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Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder RSA: Cifrado de clave pública Los matemáticos se han ocupado desde siempre de.

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1 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder RSA: Cifrado de clave pública Los matemáticos se han ocupado desde siempre de estudiar las propiedades de los números. Los números primos han sido y son un tema de estudio, por ejemplo el intento por parte de varias generaciones de matemáticos para demostrar la Hipótesis de Rieman está dando lugar a nuevos resultados matemáticos que engrosan la literatura que ya existe sobre estos números Cualquier tonto puede hacer preguntas sobre los números primos que el más sabio de los hombres no puede contestar G.H. Hardy 6,3 millones de dígitos Se han encontrado números primos muy grandes con propiedades matemáticas interesantes, por ejemplo se conoce un número primo con unos 6,3 millones de dígitos.

2 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder RSA: Cifrado de clave pública Los sistemas de clave pública permiten un alto grado de seguridad: se elimina el problema del intercambio de claves para comunicaciones en forma segura. Cada usuario puede hacer público el modo de cifrar mensajes, sin que a partir de esos datos se pueda saber como descifrar. Los sistemas de clave pública se basan en algún problema matemático considerado difícil. El sistema de cifrado de clave pública más extendido es el método RSA: se basa en la dificultad de hallar los factores primos de un número n producto de dos primos muy grandes. (sabemos que no existen algoritmos de tiempo polinomial) Sin entrar en detalles demasiado técnicos, vemos cómo funciona y por qué es seguro.

3 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder RSA: Cifrado de clave pública Ronald Lorin Rivest Nace en 1947 Adir Shamir Nace en 1952 Leonard Adleman Nace en 1945 En 1978, Rivest, Shamir y Adleman, idearon un sistema criptográfico que se conoce por R.S.A., en su honor. A diferencia de los sistemas de clave simétrica (el emisor y el receptor tienen que conocer la misma clave), en RSA es el receptor B quien tiene TODA la clave; el emisor A conoce la parte pública de la clave, que sirve para cifrar mensaje. El receptor guarda muy cuidadosamente la parte privada de la clave, que sirve para descifrar.

4 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Esquema a seguir para cifrado de clave pública

5 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Esquema para cifrado de clave pública: ejemplo holawqqa hola P(26, 2) S(26, 5)

6 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Antes de empezar, juega un poco Piensa dos números que sean primos: a y b Multiplícalos y llama P al resultado: P = a*b Resta 1 a los dos números, multiplica los números que obtienes súmales uno y llama Z al resultado: Z = (a-1)*(b-1) + 1 Piensa un número Q más pequeño que P Eleva Q a la potencia Z (¿Verdad que el número obtenido es muy grande?) Divide este gigantesco número entre P y observa el resto de la división ¿A que adivino el número que te ha salido? No falla, el resto es siempre el número que has pensado Q

7 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Antes de empezar, juega un poco

8 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder ¿Por qué no se puede descifrar? Estos sistemas se basan en la posibilidad de representar la misma información de dos formas diferentes tales que pasar de una forma a la otra es fácil, pero pasar de la 2ª a la 1ª es prácticamente imposible. principio En RSA, en principio es lo mismo tener los números primos 3 y 11 que tener su producto, 33. (dados dos números es fácil multiplicarlos, y dado un número es teóricamente posible factorizarlo en producto de números primos). Los ordenadores encuentran con rapidez números primos grandes y también puede multiplicarlos en una milésima de segundo para obtener un resultado de doscientas cifras. Esto se hace cada vez que visita una página segura, la web browser genera sobre la marcha una nueva clave de usar y tirar. Pero, ¿cuánto cuesta descomponer en factores primos un número con doscientas cifras? Esto es lo que garantiza la seguridad del sistema, es prácticamente imposible.

