Villamizar Luis Miguel. Variables aleatorias Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números.

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1 Villamizar Luis Miguel

2 Variables aleatorias Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales. Tipos de variables aleatorias Variable aleatoria continua: Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1. Variable aleatoria discontinua: Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

3 Axiomas Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1993. Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas. Axioma uno. La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 p(A) 1 Axioma dos. La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1. p () = 1 Axioma tres. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces: p(AB) = p(A) + p(B). Generalizando: si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces: p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) +.......+ p(An).

4 Teorema de la probabilidad TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero. P () = 0 DEMOSTRACIÓN: Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A) = p(A) +p() = p(A). LQQD TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A) DEMOSTRACIÓN: Si el espacio muestral, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p() = p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p() = 1, por tanto, p(Ac) = 1 - p(A). LQQD TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B). DEMOSTRACIÓN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B = A(B \ A) y p(B) = p(A) + p(B \ A), luego entonces si p(B \ A) 0 entonces se cumple que p(A) p(B). LQQD

5 TEOREMA 4. La p( A \ B ) = p(A) – p(AB) DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A = (A \ B) (AB), luego p(A) = p(A \ B) + p(AB), entonces: p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB). DEMOSTRACIÓN: Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB). LQQD