación? Sergio Rajsbaum Instituto de Matemáticas, UNAM

2 ¿Cómo explicar que es la Teoría de la Computación? Definiciones Breve introducción histórica Ejemplos de problemas Lista y clasificación de temas

3 En pocas palabras ¿Que es la Teoría de la Computación? Los cimientos del edificio

4 El Edificio Ciencia e Ingeniería de la Computación: conglomerado de disciplinas científicas y de ingeniería relacionadas -- estudio y aplicación del cómputo. Desde –mas puras y básicas disciplinas científicas dedicadas a los fundamentos de la computación – hasta las de ingenierías dedicadas a aplicaciones especificas.

5 La Teoría de la Computación Pretende Entender Estudiando modelos matemáticos relacionados al cómputo

6 ¿Qué es el cómputo? – El interés por diseñar métodos y dispositivos para cálculos aritméticos y lógicos es antiguo, pero – sin entendimiento de la naturaleza del cómputo en general ¿ método, dispositivo?

7 10 o Problema de Hilbert (Paris, 1900) un método mediante el cual se puede determinar en un número finito de operaciones diseñar si un polinomio tiene una raíz entera

8 En 1970 el matemático de Leningrado de 22 años resolvió el problema al probar que no existe tal método (basado en trabajo de Davis, Putnam y Robinson) Lo cual hubiera sido difícil de lograr para los matemáticos de 1900 con su noción intuitiva de algoritmo … Yuri Matijasevic

9 Alan Turing En 1936 con la Máquina de Turing formalizó la noción de algoritmo (no tan chico a la edad de 24 años) Simultáneamente Alonzo Church con la noción equivalente de lambda-cálculo y otros…

10 Máquina de Turing Inicialmente: – en el estado q 0 – con entrada w Operación, según δ(q,x)=(q,x,d): – si esta en estado q sobre el simbolo x – cambia a q, sobre-escribe x y se mueve una posición (der. o izq.) … q entrada control finito función de transición δ q 0 =

11 Máquina de Turing Formalmente, no es mas que un conjunto de quintupletas que describen la función de transición δ

12 ¡La mayoría de las funciones no son computables! El conjunto de Máquinas de Turing es numerable; el de todas las funciones no lo es

13 Tesis de Church-Turing Noción intuitiva de algoritmo = Máquina de Turing

14 Máquina de Turing Universal … q0q Descripción de M Simula a una Máquina de Turing M

15 Máquina de Turing Universal Feynmans Lectures on Computation

16 El Problema de la Detención no es computable La idea: ¿ Qué pasa si a una M le damos como entrada a ella misma ?! No es mas que una diagonalización a la Cantor Dada una M y una entrada w, M se detiene con entrada w?

17 Reducciones P 1 P 2 Problema P 2 es al menos tan difícil como P 1 si P 1 se puede resolver con P 2 como oráculo

18 induce clases de equivalencia Problema de la detención Problemas equivalentes a este Jerarquía infinita de problemas no computables

19 El mundo de los problemas computables 1900 … 1936 … 1965 noción formal de cómputo ? Máquina de Turing complejidad

20 Medir tiempo y espacio como una función del tamaño de la entrada 65 Juris Hartmanis, Cornell Richard Stearns, U. Albany Dado mas tiempo o espacio se pueden computar mas cosas

21 Clases de Complejidad Tiempo o Espacio Jerarquía infinita de problemas computables Utilizando reducciones

22 Eficiente = Polinomial Para que una solución sea útil –Su costo en tiempo/espacio debe crecer polinomialmente con respecto al tamaño de la entrada

23 Razón de crecimiento de funciones típicas n n2n n3n n2n m35.7 d366 s 3n3n m6.5 a2*10 8 s1.3*10 13 s todas las entradas en segundos [GJ] excepto m=min, d=dias, a=años, s=siglos (Función en micro-segundos)

24 El Mundo de la Computación Jerarquía infinita de problemas no computables Jerarquía infinita de problemas computables polinomiales clase P

25 La Clase NP Para el final de los 60s, se sabía de una variedad de problemas prácticos para los cuales no había solución polinomial Todos tienen un espacio exponencial de soluciones posibles Todos se pueden verificar en tiempo polinomial Ejem: Encontrar un ciclo que pase por todos los vértices de una gráfica

26 ¿ P = NP ? EXP NP P Una de las 7 preguntas del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute con $1,000,000

27 EXP NP P Resulta que los problemas prácticos mencionados, son los mas difíciles dentro de NP NP-completos

28 El 1 er problema NP-completo Stephen Cook, Toronto Probado en 1971 Leonid Levin, BU Probado en 1973 SAT:Si un predicado booleano se puede satisfacer