9 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Clave pública: RSA El criptosistema RSA consta de tres pasos: 1. Generación de las claves 2. Cifrado del mensaje 3. Descifrado del criptograma

10 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Cifrado clave pública: RSA Vamos a generar las claves de forma parecida al juego de antes Paso 1: El receptor B elige dos números primos suficientemente grandes, p y q Paso 2: Halla N = pq Paso 3: Calcula (N) = (p – 1)(q – 1) que es la función del indicador de Euler (nos da la cantidad de números primos con N y menores que N). Paso 4: Elige un número e < (N), tal que mcd(e, (N) ) = 1, e y z son primos entre sí, o primos relativos (se puede tomar e primo directamente y mayor que p y q, asi no hay dudas de que sean primos entre ellos). Paso 5: Se obtiene un número d, tal que 1 < d < (N) y de forma que ed 1(mod (N)) Existen resultados matemáticos que garantizan que este número existe y es único

11 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Cifrado clave pública: RSA Paso 6. La clave pública está constituida por P(N, e), que es enviada a los demás usuarios, y la secreta es S(N, d), que la conserva el usuario. Cifrado del mensaje Para cifrar, el remitente A realiza los pasos siguientes Paso 7. Localiza la clave pública del destinatario Paso 8. Utiliza la función: C M e (mod N) siendo M el mensaje original y C el mensaje codificado. Paso 9: Envía al destinatario el criptograma C

12 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Cifrado clave pública: RSA Descifrado del mensaje Paso 10: Para recuperar el mensaje que se le ha enviado, el destinatario A usa su clave privada para calcular: M C d (mod N) = (M e (mod N)) d modN

13 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Ejemplo de cifrado RSA Vamos a cifrar el mensaje: CIFRANDO CON RSA Utilizaremos primos muy pequeños, 1. Elegimos los primos p = 17 y q = 2 2. Calculamos N = p·q = (N) = (17 – 1)(2 – 1) = Tomamos d = 3, siendo mcd(3, 16) = 1 4. Buscamos e = Clave secreta: S(34, 3) la guarda el usuario A; Clave pública: P(34, 11) es distribuida, y llega hasta el usuario B Podemos usar siendo x un número natural, hasta que el cociente no tenga resto (e ha de ser entero) Estos números deben ser tales que N sea mayor que

14 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Ejemplo de cifrado RSA Expresamos el mensaje en cifras Ciframos (letra a letra por comodidad de las operaciones) mod34 = 2048 mod34 = mod34 = mod34 = 02 …………………………. Estos cálculos se pueden realizar con ordenador. En la práctica se usan técnicas matemáticas que permiten calcular estas potencias de forma fácil (aunque se usen ordenadores) CIFRANDOCONRSA

15 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Ejemplo de cifrado RSA CIFRANDOCONRSA IBLRAUHJDIJUDRYa Ejemplo de cómo se hace pública la clave de alguien

16 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Clave pública: RSA La seguridad del sistema está en que nadie conozca los factores del número N = p.q Si conozco p y q puedo calcular: (N) = (p - 1).(q – 1) Con este número y con el algoritmo de Euclides extendido se calcula el inverso d de e en Z N (recordar que e se conoce ya que forma parte de la clave pública) Conocido d y con el mensaje cifrado se descifra realizando la operación de antes Por eso es tan importante asegurarse de que los números p y q son muy grandes ya que así factorizar N será muy difícil (computacionalmente hablando)

17 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Factorización de números RSA El propio Rivest propuso en 1977 que se intentara factorizar un número de 129 dígitos con el fin de comprobar la robustez del sistema. Predijo que harían falta 4 * años de computación para lograrlo (con los medios tecnológicos y los algoritmos de ese momento) La factorización del famoso número RSA-129 Se logró el 2 de abril de 1994 (SOLO SE NECESITARON 8 MESES DE TRABAJO GRACIAS A UN METODO DE TRABAJO QUE RECIBE EL NOMBRE DE LA CRIBA CUADRÁTICA

18 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder En la Universidad de Syracuse (Nueva York) un grupo de investigadores propusieron repartir el trabajo en Internet entre miles de voluntarios: Cada persona recibió un programa que aprovechaba los momentos ociosos de su CPU. Estos devolvían sus cálculos a la sede central y se almacenaban para usarlos después Tras varios meses de cálculos en paralelo se factorizó RSA-129 Y se pudo descifrar el mensaje original de Rivest = × Factorización de números RSA

19 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Después se intentó factorizar el número RSA-130 = Se necesitó otro método de criba llamada criba del cuerpo de números y con un gasto computacional 1000 MIPS-año el 10 de abril de 1996 se calcularon los dos factores del número 1 MIP-año es el gasto computacional de una CPU realizando 10 6 instrucciones por segundo 31´ instrucciones de CPU p = , q = Factorización de números RSA

