MATRICES Y DETERMINANTES Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Matrices.

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1 MATRICES Y DETERMINANTES Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Matrices inversibles Si a es un número real distinto de cero, entonces a -1 = 1/a es el inverso multiplicativo de a, es decir, aa -1 = a(1/a) =1. La definición del inverso multiplicativo de una matriz cuadrada es similar. Sea A= [a ij ] una matriz de n x n. Si existe una matriz B tal que AB = BA = I n Entonces B es la inversa de A. Escribimos B=A -1 (se lee “A inversa”) AA -1 = A -1 A = I n

2 MATRICES Y DETERMINANTES  Por Por el método de Gauss-Jordan  Directamente Directamente Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

3 MATRICES Y DETERMINANTES La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A -1 · A = I, con lo cual es realmente la inversa de A. Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A -1 = I, es decir Para ello planteamos el sistema de ecuaciones (multiplicando las matrices) : Cálculo Directo de la Matriz Inversa 2a - c = 1 a + c = 0 2b – d = 0 b + d = 1 }

4 MATRICES Y DETERMINANTES Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.Gauss-Jordan Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I I n ) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (I n I B). La matriz B será, evidentemente, la inversa de A. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

5 Gauss, Carl Friedrich b. April 30, 1777, Brunswick [Germany] d. Feb. 23, 1855, Göttingen, Hanover Matemático alemán quien también realizó contribuciones a otras ciencias. La transformación de un sistema a su forma triangular es eliminación gaussiana. Una combinación de las operaciones siguientes transformará una matriz en su forma escalonada por renglones.

6 OPERACIONES ELEMENTALES POR RENGLON SOBRE UNA MATRIZ. 1. Intercambiar el lugar de dos filas entre sí. 2. Multiplicar o dividir todos los elementos de un renglón por un número real distinto de cero. 3. Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real distinto de cero.

7 Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz En primer lugar triangulamos inferiormente (ceros por debajo de la diagonal principal) aplicando las operaciones elementales por renglón o fila:En primer lugar triangulamos inferiormente (ceros por debajo de la diagonal principal) aplicando las operaciones elementales por renglón o fila: Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente: Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad: De donde, la matriz inversa de A es Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan 32 1 4 [ | [ 1 0 0 1 F 1 –3 F 2 32 0 -10 [ | [ 1 0 1 -3 → 32 0 -10 [ | [ 1 0 1 -3 F 2 + 5F 1 15 0 0 -10 [ | [ 6 -3 1 -3 → 15 0 0 -10 [ | [ 6 -3 1 -3 1/15 F 1 1 0 0 -10 [ | [ 6/15 -3/15 1 -3 → 1 0 0 -10 [ | [ 6/15 -3/15 1 -3 - 1/10F 2 1 0 0 1 [ | [ 6/15 -3/15 -1/10 3/10 →

8 Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan 2º.- Triangulamos (ceros por debajo de la diagonal principal) empleando operaciones elementales con filas y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha. Queremos calcular la inversa de 1º.- Se escribe la matriz A y junto a ella la matriz identidad, Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa. 3º.- Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha. 4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente. VOLVER