29 En 73 ocho problemas centrales en combinatoria probados NP-completos Reducciones: Si P es NP-completo, P es NP y P P ent. P tambien Richard Karp

30 Y Karp mencionó tres en NP sin lograr probarlos NP-completos Isomorfismo de gráficas Primalidad Programación lineal EXP NP P NP-completos ? P NP => num. de clases, inclusive algunas no comparables entre si

31 Y Karp mencionó tres en NP sin lograr probarlos NP-completos Isomorfismo de gráficas Primalidad Programación lineal Siguieron abiertos hasta 79 cuando aparece el libro de Garey-Johnson PL en P 84, por Karmarkar Prim en P 02, por Agarwal y estudiantes Saxena, Kayal Narendra Karmarkar Nitin Saxena Neeraj Kayal Maninda Agarwal (der a izq)

32 Isomorfismo de Gráficas Sigue Abierto Probablemente no en P Probablemente no sea NP-completo es sensitivo localmente: si existe un isomorfismo, y se cambia un poquito la gráfica, deja de haberlo si lo fuera se colapsa la jerarquía polinomial

33 Ejemplos clásicos P NP-completo Camino mas corto entre u,vCamino mas largo entre u,v Cubrir vértices con el menor número de aristas Cubrir aristas con el menor número de vértices Apareamiento de aristasApareamiento de 3-aristas Digráfica equivalente mínima (preserva conectividad entre todo u,v) Subgráfica equivalente mínima ¿G es k-coloreable? G de comparabilidad; G de grado 3 G arbitraria: Para toda 3k fija; para k=3 en gráficas planas

34 ¿Que es la Teoría de la Computación? Pero volvamos a nuestra pregunta original

35 Se Divide en Dos I. Teoría de la Programación –Estudiar los lenguajes para implementar los cómputos II. Teoría del Cómputo –Entender la naturaleza del cómputo, sus posibilidades y limitaciones –Y el objeto del cómputo, la información Teoría de la Computación

36 I. Teoría de la Programación Modelos de cómputo Lenguajes de programación Semántica de lenguajes Estilos de programación- Lógica, funcional… Concurrencia Especificación y verificación Lógica y computación Representación del conocimiento, bases de datos

37 II. Teoría del Cómputo El estudio de la propiedades generales del cómputo, ya sea natural, artificial, o imaginario

38 ¿Qué es un dispositivo de cómputo? –Secuencial, paralelo, distribuido, biológico, quántico ¿Cuál es el costo de un cómputo? –Tiempo, espacio, comunicación, tamaño del programa ¿ Qué se puede computar eficientemente y que no? –Ciclo mas corto vs. ciclo mas largo ¿ Como clasificar a todos los problemas de acuerdo a su dificultad? –Una jerarquía infinita y densa de clases de complejidad ¿ Qué no se puede computar? –Si un programa es correcto o no ¿ Qué es la información? –Como se mide, como se comprime y que tanto, –cual es la información de vs

39 Entender mejor el mundo, desde nuestra perspectiva de computólogos

40 El Dilema del Esquiador No sabe cuantos días va a querer esquiar. ¿Comprar o Rentar? Renta de esquís cuesta $1 por día. Comprarlos $10. Lo óptimo es rentar hasta el día 10, y luego comprar Análisis de Algoritmos En-Linea ¿donde estuvo la computadora? Pero hay aplicaciones- memoria cache

41 Mas Ejemplos: Aparentemente hay funciones fáciles de calcular pero difíciles de invertir (cripto) –e.g. multiplicar vs. factorizar Aparentemente hay problemas mucho mas fáciles de verificar que de resolver (P vs NP) –e.g. partir un conjunto de pesas en dos subconjuntos que pesen lo mismo La aleatoriedad puede ser expandida arbitrariamente –usar una semilla chica para generar números pseudoaleatorios Una prueba de un enunciado puede no enseñarte nada mas que la validez del enunciado –e.g este mapa se puede colorear con k colores

42 Y mas Ejemplos: Pruebas holográficas –Forma en la cual cualquier prueba puede ponerse, tal que cualquier error se puede detectar (probabilisticamente) viendo solo una fracción pequeña de ella –Pruebas tradicionales tiempo cuadrático (en su tamaño); estas toman tiempo polilogarítmico –El log 2 del numero de átomos en el universo es < 300 ! Robótica –Un agente sin memoria puede moverse sobre una gráfica y detectar su conexidad Jorge Urrutia

43 Computación molecular: Solución de problemas NP completos –usando paralelismo masivo con DNA Diseño de drogas inteligentes –midiendo y corrigiendo la expresión genética Ricardo Strausz

