Polinomios Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del.

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2 Polinomios

3 Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma, ax 2 + bx + c = 0 donde a, b y c pueden ser números cualesquiera. La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, donde a, b, c y d son números cualesquiera, y a≠ 0. La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada primero por Scipione del Ferro, y más adelante por Niccolo FontanaTartaglia que la obtuvo sin conocer el trabajo de S. del Ferro. La fórmula es conocida como "fórmula de Cardano", porque fue G. Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, y luego publicó la fórmula por primera vez. La resolución de ecuaciones algebraicas, determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV. Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo x 2 - bx = c, con b›0, c›0, aunque estos símbolos (b, c, x, +,= ) no se usaban entonces. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI, pero las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. En 1799 Carl Gauss fue el primero en probar el Teorema fundamental del álgebra en la disertación para su tesis doctoral. En 1824, N. Abel demostró que no pueden haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores Niccolo Fontana (1500 – 1557) apodado Tartaglia

4 a) P = x 2 - 2Q = - 3 x 2 + 6 b) P = x + 2Q = x 2 + 4 x +4 1) Efectuar P  Q ; 3 P + Q ; P 2 – Q e indicar su grado cuando esto sea posible 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? a) P  Q b) P 3 c) P + Qd) P 3 + Q 3 3) Determinar a  R para : a) P = a  x 3 - a  x + 2es tal que P(2) = - 1 b) P = x 2 + 2  x + aes tal que 0 es una de sus raíces c) P = a  x 2 - a  x + 6satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2 Trabajo Práctico Nº 6 Polinomios

5 4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos : 5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x 3 + k x 2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x 2 - x + 3 6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio es divisible por (x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ? a) b) 7) Determinar a, b, c  R para que : a) P = a x 2 + b x + ctenga a 1 y a 0 como raíces b) P = x 2 - b x + a y Q = a x 3 – btengan a 2 como raíz común

6 8) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios : si i es raíz de P 9) Factorear el polinomio x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz doble. a) b) c) d) e) a) P = (x - 1) 2  (x 2 - 1)  (x 3 - 1)  = 1 b) P = x 8 - x 6 + 6 x 3  = 0 10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz de P :

7 11) a) Sea P = 2 x 3 - 11 x 2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. b) Dado P(x) = 8 m x 2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m en los siguientes casos i) las raíces son opuestasiii) las raíces son reales e iguales. ii) las raíces son recíprocas c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales i) P(x) = 2 x 3 - x 2 - 18 x + 9 si  1 +  2 = 0 ii) P(x) = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 2 si  1 =  2 +  3 12) En sus compras del sábado, Mónica compró 12 naranjas para sus hijos, Graciela, María y Francisco. ¿De cuántas formas se pueden distribuir las 12 naranjas entre los tres hermanos, de manera que Graciela tenga al menos 4 naranjas y María y Francisco al menos 2 naranjas cada uno, pero que Francisco no obtenga mas de cinco?

8 Un polinomio es una expresión de la forma una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente a i multiplicado por un factor x i Podemos escribir donde el coeficiente a n se llama coeficiente principal el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio Decimos entonces que el polinomio es de grado n Si a n  0 y aunque alguno(s) –o todos- los coeficientes a i  a n sean nulos el polinomio es de grado n, pero incompleto P = x 3 – 3 x 2 + 6 x -1 P = x 4 – 3 x 2 + 6 x -1 polinomio completo de grado 3 polinomio incompleto de grado 4 1111 2222 3333 Faltan los términos de grado 1 y n-1

9 La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre términos de igual grado P = x 4 – 3 x 2 + 6 x –1 Q = x 3 – 5 x 2 - 2 x + 3 P + Q = agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio; x 4 + Y luego operamos los términos obtenidos x 3 +++( - 3 x 2 – 2 x 2 )( 6 x – 2 x )( -1 + 3 ) P = x 4 + x 3 – 5 x 2 + 4 x + 2 Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se resuelven cada uno de los términos que resulten R · S = ( x 4 – 3 x 2 + 6 x ) · ( x 3 - 2 x + 3 ) = = x 4 · x 3 + x 4 · (-2 x) + x 4 · 3 + (-3x 2 ) · x 3 + (-3x 2 ) · (-2x) + ( -3 x 2 ) · 3 + 6x · x 3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 = R · S = x 7 - 2x 5 + 3x 4 - 3x 5 + 6x 3 - 9x 2 + 6x 4 - 12x 2 + 18x = Luego sumamos los términos de igual grado R · S = x 7 - 5x 5 + 9x 4 + 6x 3 - 21x 2 + 18x P + Q = ( x 4 – 3 x 2 + 6 x –1 ) + ( x 3 – 5 x 2 - 2 x + 3 ) 1111 2222 3333

