DISEÑO FACTORIAL. En muchas situaciones experimentales resulta de interés estudiar los efectos producidos por dos o más factores simultáneamente; esto.

Presentación del tema: "DISEÑO FACTORIAL. En muchas situaciones experimentales resulta de interés estudiar los efectos producidos por dos o más factores simultáneamente; esto."— Transcripción de la presentación:

1 DISEÑO FACTORIAL

2 En muchas situaciones experimentales resulta de interés estudiar los efectos producidos por dos o más factores simultáneamente; esto se logra con la ayuda de los Diseños Factoriales. En general los Diseños Factoriales producen experimentos más eficientes, ya que cada observación proporciona información sobre todos los factores, y es posible ver las respuestas de un factor en diferentes niveles de otro factor en el mismo experimento. Por lo tanto, se entiende por Diseño Factorial a aquel diseño en el cual se pueden estudiar los efectos de dos o más factores de variación a la vez; es decir, que se puede investigar todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento.

3 Cada uno de los factores en estudio varían en su aplicación, a esta variación se le llama Niveles del Factor. Las combinaciones de los niveles de cada factor, forman los respectivos tratamientos.

4 Existen experimentos factoriales Balanceados y Desbalanceados; diremos que es balanceado cuando el número de réplicas es igual para cada uno de los tratamientos usados en el experimento; en caso contrario es Desbalanceado; también se puede dar el caso en que sólo exista una sola réplica para cada tratamiento. Los Diseños factoriales se pueden combinar con los Diseños Completamente al Azar (Unifactoriales), o con el Diseño de Bloques Aleatorios, etc., dependiendo de la naturaleza del experimento.

5 Entre las Ventajas de usar un diseño Factorial, se pueden mencionar las siguientes: 1) Ahorro y economía del recurso experimental; ya que cada unidad experimental provee información acerca de dos o más factores, lo que no sucede cuando se realiza con una serie de experimentos simples. 2) Da información respecto a las interacciones entre los diversos factores en estudio. 3) Permite realizar estimaciones de las interacciones de los factores, además de los efectos simples. 4) Permite estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.

6 La única desventaja es que si el número de niveles de algunos de los factores o el número de factores es demasiado grande, entonces el número de todas las combinaciones posibles de tratamientos de factores llega a ser un número grande, en consecuencia la variabilidad en el experimento podría ser grande. Estas dos situaciones, pueden hacer difícil detectar los efectos significativos en el experimento.

7 Se entiende por efecto de un factor al cambio en la respuesta media ocasionada por un cambio en el nivel de ese factor. En los diseños factoriales existen tres efectos, los cuales son: 1) Efecto Simple: son comparaciones entre los niveles de un factor a un sólo nivel del otro factor. 2) Efecto Principal: son comparaciones entre los niveles de un factor promediados para todos los niveles del otro factor. 3) Efecto de Interacción: Miden las diferencias entre los efectos simples de un factor a diferentes niveles de otro factor; es decir, la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores.

8 En un experimento factorial se puede estimar y contrastar hipótesis acerca de las interacciones y los efectos principales. Existe interacción entre los factores, si la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Una interacción puede ser doble, triple, cuádruple, etc. según el número de factores que sean considerados en el experimento.

9 se puede utilizar el Triángulo de Pascal para encontrar el número de efectos principales y las interacciones:

10 En los diseños factoriales se pueden estudiar los efectos de dos, tres y más factores a la vez. Pero es realmente complejo en diseños con tres o mas factores. Sin apoyo de software estudiaremos los efectos de dos factores en el taller ustedes trabajarán en diseños de mas de 2 factores, si lo han planteado así.

11 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES El diseño factorial más simple o sencillo es aquel que involucra en su estudio sólo dos factores o conjunto de tratamientos; es decir, que sólo se está interesado en los efectos que producen estos dos factores. A este tipo de diseño se le llama Bifactorial. Si A y B son los factores que se van ha estudiar en un diseño factorial, el factor A tendrá "a niveles" y el factor B tendrá "b niveles", entonces cada repetición o réplica del experimento contiene todas las "ab" combinaciones de los tratamientos y en general hay "n" repeticiones.

12 El orden en el cual se toman las "abn" observaciones es aleatorio; de modo que este es un diseño completamente aleatorizado. Si se considera que los niveles del factor A son a1, a2 y los del factor B son b1, b2 entonces se tiene:

13 Los tratamientos estarán formados por las combinaciones de los niveles de ambos factores; es decir, que existen cuatro tratamientos los cuales son: Tratamiento 1: a1b1Tratamiento 2: a1b2 Tratamiento 3: a2b1Tratamiento 4: a2b2

14 Forma Gráfica de observar la Interacción. Para observar la interacción entre el factor A y el factor B, se debe realizar una gráfica de la respuesta de los datos, contra los niveles del factor A, para ambos niveles del factor B, de la siguiente manera:

15 En la Figura 1, podemos observar que las rectas que se forman son aproximadamente paralelas lo cual indica que no existe interacción entre el Factor A y el Factor B; mientras que en la Figura 2, las dos rectas que se forman no son paralelas y se intersectan, lo que significa que existe interacción entre el Factor A y el Factor B. Los "a" niveles del factor A y los "b" niveles del factor B, pueden ser elegidos aleatoriamente de poblaciones más grandes, entonces se dice que el factor A y el factor B son aleatorios; en este caso las inferencias pueden generalizarse a todos los niveles de las poblaciones bajo estudio, porque los niveles de los factores se eligieron al azar.

