PROPORCIONALIDAD Y PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Jorge Benítez Zarza PROPORCIONALIDAD 2º ESO.

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1 PROPORCIONALIDAD Y PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Jorge Benítez Zarza PROPORCIONALIDAD 2º ESO

2 1.1-Razón de dos números Ejemplo: La razón de 5 y 8 es “5 es a 8” Una razón es la división entre dos cantidades comparables y se representa a/b Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es significa que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno. Dos hermanos están relacionados con su altura a razón ½, significa que el primer hermano es la mitad de alto que el segundo.

3 PROPORCIONALIDAD 2º ESO 1.2.- Proporción Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción. Las razones y son iguales. Puedo escribir por tanto. Es una proporción y la leeremos: “1 es a 2 como 3 es a 6” Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos: Y como en las fracciones equivalentes, también en una proporción al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado. Compruébalo en el ejemplo anterior. En el caso de las proporciones se dice que “el producto de medios es igual al producto de extremos”. Cuarto proporcional: Falta un solo término Medio proporcional: Faltan los medios o extremos, se realiza la raíz cuadrada. E1, E2, E3, E4, E5 y E6 Página 85

4 PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2.- Magnitudes proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en el mismo sentido. Es decir: Si aumenta una magnitud, la otra aumenta en la misma proporción o constante de proporcionalidad. Si disminuye ocurre igual. La división de una cantidad de la segunda magnitud entre su correspondiente de la primera nos da la constante de proporcionalidad Ejemplos de magnitudes d.p:. Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús. Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía. Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana 2.1.a)- Magnitudes directamente proporcionales.

5 PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2.1 b)- Tablas en la proporcionalidad directa A doble en la primera magnitud, doble en la segunda Naranjas (kg) 2345 Precio (€) 46810 2 (es lo que corresponde a 1) En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa y para completar tablas incompletas. El cociente se llama “razón de proporcionalidad”. A 2345 B 12182430  Es una tabla de proporcionalidad directa (los cocientes son iguales) A 45 B 201050  A 42510 B 20102550

6 En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas? POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD Máquina s 825 Pieza120? 120 : 8 = 15 Solución: 375 piezas D D Solución: 375 piezas PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2.2.- Problemas de proporcionalidad directa Máquinas Piezas 8 -------- 120 25 -------- x POR REGLA DE TRES = 375 25. 15 = 375

7 PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2.3.a)- Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en sentido contrario. Es decir: A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda. Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo. Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto. Número de vacas y tiempo que durará el pienso

8 PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2.3.b)- Tablas en la proporcionalidad inversa A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda Operarios 2348 Tiempo (h) 12863 24 (es lo que corresponde a 1) En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. El valor del producto es “la constante de proporcionalidad”. A 23410 B 12862,4  Es una tabla de proporcionalidad inversa (los productos son iguales) A 46 B 91218  2.12 = 3. 8 = 4. 6 = 8. 3 = A 4362 B 912618

9 Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ? ¿ Y 3 operarios ? POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD Oper1283 Días 6?? 12. 6 = 72 Solución: 9 días 24 días I I Solución: 9 días 24 días PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2.4- Problemas de proporcionalidad inversa Operarios Días 12 -------- 6 8 -------- x 3 -------- y POR REGLA DE TRES 72 : 8 = 9 72 : 3 = 24

10 PROPORCIONALIDAD 2º ESO Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa 2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de cada magnitud en la misma unidad. 3º.- Escribir la proporción correspondiente 4º.- Hallar x Fíjate en los siguientes ejemplos. Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo) Nº obreros Tiempo (h) 10 --------- 8 16 --------- x I Solución 5 horas Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas? ( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero) Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 -------- x D Solución 456 € 2.5- Resolución de problemas de proporcionalidad por regla de tres Ejercicios 7 al 11 página 87.

11 3.1.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como fracción Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir, 40% = Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la práctica procederemos así: 35 % de 60 = 21 A esta forma de calcular porcentajes se le suele llamar porcentaje como fracción. 28% de 420 =117,6 150% de 36 = 54 PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 3.- Porcentaje

12 3.2.- Cálculo rápido de algunos porcentajes: 10% = décima parte (: 10)10% de 42 = 42 : 10 = 4,2 50% = la mitad (:2) 50% de 36 = 36 : 2 = 18 25% = la cuarta parte (:4) 20% = la quinta parte (:5) 75% = las tres cuartas partes (:4) y (x3) 25% de 40 = 40 : 4 = 10 20% de 35 = 35 : 5 = 7 75% de 16 = 16 : 4. 3 = 12 PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES

13 3.3.- Cálculo de porcentajes : Porcentaje como regla de tres Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres. Ejemplo: Calcular 40% de 650 Porcentaje Cantidad 100 ---------------- 650 40 ------------------- x Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas. PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES

14 3.4.- Cálculo de porcentajes : con calculadora Calcular 35% de 60 CALCULADORA NO CIENTÍFICA Deberás teclear: 60 x 35 % y aparecerá el resultado en la pantalla 21 CALCULADORA CIENTÍFICA La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es: 60 x 35 SHIFT = SHIFT activa la segunda función de las teclas Tecla = contiene % como segunda función SHIFT = % SHIFT + = % PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES

15 3.6.-Problemas de porcentajes 1 Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento: 30% de 40 = 12 porcentaje total parte En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas? (El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos) total : 30 chicas: 40% 40% de 30 = 12Solución: 12 chicas A- CÁLCULO DE LA PARTE PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES (Si lo hacemos utilizando porcentaje como decimal) 30 · 0,4 = 12 REGLA DE 3 DIRECTA Porcentaje Cantidad 100 ---------------- 30 40 ------------------- x

16 3.6.- Problemas de porcentajes 2 En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas? Alumnos % 30 ------- 100 12 ------- x Solución: 40% B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES C- CÁLCULO DEL TOTAL 3.6.- Problemas de porcentajes 3 En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total? % Alumnos/as 40 ---------- 12 100 --------- x Solución: 30 alumnos/as

17 3.7.- Problemas de porcentajes 4 Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final. Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida? 1200 + 144 = 1344 Solución: 1344 € Otra forma de resolverlo D- AUMENTO PORCENTUAL (Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convierten en 112) Sueldo: 1200 € Aumento: 12% 12% de 1200 = 144 PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES Sueldo: 1200 € Aumento: 12% 1200 · 1,12 = 1344Solución: 1344 € Si se aumenta un x% de una cantidad inicial, sólo se tendrá que multiplicar por 1,x

18 3.8.- Problemas de porcentajes 5 Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final. La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces? 30 – 7,5 = 22,5 Solución: 22,5 € E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL Precio: 30€ Descuento: 25% 25% de 30 = 7,5 PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES Otra forma de resolverlo utilizando decimales (Si disminuye el 25%, cada 100 de antes se convierten en 75) Precio: 30€ Descuento: 25% 30 · 0,75 = 22,5 Solución: 22,5 € Si se disminuye un x% de una cantidad inicial, sólo se tendrá que multiplicar por (1-x)%

19 3.9.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (1) Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes? % Cantidad 112 --- 1344 100 --- x 1200 Solución: 1200 € Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución. Por regla de tres PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES Otra forma de resolverlo utilizando decimales 1344 : 1,12 = 1200 Solución: 1200 € Sueldo después: 1344€ Aumento: 12% Si se ha aumentado un x% de una cantidad inicial que no se sabe, sabiendo la cantidad final, sólo se tendrá que dividir por 1,x

20 He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja? Antes Después 100 --- 75 x --- 22,50 Solución: 30€ 3.9.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (2) Por regla de tres 30 PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES Otra forma de resolverlo utilizando decimales 22,50 : 0,75 = 30 Solución: 30€ Precio después: 22,50€ Descuento: 25% Ejercicios 12 al 17 página 89. Si se disminuye un x% de una cantidad inicial que no se sabe, sabiendo la cantidad final sólo se tendrá que dividir por (1-x)%

21 Una proporcionalidad es compuesta si intervienen más de dos magnitudes proporcionales 4.- Proporcionalidad Compuesta PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES Para resolver problemas de proporcionalidad compuesta utilizaremos la regla de 3 compuesta: 1º) Colocamos en columnas las magnitudes, poniendo en la última la incógnita a hallar. 2º) Identificamos la relación de cada magnitud en columna con la última columna por separado. 3º) Se multiplican las razones (división de los valores aportados por el problema) de todas las columnas y se iguala a la razón de la última. Tener en cuenta que si la relación hallada en paso 2 es inversa, hay que darle la vuelta a la razón que proporciona esa columna. 4º) Se halla el valor de x. Ejemplo: Un ganadero necesita 600 kg de pienso para alimentar a 40 vacas durante 8 días.¿Cuántos días podrá alimentar a 20 vacas con 1500 kg? Kg de piensoNº VacasDías 600 40 8 1500 20 x Comparando kg con días, con más kg de pienso tendremos más días para alimentar las vacas, es directa. Comparando vacas con días, al alimentar menos vacas, podremos alimentarlas más días. Es inversa y entonces la razón de la columna vacas hay que darle la vuelta.

