Algebra de Boole. Objetivo Objetivo: El estudiante identificará la lógica Booleana, así como los teoremas básicos de ésta. Dominio: Desarrollo de las.

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1 Algebra de Boole

2 Objetivo Objetivo: El estudiante identificará la lógica Booleana, así como los teoremas básicos de ésta. Dominio: Desarrollo de las capacidades para interpretar, aplicar y establecer conexiones con operadores lógicos entre proposiciones lógicas

3 Algebra de Boole El sistema matemático El sistema matemático Booleano Proposiciones Conectores y tablas de verdad Proposiciones complejas Operaciones lógicas binarias

4 El sistema matemático POSTULADOS DE UN SISTEMA MATEMATICO PARA TODO x, y Є S 1. CONJUNTO CERRADO 2. LEY ASOCIATIVA (x*y)*z = x*(y*z) 3. LEY CONMUTATIVA x*y = y*x 4. ELEMENTO DE IDENTIDAD e*x = x*e = x 5. INVERSO para cada x Є S existe un elemento y Є S / x*y = e 6. LEY DISTRIBUTIVA x*(y.z) = (x*y). (x*z)

5 Definiciones axiomáticas del Algebra de Boole 1. a. CONJUNTO CERRADO RESPECTO AL OPERADOR + b. CONJUNTO CERRADO RESPECTO AL OPERADOR. 2. a. IDENTIDAD RESPECTO A + b. UN ELEMENTO DE IDENTIDAD RESPECTO A. 3. a. CONMUTATIVO RESPECTO A + b. CONMUTATIVO RESPECTO A. 4. a. EL. DISTRIBUTIVO RESPECTO A + : x.(y+z) = (x.y)+(x.z) b. EL + DISTRIBUTIVO CON RESPECTO A EL. x + (y.z) = (x+y). (x + z) 5. PARA x Є B, EXISTE UN x' Є B DE MODO QUE x + x' = 1 6. EXISTEN POR LO MENOS 2 ELEMENTOS EN B / x ≠ y

6 Teorema y postulados básicos del A.B DUALIDAD TEOREMAS BASICOS TEOREMA 1 A. x + x = xB. x. x = x TEOREMA 2 A. x + 1 = 1B. x. 0 = 0 TEOREMA 3 A. (x')' = x involución TEOREMA 4 A. x+(y+z) = (x+y)+zB. x.(y.z) = (x.y)+(x.z) asociativo TEROREMA 5 A. (x+y)'= x'.y‘B. (x.y)'= x'+y‘ de Morgan TEOREMA 6 A. x+xy = xB. x.(x+y) =x POSTULADO 2 A. x+0 = xB. x.1 = x POSTULADO 3 A. x+y = y+xB. x.y = y.x conmutativo POSTULADO 4 A. x(y+z) = (x.y)+(x.z)B. x+y.z = (x+y).(x+z) distribu. POSTULADO 5 A. x+x' = 1 B. x.x' = 0

7 Proposiciones Una proposición es un enunciado o una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Una proposición es verificable, por ende, es un elemento fundamental de la lógica matemática y de la lógica digital.

8 Proposiciones p: La tierra es plana. q: -12 + 28 = 21 r: x > y + 1 s: El Cortulua será campeón en la presente temporada de Fútbol colombiano. t: Hola ¿Qué tal? v:Bogotá es la capital de Colombia w: Lava el coche, por favor

9 Conectores y tablas de verdad AND conjunción OR Disyunción NOT negación NAND NOR XOR XNOR

10 Operador and (y) - Operación Conjunción [i] [i] Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir (ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {, un punto (.), un paréntesis, o también, }. Se le conoce como la multiplicación lógica (en la matemática booleana) [i] LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática para computación. McGraw-Hill. 1985

11 Operador AND - Conjunción La proposición “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería” está formada por dos proposiciones simples: q y r q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. Con p: El coche enciende. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p = q  r

12 Tabla de la conjunción.q.q.r.r.p: q  r 000 010 100 111

13 Diagrama de Venn de la disyunción

14 Diagrama circuital y compuerta

15 Operador O - Disyunción Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {,+,}. Se conoce como las suma lógica en el Álgebra Booleana. En términos literales se comporta como y/o.

16 Operador O - Disyunción Por ejemplo: 1.p: “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde. p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase. La proposición compuesta es p: q v r y la tabla de verdad representativa es:

17 Operador O - Disyunción.q.q.r.r.p: q  r 000 011 101 111

18 Diagrama de Venn de la conjunción

19 Circuito conmutacional y compuerta

20 Operador Not (no) – Operación negación Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ,  }. Por

21 Operador Not (no) – Operación negación Ejemplo. Teniendo la proposición : p: La capital de Francia es Paris (p = 1), su negación será : p’: no es la capital de Francia Paris(p’= 0).p.pp’ 10 01

22 Diagrama de Venn (complemento)

23 Conmutacional y compuerta

24 La O exclusiva (Disyunción exclusiva) Es el operador que conecta dos proposiciones en el sentido estricto de la “o” literal, o es blanco o es negro; es o no es. El operador se denomina XOR, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son verdaderas el resultado es falso, igual si las dos son falsas. Se nota como .

25 La O exclusiva (Disyunción exclusiva) r:Antonio canta o silva La proposición está compuesta por las proposiciones p:Antonio Canta q:Antonio silva Su notación es:p:r  q

26 Tabla de verdad La O exclusiva.p.p.q.q.r = p  q 000 011 101 110

27 Diagrama de Venn O exclusiva.p  q

28 O exclusiva conmutacional

29 No AND Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado falso, en cualquier otro caso la proposición compuesta es verdadera. Su símbolo es: {()’, (.)’, ()’}. De tal manera que la representación de una proposición queda como sigue: p = (q  r)’

30 Tabla NAND.q.q.r.r p = (q  r)’ 001 011 101 110

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33 No OR NOR Es el Inverso de la disyunción, se obtiene con este operador un resultado verdadero cuando las proposiciones son falsas. En cualquier otro caso da un resultado falso. Se e indica por medio de los siguientes símbolos: {()’, (+)’, ()’}. Se conoce como las suma lógica inversa en el Álgebra Booleana. La proposición compuesta es r:(p  q)’

34 NOR.p.p.q.q.r = (p  q)’ 110 100 010 001

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36 No OR exclusiva XNOR Es el operador que niega al conector O exclusivo, así, que tan solo es verdadera la proposición compuesta sí, o, bien, las dos son verdaderas o las dos son falsas(más adelante veremos que también se denomina equivalencia). El operador se denomina XNOR, Se nota como, algunos también lo notan como ( )’.

37 XNOR.p.p.q.q.r = p q 001 010 100 111

38 XNOR