16 También el experimentador puede elegir específicamente los " a" niveles del factor A y los " b" niveles del factor B usados en el experimento, entonces se dice que el factor A y el factor B son fijos; por lo tanto las inferencias hechas con base en el Análisis de Varianza pueden aplicarse solamente a los niveles específicos del factor A y el factor B que se probaron.

17 En consecuencia de lo anterior, se pueden dar los siguientes casos: 1) El factor A y factor B son fijos, entonces el Modelo que resulta es el Modelo de Efectos Fijos. 2) El factor A y factor B son aleatorios, entonces el Modelo que resulta es el Modelo de Efectos Aleatorios. 3) El factor A es aleatorio y el factor B es fijo, o viceversa, el Modelo que resulta es el Modelo Mixto.

18 Ejemplo Se realizó un estudio para comparar las duraciones de escritura de cuatro marcas de lapiceros de primera calidad. Se pensó que la superficie de escritura podría afectar la duración, por lo que se seleccionaron tres superficies diferentes. Se diseñó una “máquina de escribir” para asegurar que las condiciones fueran homogéneas (por ejemplo, presión constante y un ángulo fijo). Para el estudio se obtuvieron dos duraciones (en minutos) para cada combinación de marcas de superficie.

19 Interpretación. En el ejemplo, se puede observar que existen dos factores de interés el factor A que es la marca del lapicero; y como son cuatro marcas de lapiceros las que compara su duración entonces el factor A tiene 4 niveles. Mientras que el factor B son las superficies donde se prueba cada marca de lapicero y se utilizan tres superficies, por lo tanto el factor B tiene 3 niveles. El objetivo del experimento es determinar si la superficie de la escritura afecta la duración de los lapiceros.

20 Este experimento así como esta planteado corresponde a un Modelo Mixto; ya que el Factor A es fijo, porque sólo hay cuatro marcas de interés para los experimentadores y todas están representadas en el experimento. El factor B, sin embargo es aleatorio, porque las tres superficies fueron seleccionadas de varias superficies y no son las tres superficies escogidas específicas en realidad las que son de interés.

21 REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE LOS DATOS Suponiendo que existen dos factores, el factor A con "a" niveles y el factor B con "b“ niveles y cada nivel con ”n“ réplicas o repeticiones en el experimento; por lo tanto, la representación de los datos observados para un diseño Bifactorial será de la siguiente forma:

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23 Sea yijk la respuesta observada cuando el factor A se encuentra en i-ésimo nivel (i=1,2,…,a), el factor B en el j-ésimo nivel (j=1,2,….,b) y la k-ésima observación (k=1,2,….,n). El número total de observaciones en el experimento será: N = abn, porque se realizan n réplicas.

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25 Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

26 MODELO ESTADÍSTICO Las observaciones descritas en el cuadro anterior, pueden ser representadas mediante el Modelo Lineal siguiente:

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28 SUMAS Y MEDIAS DE CUADRADOS Del estudio de la descomposición de la variabilidad total de los datos, en sus partes que esta compuesta; es de lo que se encarga el Análisis de Varianza. Sea: SST : Suma total de cuadrados SSA : Suma de cuadrados debida a las filas o al factor A SSB : Suma de cuadrados debida a las columnas o al factor B. SSAB : Suma de cuadrados debida a la interacción entre el factor A y el factor B. SSE : Suma de cuadrados debida al error.

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30 Matemáticamente estas sumas de cuadrados se obtienen de la siguiente manera: Sumas de cuadrados para los efectos principales.

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33 ANÁLISIS ESTADÍSTICO En un diseño Bifactorial, tanto los factores (o tratamientos) de renglón como de columna tienen la misma importancia. A continuación se presentan las bases estadísticas para estos diseños. Las hipótesis se prueban acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón (Factor A), la igualdad de los efectos de tratamiento de columna (Factor B) y también es interesante determinar si los tratamientos de renglón y columna interaccionan (interacción AB). El procedimiento para obtener la tabla de Análisis de Varianza de cada uno de los Modelos descritos es similar, la diferencia radica en el cálculo del estadístico (F0). A continuación se presenta la tabla de Análisis de Varianza, detallando tal diferencia para cada uno de los Modelos y considerando en el de efecto mixto al factor A como fijo.

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35 Para determinar el estadístico (Fo) de los efectos, se deben observar los valores esperados de las medias de cuadrados definidas anteriormente; y evaluar el efecto que tiene la hipótesis nula. El Fo adecuado para probar la respectiva hipótesis será el numerador su respectiva media de cuadrados y el denominador una de las restantes que tenga igual valor esperado que la del numerador; cuando la hipótesis nula sea verdadera.

36 En la siguiente tabla se presentan los Modelos con sus hipótesis a probar y sus respectiva Región de rechazo de la Hipótesis nula, con el FTablas que correspondena la distribución F con sus grados de libertad del numerador y denominador para cada caso.

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39 Ejemplo Se llevó a cabo un estudio del efecto de la temperatura sobre el porcentaje de encogimiento de madera al secado, con dos réplicas para cada uno de cuatro tipos de madera en un diseño de efectos fijos. Los datos son el porcentaje de encogimiento de dos réplicas de madera secadas a cuatro temperaturas; los cuales se muestran a continuación.

40 madera

41 Solución En este ejemplo el análisis se hará como un Modelo de Efectos Fijos; ya que el investigador define con su propio criterio las temperaturas y los tipos de madera que va a utilizar para llevar a cabo este experimento. Variable Respuesta: Porcentaje de encogimiento de la madera.

42 Planteamiento de las Hipótesis a probar: Con el objetivo de ejemplificar el Análisis de Varianza de este tipo de Modelo, se plantearan las tres hipótesis en forma Estadística que se desean probar. a)H0 : ι1 = ι2 = ι3 = ι4 =0 H1 : Cuando menos un ιi ≠0 b)H0 : β1 = β2 = β3 = β4 =0 H1 : Cuando menos un βj ≠0 c)H0 : (ιβ)ij = 0, para todo ij H1 : Cuando menos un (ιβ)ij ≠0

43 Forma verbal de las Hipótesis: a)H0 : El tipo de tela no influye en el porcentaje de encogimiento de la madera H1 : El tipo de tela influye en el porcentaje de encogimiento de la madera. b)H0 : Los niveles de temperatura no influyen en el porcentaje de encogimiento de la madera. H1 : Los niveles de temperatura influyen en el porcentaje de encogimiento de la madera. c)H0 : La combinación del tipo de madera y la temperatura no influye significativamente en el porcentaje de encogimiento de la madera. H1 : La combinación del tipo de madera y la temperatura influye significativamente en el porcentaje de encogimiento de la madera.

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45 A continuación se presenta la tabla de datos con sus respectivos totales por celda que se calcularon anteriormente: madera

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47 Madera madera

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49 Tomando α = 0.05, encontrando para cada hipótesis a probar sus respectivos FTablas, se tiene: a) Fα,a-1,ab(n-1) = F0.05,4 -1,4(4)(2 - 1) = F0.05,3,16 = 3.24 b) Fα,b-1,ab(n-1) = F0.05,4 -1,4(4)(2 - 1) = F0.05,3,16 = 3.24 c) Fα,(a-1)(b-1),ab(n-1) = F0.05,(4 -1)(4 -1),4(4)(2 - 1) = F0.05,9,16 = 2.54 madera

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51 PROBLEMA El máximo voltaje de salida de un tipo particular de almacenaje de baterías, se cree que sea influenciado por el material usado en la cubierta de la batería y por ciertas variaciones externas de temperatura. Cuatro réplicas de un experimento factorial son corridas en el laboratorio para tres materiales y tres temperaturas; los cuales fueron obtenidos aleatoriamente de un gran número de tipos de materiales y un gran número de temperaturas. Los resultados son mostrados en la siguiente tabla.

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53 Pruebe que la influencia de el material usado y ciertas variaciones externas de la temperatura afectan el máximo voltaje de salida de un tipo particular de almacenaje de baterías.

54 Solución En este ejemplo el análisis se hará como un Modelo de Efectos Aleatorios; ya que el investigador obtiene los tipos de materiales y las temperaturas de un conjunto de forma aleatoria. Variable Respuesta: Máximo voltaje de salida de las baterías. Planteamiento de las Hipótesis a probar:

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70 Se desean evaluar los rendimientos en Ton/Ha de tres variedades de frijol (Calima, Ica-Pijao y Mortiño y tres niveles de fertilizante fosforado (0 (testigo), 300 y 400 Kg/Ha) La tabla de datos de rendimiento en Ton/Ha, obtenidos se encuentran en la siguiente tabla:

71 VariedadDosis de fertilizante (Kg/Ha) 0300400 CALIMA1.01.52.0 1.81.5 2.5 1.5 2.52.82.0 ICA-PIJAO1.03.02.0 2.4 2.33.52.0 1.03.51.5 MORTIÑO1.52.12.0 1.02.01.5 0.71.80.8 1.61.51.0