22 El interés es el dinero que produce una cantidad depositada en un banco. El interés simple es aquel que no se acumula al depósito para generar nuevos intereses. 5.- Interés Simple PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES Llamamos: C f al capital final. C ini al capital inicial. I al interés t al tiempo en años. r al tanto porciento dividido entre 100. Ejemplo: Se deposita 750 € a un interés simple del 3%, durante 4 años. ¿Qué capital tendremos al finalizar ese tiempo? Por tanto el capital final C f será de 750 + 90 = 840 €. Ejercicios 18 al 24 página 91.

23 6.- Repaso del Tema Lectura pág 92 y 93. Página 94, 95 y 96: Ejercicios 26, 27 y 28 apdo a). Ejercicios 30, 31, 33, 36, 37, 38, 40, 42, 63, 71, 72, 76, 78 y 82.

24 TEMA 6: PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Deberás hacer clic con el botón izquierdo del ratón para avanzar paso a paso

25 PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Consisten en distribuir una cantidad N en partes d.p. a una cantidades conocidas a, b, c,… Ejemplo: Belén, Rocío y Antonio quieren repartir 450 € en partes d.p. al número de horas que han trabajado en una casa. Belén ha trabajado 3h., Rocío 5h y Antonio 7h. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? Corresponde 30 euros por hora. Por tanto: Belén recibe 3·30 = 90 Euros Rocío recibe 5·30 = 150 Euros Antonio recibe 7·30 = 210 Euros. Ejercicios 1, 3 y 5 página 103. 1.-REPARTOS 1.1-REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

26 PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Consisten en distribuir una cantidad N en partes i.p. a una cantidades conocidas a, b, c,… Es lo mismo que realizar un reparto d.p. de las cantidades 1/a, 1/b, 1/c. Ejemplo: Belén de 3 años, Rocío de 4 años y Antonio de 6 años, quieren repartir 180 bombones en partes i.p. ¿Cuántos bombones le corresponde a cada uno? Por tanto: Belén recibe 240 · 1/3 = 80 bombones. Rocío recibe 240 · 1/4 = 60 bombones. Antonio recibe 240 · 1/6 = 40 bombones. Ejercicios 2, 4 y 6 página 103. 1.-REPARTOS 1.2-REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES

27 PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Se calcula la parte del depósito que llena cada grifo en una hora, son d.p. Luego se suman esas cantidades. Se calcula el tiempo que tardan los grifos en llenar el depósito teniendo en cuenta que es d.p. Ejemplo: Un grifo A, llena un depósito en 2h. y otro B en 3h. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito los dos grifos abiertos a la vez? Grifo A: Grifo B:Tiempo Depósito 2h 1 3h 1 1h x 1h x x = 1/2 x = 1/3 1/2 + 1/3 = 5/6 del depósito llena en una hora. Por tanto: Tiempo Depósito 1h 5/6 x 1 x = 1 : 5/6 = 1,2 horas Ejercicios 7 y 9 página 105. 2.-GRIFOS 2.1-SIN DESAGÜE

28 PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Se calcula la parte del depósito que llena cada grifo en una hora y la que se vacía por el desagüe. Luego se suman las cantidades de los grifos y se resta la del desagüe. Se calcula el tiempo que tardan los grifos en llenar el depósito teniendo en cuenta el desagüe. Ejemplo: Un grifo A, llena un depósito en 4h. y otro B en 6h. El depósito tiene un desagüe que lo vacía en 12h, estando los grifos cerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito los dos grifos abiertos a la vez, estando el desagüe abierto? Grifo A: Grifo B: Desagüe: Tiempo DepósitoTiempo Depósito Tiempo Depósito 4h 1 6h 1 12h 1 1h x 1h x 1h x x = 1/4 x = 1/6 x = 1/12 1/4 + 1/6 – 1/12 = 4/12 del depósito llena en una hora. Por tanto: Tiempo Depósito 1h 4/12 x 1 x = 1 : 4/12 = 3 horas Ejercicios 8 y 10 página 105. 2.-GRIFOS 2.2-CON DESAGÜE

29 PROBLEMAS ARITMÉTICOS 2º ESO Para realizar problemas de mezclas o aleaciones utilizaremos la fórmula, donde p indica precio y m masa y el índice hace referencia a cada una de las sustancias o componentes: Ejemplo: Se tienen 20 kg de cacao del tipo A a 3 € el kilo y 30 kg de cacao del tipo B a 5 € el kilo. ¿Qué precio debe tener la mezcla de todo el cacao? Ejercicios 11 al 15 página 107. 3.-MEZCLAS Y ALEACIONES