10 1 ) Si a) P = x 2 – 2 y Q = - 3 x 2 + 6 P  Q = ( x 2 – 2 )  ( - 3 x 2 + 6 ) = x 2  (- 3 x 2 ) + x 2  6 + (– 2 )  (-3x 2 )+ (-2)  6 = P  Q = -3 x 4 + 6 x 2 + 6 x 2 - 12 = -3 x 4 + 12 x 2 - 12 3P  Q = 3  ( x 2 – 2 ) + ( - 3 x 2 + 6 ) = 3 x 2 – 6 - 3 x 2 + 6 = 0 P 2  Q = ( x 2 – 2 ) 2  ( - 3 x 2 + 6 ) = grado 4 ( x 4 - 4x 2 + 4 )  ( - 3 x 2 + 6 ) = = -3x 6 + 6x 4 + 12x 4 - 24x 2 - 12x 2 + 24 = -3x 6 + 18x 4 - 36x 2 + 24 grado 6 P  Q = ( x + 2 )  ( x 2 + 4 x + 4 ) = x 3 + 4 x 2 + 4 x + 2 x 2 + 8 x + 8 =x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x 2 + 4 x + 4 ) = (3 x + 6) + (x 2 + 4 x + 4) = x 2 + 7 x + 10 P 2  Q = ( x + 2 ) 2  ( x 2 + 4 x + 4 ) = ( x 2 + 4 x + 4 )  ( x 2 + 4 x + 4 ) = = x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 4x 3 + 16x 2 + 16x + 4x 2 + 16x + 16 = P 2  Q = x 4 + 8x 3 + 24x 2 + 32x + 16 grado 4 grado 3 grado 2 b) P = x + 2 Q = x 2 + 4 x +4

11 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? d) P 3 + Q 4 a) P · Q El grado de un producto de polinomios siempre va a estar dado por la suma de los grados de los polinomios Si P es gr(4) y Q es gr(3) P · Q es gr (7) b) P 3 La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el grado del polinomio base multiplicado por el exponente Si P es gr(4) P 3 es gr (4 · 3) = 12 c) P + Q El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de mayor grado ó eventualmente menos (si los términos de mayor grado se anulan entre sí) Si P es gr(4) y Q es gr(3) P + Q es gr (4) ó menor Si P es gr(4) P 3 es gr(12) y si Q es gr(3)Q 4 es gr(12) P 3 + Q 4 es gr (12) ó menor

12 3 a) si P = a  x 3 - a  x + 2para hallar a tal que P(2) = - 1 debemos especializar el polinomio por x = 2 Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los lugares que ocupa x en el polinomio P = a  x 3 - a  x + 2= a  2 3 - a  2 + 2 a  8 - a  2 + 2= 8 a – 2 a + 2= 6 a + 2 e igualamos a - 1 = - 1 resolvemos despejando a = - 1 6 a = - 1 - 26 a = - 3 a = - 1/2 b) P = x 2 + 2  x + aes tal que 0 es una de sus raíces Las raíces de un polinomio son los valores de x que hacen el polinomio igual a 0 P = x 2 + 2  x + a = 0 2 + 2  0 + a = 0 Entonces cuando x = 0 ; P = 0 a = 0 3 c 3 c

13 c) Si P = a  x 2 - a  x + 6satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2 Para x = - 1 P = a  x 2 - a  x + 6 = a  (-1) 2 - a  (-1) + 6 = a  1 2 + a  1 + 6 = 2 a + 6 = 6 pero... 2 a = 6 - 6 a = 0 entonces Si a = 0 P = 0  x 2 - 0  x + 6 = 6 y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia no existe el valor de a buscado