44 Computación Distribuida Ejecuciones Las ejecuciones de un algoritmo distribuido preservan La topología de las entradas posibles, dependiendo del nivel de tolerancia a fallas del sistema Entradas

45 Ejemplos muy prácticos El dilema de la memoria cache –Se tiene una cache (rápida pero cara) para k páginas –Se va llenando con páginas del disco (lento pero barato) –Una vez llena, cuando se pide una página que no esta en el cache ¿cual sacar? La que haya estado en la memoria mas tiempo

46 Cache en el Web Poner copias de páginas usadas en lugares estratégicos de la Red caches en diversas partes de Internet Akamai, compañía fundada por un profesor de teoría de MIT T. Leighton y su alumno

47 Google Búsqueda basada en la importancia de una página: una liga de A a B se interpreta como un voto de A a B. Se obtiene la importancia de la página resolviendo una ecuación de millones de variables y 200 millones de términos Más de 60 doctores, además de asesores como R. Motwani, J. Ullman, profesores de teoría de Stanford Google bombing » NYT January 22, 2004

48 En el Web: Theoretical Computer Science On The Web Handbook of Theoretical Computer Science –Vol. A: Algorithms and Complexity –Vol. B: Formal Models and Semantics Revistas: Journal of the ACM Congresos: ACM STOC, IEEE FOCS, ICALP Artículos: –Goldreich, A Brief Introduction to the Theory of Computation Referencias

49 Sipser, Intro. Theory of Computation Garey-Johnson, Computers and Intractability Schoning, Pruim, Gems of Theoretical CS Hromkovic, Theoretical CS Kozen, Theory of Computation Goldreich, Computational Complexity: a Conceptual Perspective Libros

50 Conclusiones De una Máquina de Turing a muchas ¿Para que la Teoría de la Computación ?

51 Ramon Llull Mallorca, Ars Magna, para automatizar todo el razonamiento If understanding followed no rule at all, there would be no good in the understanding nor in the matter understood, and to remain in ignorance would be the greatest good The Hundred Names of God

52 Ramon Llull Mallorca, En realidad, con el Ars Magna, pretendía apoyar la comunicación intercultural entre cristianos, judíos y musulmanes Una herramienta para discusión mediante comunicación, en lugar de mediante la fuerza La verdad no puede ser hallada mediante cómputo, sino mediante comunicación

53 Gottfried Leibniz Leipzig, Descubrió el sistema binario Buscaba un alfabeto para todo el pensamiento humano y un cálculo para manipular estos símbolos Compartió el sueño de Llull la coexistencia pacifica entre personas de diferentes culturas, religiones y nacionalidades

54 Lo ambicioso del plan de la formalización de todo el razonamiento humano Si resultara que la lógica básica de una máquina diseñada para la solución numérica de ecuaciones diferenciales coincidiera con la lógica de una máquina para sacar cuentas de una tienda comercial, me parecería esto la coincidencia más sorprendente que jamás me haya encontrado Howard Aiken, 1956

55 El Entusiasmo del sueño de la comunicación Por 1era vez, las redes telegráficas de Europa y Norteamérica se conectaron, mediante un cable submarino agosto 5, 1858 A Thread Across the Ocean Steele

56 El Entusiasmo del sueño de la comunicación Celebraciones al borde de la histeria It is impossible that old prejudices and hostilities should longer exist, while such an instrument has been created for the exchange of thought between all the nations of the world Briggs, Maverick 1858

57 Y el Entusiasmo Continua Michael Dertouzos cuando fuera jefe del LCS de MIT en 1997 A common bond reached through electronic proximity may help stave off future flareups of ethnic hatred and national breakups Libro What Will Be

58 ¿ Para qué estudiar Teoría de la Computación?

59 Una formación más sólida, un computólogo más profesional Problemas matemáticos interesantes Mejorar aplicaciones

60 When you want to build a ship, then do not drum the men together in order to procure wood, to give instructions or to distribute the work but teach them longing for the wide endless sea. A. de Saint-Exupéry

61 Para qué estudiar Teoría de la Computación? Una formación más sólida, un computólogo más profesional Desarrollo y uso de herramientas complejas Seguir adelante a un doctorado Dedicarse a la teoría de la computación en investigación y docencia Evitar vergüenzas …

62 Autoexamen de Conciencia (lenguajes) ¿Hay cosas programables en unos lenguajes pero no en otros?

63 Autoexamen de Conciencia (computadoras) ¿Hay cosas que unas computadoras pueden hacer pero no otras?

64 F I N Gracias por su atención


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