20 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder El polinomio empleado en esta factorización fue: P(x) = x x 4 – x x x – Factorización de números RSA

21 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder OTROS NÚMEROS RSA ROTOS El siguiente récord conseguido fue la factorización de un número de 140 dígitos el 2 de febrero de 1999, también mediante la criba del cuerpo de números: RSA140 = , que se puede escribir como el producto de dos primos de 70 dígitos: p = , q =

22 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder OTROS NÚMEROS RSA ROTOS El último récord de criptosistema roto ha sido la factorización de un nº RSA de 155 dígitos (512 bits), producto de dos primos de 78 dígitos: RSA155 = = x

23 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder OTROS NÚMEROS RSA ROTOS Se hizo en agosto de 1999 por un equipo de la Universidad de San Mateo (California). El desafío lo habían lanzado los Laboratorios RSA. El tiempo para esta factorización ha sido de 5,2 meses, además de otras 9 semanas de cálculos preliminares. El trabajo es el resultado, otra vez, de una computación masivamente paralela, vía Internet, en la que han participado 292 ordenadores personales con un gasto computacional de MIPS-año. El algoritmo utilizado fue la criba del cuerpo de números.

24 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder OTROS NÚMEROS RSA ROTOS Hay una lista de nuevos y viejos desafíos propuestos por los laboratorios RSA, que incluyen números RSA de 10 en 10 dígitos desde un RSA100 hasta un RSA500. Como ejemplo, el último y mayor de estos números tiene 500 dígitos: RSA500 =

25 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconderDesafíos

26 Es la propuesta de Shamir para mejorar la factorización de números grandes: supera en varios órdenes de magnitud la velocidad del método de la criba del cuerpo de números. Es un dispositivo capaz de analizar 100 millones de números enteros grandes y determinar cuáles factorizan completamente sobre una base de factores formada por los primeros números primos, TODO ESTO EN MENOS DE 10 MILISEGUNDOS. El coste de este dispositivo se ha establecido en, aproximadamente, el mismo que el de un potente PC o una estación de trabajo, y es entre 500 y veces más rápido que el método de la criba cuadrática en la etapa de la criba. Las ventajas de este dispositivo son claras en lo referente a la fase de la criba, pero eso no supone que la recuperación de la clave sea más sencilla. EL DISPOSITIVO TWINKLE

27 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Analizando cómo sería un ataque contra el módulo RSA140 con Twinkle, habría que tener en cuenta que si cada dispositivo Twinkle es capaz de manejar alrededor de primos y un intervalo de criba de alrededor de 100 millones, harían falta 7 dispositivos para el RSA140. Este conjunto de dispositivos sería unas veces más rápido que un ordenador convencional, de modo que la fase de criba llevaría alrededor de 6 días. Se necesitan además otros 4 días para ser resuelta, así la reducción pasaría de 33 días a 10. EL DISPOSITIVO TWINKLE

28 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Para uno de 768 bits harían falta dispositivos Twinkle, además, deberían ser rediseñados para acomodar intervalos de criba mayores, pues Shamir presentó su dispositivo para atacar la factorización de uno de 512 bits. La memoria del superordenador para reducir la matriz se elevaría a 64 Gb y llevaría veces más tiempo hacerlo. En el caso de un módulo de 1024 bits, se necesitaría un tiempo de entre 6 y 7 millones de veces el utilizado con un módulo de 512 bits. El tamaño de la base de factores (y del tamaño de los intervalos) crecería en un factor Por tanto, harían falta dispositivos y años para llevar a cabo la criba. La memoria necesaria sería de entre 5 y 10 Tb, y harían falta alrededor de 65 millones de veces el tiempo requerido para factorizar el módulo RSA de 512 bits. EL DISPOSITIVO TWINKLE

29 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder En los años 80, la recomendación habitual era utilizar claves de 512 bits; hoy se recomienda el uso de claves de 768 bits para usuarios, de bits para organismos y empresas y de bits para Autoridades de Certificación. Ejercicio: Si p =1511 q = 907, e = 377 ¿Qué dice el mensaje?

30 Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder


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