LOGO Medidas de posición Pedro Godoy G. Media Aritmética Valor representativo de un conjunto de datos Para datos no agrupados 1, x2, x3, x4,…………………………,

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2 LOGO Medidas de posición Pedro Godoy G.

3 Media Aritmética Valor representativo de un conjunto de datos Para datos no agrupados 1, x2, x3, x4,…………………………, xn un conjunto Sean x1, x2, x3, x4,…………………………, xn un conjunto de datos no agrupados Donde n es la cantidad de elementos de la muestra

4 Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). NOTA: en las poblaciones se denominan parámetros y en las muestras se les denomina estimadores.

5 Propiedades La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que

6 En datos agrupados intervaloMarca de claseFrecuencia absoluta 1 – 625 7 – 1232 13 – 1842 19 – 2452 25 – 3038 31 – 3627 Total

7 Mediana La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

8 La mediana de un conjunto de datos es un valor que supera al 50% de la muestra y al mismo tiempo es superado por el otro 50 % de la muestra Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son: Ejemplo: 72, 65, 71, 56, 59, 63, 72 1º. Ordenamos los datos: 56, 59, 63, 65, 71, 72, 72 2º. El dato que queda en el centro es 65. La mediana vale 65. Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: Caso: La mediana

9 Mediana para datos agrupados Intervalo fifi Fac 20- 2428 25 - 2933 61 30-3436 97 35-3945 142 40 – 4435 177 45 – 4925 202 50 – 5410 212 55 – 5936 248 60 – 648 256 total256 1° paso : Obtener la frecuencia acumulada 2° paso : buscar la frec acumulada mas pequeña que supere a la mitad de la muestra 3° paso : Obtener el intervalo mediano Fórmula

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12 Cuartiles 25%50%75% 8,3,2,5,6,7,5,4,3,2,6,7,8,9,9,2,4,5,7,6,4,3,4,5,6,7 2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,8,8,9,9, Ordenados de menor a mayor

13 1.Dividir la muestra en 4, o sea calcular n/4 2.Buscar la Fac más pequeña que supere a n/4 3.Usar la fórmula 4.Para el cálculo de Q3 se hace lo mismo ( procedimiento) pero con el 75% de la muestra Cuartiles en datos agrupados

14 Intervalo xi fi Fac 0-4,9 2,45 171 5 – 9,9 7,45 371 542 10 - 14,9 12,45 298 840 15 – 19,9 17,45 446 1286 20 – 24,9 22,45 623 1909 25 - 29,9 27,45 561 2470 30 – 34,9 32,45 247 2717 35 – 39,9 37,45 245 2962 40 – 44,9 42,45 222 3184 45 – 49,9 47,45 592 3776 50 – 54,9 52,45 148 3924 55 - 59,9 57,45 126 4050 60 – 64,9 62,45 105 4155 65 – 69,9 67,45 78 4233 70 – 74,9 72,45 52 4285 75 – 79,9 77,45 30 4315 80 – más 82,45 27 4342 Total4342

15 Deciles  Divide la muestra en 10 partes, o sea hay nueve deciles 10%30% 50%70%90% El cálculo es igual al de los cuartiles ya sea para datos agrupados, como no agrupados

16 Percentiles  Lo mismo El entero se divide en 100 partes iguales, por lo que hay 99 percentile, el percentil 50 coincide con la mediana y con Q2 y D5 Su cálculo, se deduce según su definición La elección de los intervalos es la misma de siempre

17 Quintiles  Lo mismo nuevamente La muestra se divide en 5 partes Existe 4 quintiles K1 K2 K3 K4 20% 40% 60% 80% La elección del intervalo es siempre la misma

18 La moda es una medida de tendencia central que indica cuál es la puntuación, categoría o modalidad que más se repite en el conjunto de medidas. Moda

19  Si todas las puntuaciones de una distribución tienen la misma frecuencia consideraríamos que no existe moda.  Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que dos de ellas son adyacentes, tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la moda es el promedio de estas dos puntuaciones.  Ejemplo: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10 En este caso la moda sería la media entre 6 y 7. M o = 6,5  En el caso de encontrarnos con dos puntuaciones que sin ser adyacentes tienen la misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación cualquiera, entonces nos encontramos con una distribución bimodal.  Ejemplo: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7 Mo = 3Mo = 6

20  Si los datos están agrupados, entonces la moda es el punto medio del intervalo que registra la mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. Con datos agrupados se aplica la siguiente fórmula: d 1 : diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el intervalo anterior. d 2 : diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el inmediato superior. L i : es el límite inferior real del intervalo modal. I: amplitud del intervalo.

21  La siguiente tabla presenta la frecuencia de edades de una muestra agrupada por intervalos. Calculemos la moda de las edades. Edadesfifi 16 - 218 22 – 2712 28 – 3318 34 – 3917 40 – 4517 46 – 5112 52 – 578 58 – 639 64 – 693 a)Primero se debe calcular el punto medio del intervalo modal. En este caso el intervalo modal es el 28 – 33 y su punto medio es 30,5. b)Calculamos ahora las diferencias de las frecuencias del intervalo modal con el intervalo anterior y posterior: d1 = 18 – 12 = 6 d2 = 18 – 17 = 1 c)Ahora aplicamos la fórmula: