Tema: 3 La divisibilidad 1Matemáticas 1º Recuerda. Multiplicación y división IMAGEN FINAL Una división exacta proporciona: 54 = 6 × 9 Una multiplicación.

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2 Tema: 3 La divisibilidad 1Matemáticas 1º Recuerda. Multiplicación y división IMAGEN FINAL Una división exacta proporciona: 54 = 6 × 9 Una multiplicación proporciona dos divisiones exactas. 54 : 6 = 9 54 : 9 = 6 18 : 3 = 6 18 = 3 × 6 18 : 6 = 3 Un producto. Otra división exacta.

3 Tema: 3 La divisibilidad 2Matemáticas 1º Recuerda. Múltiplos y divisores IMAGEN FINAL Observa: 35 7 50 Esta división es exacta Decimos que 7 es divisor de 35.También decimos que 35 es múltiplo de 7. 47 9 52 Esta división no es exacta Así que 9 no es divisor de 47.También decimos que 47 no es múltiplo de 9. Podemos saber si un número es divisor de otro de dos maneras: · Dividiendo el mayor entre el menor: · Escribiendo el segundo número como producto del primero por otro número. 7 es divisor de 56 porque la división 56 : 7 es exacta 7 es divisor de 56 porque 56 = 7 × 8

4 Tema: 3 La divisibilidad 3Matemáticas 1º Cálculo de los divisores de un número (I) IMAGEN FINAL Vamos a calcular todos los divisores de 66. Dividimos 66 por todos los número menores que él. Cuando la división es exacta, obtenemos también otra división y, por tanto dos divisores. Divisiones exactas: 66 1 606 6 0 66 : 1 = 66 Divisores: 1 y 66 66 2 306 3 0 Divisiones exactas: Divisores: 2 y 33 66 3 206 2 0 Divisores: 3 y 22 66 : 66 = 1 66 : 2 = 33 66 : 33 = 2 Divisiones exactas: 66 : 3 = 22 66 : 22 = 3 66 4 126 6 2 No es exacta: 4 no es divisor 66 5 116 3 1 No es exacta: 5 no es divisor 66 6 1061 0 Divisores: 6 y 11 Divisiones exactas: 66 : 6 = 11 66 : 11 = 6 66 7 9 3 No es exacta: 7 no es divisor 66 8 8 2 No es exacta: 8 no es divisor Nos detenemos cuando el cociente es menor o igual que el divisor. FIN Los divisores o factores de 66 son: D (66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}

5 Tema: 3 La divisibilidad 4Matemáticas 1º Cálculo de los divisores de un número (II) IMAGEN FINAL 45 1 405 5 0 Divisores: 1 y 45 45 2 205 2 1 45 3 115 5 0 Divisores: 3 y 15 45 4 1051 1 Para practicar hallemos todos los divisores de 45. 4 no es divisor2 no es divisor 45 5 90 Divisores: 5 y 9 6 no es divisor 7 no es divisor 6 73 7 63 FIN Para calcular todos los divisores de un número: Se divide el número por todos los número menores que él, ordenadamente, de menor a mayor. Cuando la división es exacta, se obtienen dos divisores. El proceso se termina cuando el cociente es menor o igual que el divisor. Terminamos porque el cociente (6) es menor que el divisor (7) Los divisores de 45 son: D (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}

6 Tema: 3 La divisibilidad 5Matemáticas 1º Números primos y compuestos IMAGEN FINAL 17 1 0 2 81 3 52 4 41 ¿De cuántas maneras se pueden colocar 17 canicas en bolsas, de modo que en cada bolsa haya el mismo número de canicas? Hallamos todos los divisores de 17: Sólo tiene dos divisores: 1 y 17. Colocamos las 17 canicas en 1 bolsa o en 17 bolsas con 1 canica en cada una. Se dice que 17 es un número primo. Un número es primo cuando tiene solamente dos divisores. 2, 7, 11 … son números primos. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. 4, 6, 24 … son números compuestos. ¿Cuántos divisores tiene 1? Sólo uno, así que ni es primo ni compuesto. Es un caso especial.