14 Algoritmo del cociente de polinomios Para dividir un polinomio por un polinomio planteamos el esquema de la división entre números enteros buscamos un valor que multiplicado por el coeficiente principal de P 2 2 resulte igual en valor absoluto al a n de P 1 y ése es el coeficiente principal del polinomio cociente 2  1 = 2 y le agregamos como factor x elevado a un valor tal, que multiplicado por el grado de P 2 resulte del mismo grado que P 1 x2x2 Multiplicamos el monomio así formado por cada término de P 2 y los resultados encolumnamos debajo de P 1 con los términos de igual grado Luego viene la colocación del signo, operamos en cada caso respetando la regla de los signos, y luego para restar cambiamos el signo que resulta buscando que al operar el primer término se anule --+ + + +  + = + para restar coloco - + - +  - = - para restar coloco + + + +  + = + para restar coloco - 4444 5555

15 Ahora sumamos 2 x 2 - + - Bajamos el término de mayor grado de P 1 que todavía no se operó, con su signo Y empezamos de nuevo el procedimiento 7x + + -- 11+ --+ Resultado : resto De manera que: C  P 2 + R = P 1

16 4) Para dividir por Hacemos el esquema del cociente entre polinomios Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos entonces los completamos con términos de coeficientes nulos y operamos colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer término del resultado se anule --- sumamos... bajamos a con su signo Y empezamos a operar nuevamente + --- +

17 4) Para dividir por Hacemos el esquema del cociente entre polinomios Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos y operamos colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer término del resultado se anule -+ sumamos... bajamos 0x 2 con su signo Y empezamos a operar nuevamente + -- +- + - otra vez... 2 - +- - 3

18 sea divisible por por Hacemos el esquema del cociente entre polinomios buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero. Entonces podremos decir que P es divisible por Q y operamos -+- bajamos 3 Y empezamos a operar nuevamente + -+- + 5) para determinar k tal que Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0 Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con

19 es divisible por (x + 4) ; entonces6) Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0 entonces Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18 entonces Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Se puede escribir Se puede escribir El sistema será:

20 En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, Verificamos que las ecuaciones estén ordenadas, de manera que las incógnitas queden encolumnadas y los términos independientes en el 2º miembro Y resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.) El polinomio es:

21 7) P = a x 2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0 entonces entonces Se verifica la condición siempre que c= 0 y  a  =  b  pero tienen signos diferentes b) Si P = x 2 - b x + a y Q = a x 3 – b para hallar valores de a y b que tengan a 2 como raíz común Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

22 Y resolvemos el sistema aplicando sustitución si Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos entonces Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo: Los polinomios buscados resultan ser:

23 Regla de Ruffini Al dividir un polinomio por un polinomio Q de grado 1 de la forma x -  El resultado será un polinomio C de grado n – 1 Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente a n a n-1 a n-2 a 2 a 1 a 0....... Se ubica convenientemente el valor   y se procede con el siguiente algoritmo Bajamos el coeficiente principal a n como c n-1 c n-1 multiplicamos c n-1 x  y colocamos debajo de a n-1  c n-1 Sumamos a n-1 +  c n-1 c n-2 y multiplicamos ese resultado c n-2 x  y colocamos debajo de a n-2  c n-2 c n-3 c2c2 c1c1 c0c0 c1c1 c0c0 r Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes 8a 9999 8b 8c 10 8e

24 En el esquema a2a2 a1a1 a0a0.......  c n-1  c n-1 c n-2  c n-2 c n-3 c2c2 c1c1 c0c0 c1c1 c0c0 r anan a n-1 a n-2 Los c i son los coeficientes del polinomio cociente Y r es el resto que resulta de dividir P / Q P r Q C Observe que si P es divisible por Q, r = 0 y también que si r = 0 ;  es raíz del polinomio....... 8a 9999 8b 8c 10 8e

25 Teorema de Gauss Sea Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma donde p es divisor de a 0 Si P = x 3 - 2x 2 – x + 2 a 0 = 2 ya n = 1 p: divisores de 2 son  2 ;  1 q: divisores de 1 son  1 posibles raíces son:  2 ;  1 Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las raíces, sino que pueden ser raíces, porque, si el polinomio admite raíces racionales, entonces esas raíces son de la forma p/q pero... No todos los p/q tienen que ser necesariamente raíces del polinomio P Si las raíces no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarán entre los valores hallados de la forma p/q yq es divisor de a n 9999 8a 8b 8c

