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Lección 1 Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte Velocidad de fase-velocidad de grupo. Modelo semicl á sico: paquetes de ondas. Din á mica.

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1 Lección 1 Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte Velocidad de fase-velocidad de grupo. Modelo semicl á sico: paquetes de ondas. Din á mica del electr ó n. Contribuci ó n de las bandas llenas al transporte de carga. Huecos: propiedades din á micas. Modelo de Drude para semiconductores. Resistividad y efecto Hall. Magnetorresistencia. Conductividad en corriente alterna. Resonancia ciclotr ó nica

2 Velocidad de fase / velocidad de grupo Los m á ximos corresponden a cierto valor de la fase Velocidad de fase Ondas sinusoidales Interferencia

3 Velocidad de fase / velocidad de grupo Paquete de ondas

4 g(k) solo es distinto de cero para un intervalo pequeño de k 0, |k-k 0 | < k ~ /a R >> a APROXIMACIÓN SEMICLÁSICA DE LOS ESTADOS ELECTRÓNICOS EN EL SÓLIDO: PAQUETE DE ONDAS Velocidad electrón = Velocidad de grupo del paquete de ondas Teoría cuántica Aproximación semiclásica: paquete de ondas

5 En la aproximación semiclásica el paquete de ondas se mueve de acuerdo con las leyes de la macánica clásica TRANSPORTE DE CARGA

6 LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES. LAS INTEGRALES, EXTENDIDAS A TODOS LOS VALORES DE k (dentro de la 1ª zona de Brillouin) SE ANULAN (ver Ashcroft- Mermim). En ausencia de campo eléctrico

7 LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES. En presencia de campo eléctrico

8 CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES) En ausencia de campo eléctrico

9 CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES) En presencia de campo eléctrico

10 CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS) En ausencia de campo eléctrico

11 En presencia de campo eléctrico CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)

12 Las bandas parcialmente llenas si contribuyen al transporte de electrones y lo podemos representar como si se tratase del transporte de cargas positivas ficticias: HUECOS (su masa efectiva será diferente).

13 Transporte de carga en una banda LCAO La velocidad resulta variar armónicamente, lo que indica que, en un sólido, un campo eléctrico uniforme daría lugar a una corriente alterna (esto si los portadores pudiesen alcanzar un k suficientemente grande). Este resultado es general dada la periodicidad de la relación (k) en el espacio recíproco.

14 MODELO DE DRUDE En el estado estacionario LEY DE OHM: CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA En este modelo se supone que todos los electrones (o huecos) son dispersados en promedio con un intervalo de tiempo (tiempo de relajación), perdiendo la energía adquirida en ese intervalo, lo que equivaldría al efecto de una fuerza disipativa

15 Campo magnético en la dirección del eje Z Campos eléctricos y corrientes en el plano perpendicular). frecuencia ciclotrónica de los electrones EFECTO HALL Multiplicando por (en) y sustituyendo env x =J x y env y =J y x y z

16 Si la muestra tiene unos electrodos en las caras perpendiculares al eje X (campo eléctrico según X), que inyectan una corriente constante, y la muestra es finita entonces no puede haber flujo neto de carga en la dirección del eje Y. Muestra paralelepipédica: medidas con 4 puntas l h d

17 En una muestra finita la conductividad es independiente del campo magnético: el campo de Hall compensa el efecto del campo magnético. Si la muestra es infinita no se anula ninguna componente de la densidad de corriente (y no aparecerá ningún campo de Hall). Las trayectorias electrónicas entre choques son arcos de circunferencia y el recorrido libre medio en la dirección del campo eléctrico es menor, lo que equivale a una disminución de la conductividad. MAGNETORRESISTENCIA x y z

18 En presencia de un campo eléctrico de la forma E 0 e i t, es fácil ver que, si buscamos en la ecuación del movimiento soluciones de la forma v= v 0 e i t : La conductividad pasa a ser compleja. Dado el valor tan pequeño de los tiempos de relajación, este efecto solo se observa para frecuencias muy elevadas (microondas) y en semiconductores para los que la movilidad sea alta. CONDUCTIVIDAD EN CORRIENTE ALTERNA

19 En presencia de un campo eléctrico alterno de la forma E 0 e i t CONDUCTIVIDAD versus SUSCEPTIBILIDAD (ELÉCTRICAS) Conductividad Susceptibilidad

20 La resonancia ciclotrónica es un fenómeno de absorción resonante de ondas de alta frecuencia (microondas), en presencia de un campo magnético intenso (campo eléctrico E 0 e i t y soluciones de la forma v= v 0 e i t ): Campo débil Campo intenso RESONANCIA CICLOTRÓNICA

21 La parte real del tensor conductividad tiene un máximo para = C, lo que indica que habrá un fenómeno resonante a esa frecuencia. Este fenómeno constituye la base del método más preciso utilizado para medir la masa efectiva (m*=eB res / ) según diferentes direcciones: Se han de producir dos condiciones: (i)campo intenso ( C >>1), para que un electrón complete varias órbitas ciclotrónicas sin ser dispersado, (ii)(ii) la energía que ganan los electrones al absorber las microondas ha de ser mayor que su energía térmica media ( ).

22 Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica

23 b) Mínimo o máximo en k=0 (hexagonal o tetraédrico) o k 0 (cúbico) a) Mínimo o máximo en k=0 (cúbico)


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