7 Tema: 3 La divisibilidad 6Matemáticas 1º Escribir un número como producto de primos (I) IMAGEN FINAL En forma de árbol Vamos a escribir el número 45 como producto de sus divisores o factores primos. 45 9 5 3 3 Fíjate, se descompone el número 45 en producto de dos factores: 45 = 9 × 5 A su vez el 9, que es un número compuesto, se descompone en producto: 9 = 3 × 3 Otro ejemplo : Escribir 60 como producto de factores primos. 60 6 10 2 3 2 5

8 Tema: 3 La divisibilidad 7Matemáticas 1º Escribir un número como producto de primos (II) IMAGEN FINAL Por divisiones sucesivas Vamos a escribir el número 45 como producto de sus divisores o factores primos. Se divide 45 por el menor número primo que haga la división exacta:45 : 3 = 15. 45 3 15 Se divide 15 por el menor número primo que haga la división exacta:15 : 3 = 5. 3 5 Se divide 5 por el menor número primo que haga la división exacta:5 : 5 = 1. 5 1 Se acaba cuando el cociente da 1. A la derecha de la raya vertical quedan todos los factores primos. Otro ejemplo : Escribir 60 como producto de factores primos. 60 2 30 2 15 3 55 1 Luego:

9 Tema: 3 La divisibilidad 8Matemáticas 1º Divisores comunes a varios números IMAGEN FINAL Para hallar los divisores comunes a dos o más números: Consideremos los números 24 y 60. Divisores de 24: D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Vamos a calcular los divisores de ambos: Los divisores comunes a 24 y 60 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12} Se hallan los divisores de cada número. Se toman los comunes. Observa:El número 1 es divisor de todos los números. Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es el 1. 3 y 19 son primos entre sí.

10 Tema: 3 La divisibilidad 9Matemáticas 1º El máximo común divisor de varios números IMAGEN FINAL El máximo común divisor de varios números es el mayor de los divisores comunes. Calculamos los divisores comunes a 36 y 24 Divisores de 24:D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores de 36: D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Suele designarse abreviadamente por m.c.d. Divisores comunes (36, 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} El mayor de estos divisores comunes es 12. Por eso a 12 se le llama máximo común divisor de 36 y 24. Se escribe así: m.c.d. (36, 24 ) = 12 Otro ejemplo: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Calculemos el m.c.d. (45, 60) D (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45} m.c.d. (45, 60) = 15

11 Tema: 3 La divisibilidad 10Matemáticas 1º Cálculo del máximo común divisor de varios números IMAGEN FINAL Para calcular el máximo común divisor de varios números: Calculemos los divisores comunes a 36 y 24 a partir de la expresión de cada número como producto de primos. Se escribe cada número como producto de sus factores primos. Otro ejemplo: Calculemos el m.c.d. (20, 90, 600) m.c.d. (20, 90, 600) = 2 x 5 = 10 2 2 y 3 son divisores comunes a 36 y 24. Luego también es factor común a 36 y 24. es el mayor de los divisores comunes a 36 y 24. m.c.d. (36, 24 ) = El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Factores comunes: 2 y 5 Menor exponente: 1

12 Tema: 3 La divisibilidad 11Matemáticas 1º Técnicas y estrategias (I) IMAGEN FINAL PROBLEMA Juan camina en línea recta desde su casa al parque. Luego vuelve por el mismo camino desde el parque hasta su casa y continúa también en línea recta hasta al colegio. En total ha caminado 3400 metros. La distancia desde la casa de Juan al colegio es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia desde la casa de Juan hasta el parque? No puede ser, debía ser igual a 600 metros. Si la distancia desde la casa al parque fuera de 1000 metros, el camino de vuelta hasta el colegio sería: 3400 – 1000 = 2400 metros LEE EL ENUCIADO Juan hace dos caminos en sentido opuesto: de casa al parque; del parque al colegio. Nos preguntan cuántos metros hay desde la casa al parque. Entonces la distancia desde la casa al colegio, sería: En total recorre 3400 m. El camino desde su casa al colegio es 600 m. TANTEA 2400 – 1000 = 1400 metros. La distancia desde la casa al parque debe ser mayor que 1000 metros. ¿Y si fueran 1200 metros?

13 Tema: 3 La divisibilidad 12Matemáticas 1º Técnicas y estrategias (II) IMAGEN FINAL ELIGE UNA ESTRATEGIA Hacemos un dibujo para representar el paseo de Juan. RESUELVE EL PROBLEMA 3400 – 600 = 2800 metros, PROBLEMA Juan camina en línea recta desde su casa al parque. Luego vuelve por el mismo camino desde el parque hasta su casa y continúa también en línea recta hasta al colegio. En total ha caminado 3400 metros. La distancia desde la casa de Juan al colegio es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia desde la casa de Juan hasta el parque? Parque 600 m Colegio Casa Los 3400 m son la suma del doble de la distancia de casa al parque y de 600 m. es el doble de la distancia de la casa al parque. 2800 : 2 = 1400 metros,es la distancia desde la casa de Juan al parque. COMPRUEBA 1400 +1400 + 600 = 3400. En total ha caminado 3400 metros. 3400 – 1400 = 2000. La distancia del parque al colegio es de 2000 metros, 2000 – 1400 = 600. Hay 600 metros desde la casa al colegio.