Investigación Operativa Ing. Hesmeralda Rojas Enriquez Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurímac.

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1 Investigación Operativa Ing. Hesmeralda Rojas Enriquez Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurímac

2 Tema 1: INTRODUCCIÓN 1.Concepto y delimitación de la Investigación Operativa 2.Referencias Históricas 3.Fases en la aplicación de una técnica de I.O. Papel de los usuarios y de los expertos 4.Estructura/contenido de los Modelos de I.O. 5.La I.O. en la práctica habitual

3 1. Concepto y delimitación de la I.O. Antecedentes: Surge durante la segunda Guerra Mundial, luego y con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el desarrollo de la informática. Definición Aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario personas a la resolución de un problema. Objetivo Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

4 ¿Qué es la Investigación de operaciones?  Es la ciencia e ingeniería de las decisiones.  Interdisciplinar: Informática, Matemáticas, Gestión de empresas, Ingeniería, Economía,...  Origen: Investigación en operaciones militares de las fuerzas aliadas durante la 2GM; después, extensión a la empresa y al sector público  Cuantitativa: Basada en modelos matemáticos, resueltos por ordenador  Evolución: Ligada a la de los ordenadores  Metodología IO: sistema real → formulación del modelo → análisis y algoritmos → resolución numérica por ordenador → interpretación → implementación → sistema real

5 Métodos en Investigación Operativa Métodos determinísticos: Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc. Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos. Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.

6 ¿Cuál es su objetivo? Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la Investigación de Operaciones.

7 Una empresa dispone de 70 trabajadores con cualificaciones diferentes (Economistas, Ingenieros, Auxiliares Administrativos, etc..) a los que hemos de asignar 70 actividades también diferentes. Para decidir una determinada asignación de tareas deberíamos escoger de entre un total de 70! (Permutaciones de 70 elementos) aquella que maximiza el resultado final de la empresa. Como 70! es aproximadamente igual a 10 100, aún revisando un 1 millón de asignaciones diferentes al segundo necesitaríamos aproximadamente 10 87 años para revisar todas las asignaciones posibles. Este tipo de problemas requiere desarrollar modelos de programación matemática, otros métodos matemáticos, para llegar a algún tipo de conclusiones. Ejercicios de I.O.

8 Ejemplo 2: Aplicación al ámbito sanitario Planificación y asignación de recursos en un sistema de salud mental Fases de construcción del modelo 1.Definir las categorías de enfermos ( en función de sus necesidades y respuestas a un determinado tratamiento) 2.Definir un conjunto de servicios (obtener una clasificación de acuerdo a las necesidades de los enfermos y con la disponibilidad de recursos, basada en la experiencia y conocimientos médicos) 3.Planificar y asignar los recursos (asignar los servicios entre las distintas categorías de enfermos a lo largo del tiempo) Ejercicios de I.O.

9 Ejemplo 2: Aplicación al ámbito sanitario Planificación y asignación de recursos en un sistema de salud mental Fases de construcción del modelo 1.Definir las categorías de enfermos ( en función de sus necesidades y respuestas a un determinado tratamiento) Utilización de técnicas estadísticas, para la recogida de datos y la determinación del historial del enfermo. A lo largo del tiempo los enfermos pueden cambiar de categoría (cadenas de Markov) Ejercicios de I.O.

10 Ejemplo 2: Aplicación al ámbito sanitario Planificación y asignación de recursos en un sistema de salud mental Fases de construcción del modelo 1.Definir las categorías de enfermos ( en función de sus necesidades y respuestas a un determinado tratamiento) 2.Definir un conjunto de servicios (obtener una clasificación de acuerdo a las necesidades de los enfermos y con la disponibilidad de recursos, basada en la experiencia y conocimientos médicos) Entrevista a expertos (delphi) acumular información en base a la experiencia y conocimientos médicos Ejercicios de I.O.

11 Ejemplo 2: Aplicación al ámbito sanitario Planificación y asignación de recursos en un sistema de salud mental Fases de construcción del modelo 1.Definir las categorías de enfermos ( en función de sus necesidades y respuestas a un determinado tratamiento) 2.Definir un conjunto de servicios (obtener una clasificación de acuerdo a las necesidades de los enfermos y con la disponibilidad de recursos, basada en la experiencia y conocimientos médicos) 3.Planificar y asignar los recursos (asignar los servicios entre las distintas categorías de enfermos a lo largo del tiempo) Utilización de técnicas de programación lineal para la asignación de recursos. Modelo multi-periodo a partir de la definición de una función objetivo. Ejercicios de I.O.

12 Tu ejemplo...................................... Problema/objetivo a resolver/realizar.............................................................................................................. Fases: 1............ 2.................. 3......................... Ejercicios de I.O.

13 Etapas de un ejercicio de I.O. Básicamente la I.O. sigue los siguientes pasos: La observación del problema La construcción de un modelo matemático que contenga los elementos esenciales del problema La obtención en general, con al ayuda de algorítmos implementados informáticamente, de las mejores soluciones posibles. La calibración e interpretación de la solución y su comparación con otros métodos de toma de decisiones.

14 Fases de un estudio FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO NECESIDAD DE REORGANIZACIÓN MODELO DEL SISTEMA REAL SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y CONTROL SOLUCIÓN DEL MODELO INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS E IMPLICACIONES VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

15 Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas y mesas  Sillas  usa 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande  Mesas  usa 2 piezas de cada tipo. de un modelo de optimización Elementos de un modelo de optimización. Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.

16 Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar: 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60 1 sillas y 2 mesas, utilidad de U$55 3 mesas, utilidad de U$60 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70 etc.

17 Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas: i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo, x: número de sillas elaboradas. y: número de mesas elaboradas.

18 ii) La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por: z = f(x,y) = 15x + 20y

19 iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas: Piezas pequeñas:2x + 2y  8 Piezas grandes :x + 2y  6 También se impone restricciones de no – negatividad: x,y  0

20 Max:15x + 20y Restricciones:2x + 2y  8 x + 2y  6 x,y  0 El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera.

21 Una vez presentado el problema ¿cómo plantearlo científicamente? Formulación matemática del problema

22 Formulación matemática básica en un problema de I.O. Ejemplo: Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes de minerales, los cuales son sometidos a un proceso de trituración, con tres grados: alto, medio y bajo. Las compañías han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las empresas tiene diferentes procesos de fabricación. MinaCoste por día (miles de Euros) Producció(toneladas/día) Alto MedioBajo X180634 Y160116 ¿Cuántos días a la semana debería operar cada empresa para cumplir el contrato con la planta de fundición?

23 Formulación matemática básica en un problema de I.O. Debemos buscar una solución que minimice el coste de producción de las empresas, sujeta a las restricciones impuestas por el proceso productivo así como el contrato con la planta de fundición. Traducción del problema en términos matemáticos 1.definir las variables 2.las restricciones 3.el objetivo

24 Formulación matemática básica en un problema de I.O. Variables Representan las decisiones que puede tomar la empresa: Dx = número de días a la semana que la empresa X produce Dy= número de días a la semana que la empresa Y produce Notar que Dx  0 y Dy  0 Restricciones Se recomienda primero plantear las restricciones con palabras antes de pasar a su formulación matemática Restricción 1. refleja el balance entre las limitaciones productivas de la fábrica y el contrato con la plante de fundición Grado Alto6Dx+1Dy  12 Medio3Dx+1Dy  8 Bajo 4Dx+6Dy  24 Restricción 2. días de trabajo disponibles a la semana Dx  5 y Dy  5 Objetivo Como objetivo buscamos minimizar el coste

25 Formulación matemática básica en un problema de I.O. La representación completa del problema tomaría la siguiente forma: Minimizar 180Dx+160Dy S.a. 6Dx+1Dy  12 3Dx+1Dy  8 4Dx+6Dy  24 Dx  5, Dy  5 Dx  0, Dy  0

26 Algunas reflexiones Hemos pasado de la definición del problema a su formulación matemática. Error de especificación, el error más frecuente consiste en descuidar las limitaciones (restricciones, características de las variables, etc,) En el ejemplo anterior: a)Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de día) b)Existe un único objetivo (minimizar los costes) c)El objetivo y las restricciones son lineales Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que denominamos un problema de Programación Lineal PL

27 Algunas reflexiones El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN Hemos tomado una situación real y hemos construido su equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO Durante la formulación del modelo matemático nosotros consideramos el método cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera gradual producen una solución numérica Llegamos a una nueva definición de I.O. Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener una solución numérica a los mismos

28 Dificultades Dificultades de este tipo de enfoques: Identificación del problema (debemos ignorar partes o tratar el problema entero) Elección del modelo matemático adecuado así como el algoritmo adecuado para resolverlo (validación del algoritmo) Dificultades en la implementación Velocidad (costes) que supone llegar a una solución Calidad de la solución Consistencia de la solución