26 Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que son posibles raíces. y las posibles raíces son:  2 ;  1 Si P = x 3 - 2x 2 – x + 2 Para x = 2 P = 2 3 – 2  2 2 – 2 + 2= 8 – 8 – 2 + 2 = 0 x = 2 es raíz Para x = -2 P = (-2) 3 – 2  (-2) 2 – (-2) + 2= - 8 – 8 + 2 + 2 =-12x = - 2 no es raíz Para x = -1 P = (-1) 3 – 2  (-1) 2 – (-1) + 2= - 1 – 2 + 1 + 2 = 0 x = -1 es raíz Para x = 1 P = 1 3 – 2  1 2 – 1 + 2= 1 – 2 – 1 + 2 = 0 x = 1 es raíz P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss Observe también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó una “posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen necesariamente que ser raíces del polinomio 9999 8a 8b 8c

27 Descomposición de un polinomio en un producto de factores binomiales Sea Cuyas raíces son  1 ;  2 ;  3 ;.....  n-1 ;  n El polinomio P puede escribirse Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces  i Habrá al menos un factor que será (x -  i ) = (  i -  i ) = 0 Haciendo P = 0 Puede suceder que un valor  i sea r veces raíz de un polinomio entonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que  1 es dos veces raíz del polinomio y  2 es tres veces raíz del polinomio y las restantes raíces son simples, el polinomio factoreado será... 9999 8a 8b 8c 8d 8e

28 8 a) Para hallar las raíces de Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos a n = 2 y a 0 = -1 Los divisores de a 0 son p =  1Los divisores de a n son p =  1;  2 Las posibles raíces son de la forma Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos solamente comprobando si esos valores son o no raíces del polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini. El “sentido” de aplicar Ruffini es que si  es raíz del polinomio P, entonces P es divisible por (x -  ). Detectamos si  es raíz del polinomio P y al mismo tiempo obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún Ruffini Gauss 8 e 8 e 8 d 8 d 8 c 8 c 8 b 8 b

29 -1 1 2 2 1 3 31 2 2 -12  0 1 No es raíz del polinomio -1 -1 2 -2 -3 5 -53 -6 2 -12  0-1 No es raíz del polinomio -1 2 1 0 2 10 0 2 -12  1/2 ES raíz del polinomio Ruffini Gauss 8 e 8 e 8 d 8 d 8 c 8 c 8 b 8 b

30 2 2 02  0 No es raíz del polinomio Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces es posible escribir como Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo de menor grado De (2x 2 + 2) = 0 despejamos x Entonces: Las raíces son  1 = 1/2 ; 2 = i ; 3 = -i Observe que se cumple que: si P tiene raíces racionales, éstas son de la forma p/q; en este caso existe una raíz racional y dos raíces complejas asimismo se verifica que: si un número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz del mismo polinomio. Ruffini Gauss Factoreo Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados obtenidos 8 e 8 e 8 d 8 d 8 c 8 c 8 b 8 b

31 8 b) Para encontrar las raíces de Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus raíces son las mismas a n = 1 y a 0 = -6 p =  1;  2;  3;  6 y q =  1 -6 1 1 -5 6 6 0 1 -611 1 entonces Buscamos ahora las raíces de Para aplicar el Teorema de Gauss Aplicando la Regla de Ruffini Ruffini Gauss Factoreo 8 e 8 e 8 d 8 d 8 c 8 c

32 Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado encontramos las raíces de x 2 = 3 x 3 = 2 Las raíces de Son x 1 = 1; x2 = 2; x3 = 3 Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y que hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con mas comodidad”; de manera que lo recomponemos dividiendo todo el polinomio factoreado por 2 Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas entre las posibles raíces de la forma p/q Factoreo Gauss 8 e 8 e 8 d 8 d 8 c 8 c

33 8 c) Al polinomio Le falta el término independiente Podemos comenzar sacando factor común x Encontramos que la primera raíz x 1 = 0 (si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresión) Buscamos entonces las restantes raíces en a n = 1 y a 0 = -4 p =  1;  2;  4 y q =  1 donde -4 1 1 2 -2 2 1 1-4 1 -6  0 1 No es raíz -4 1 0 -4 40 1 1-4 0 -1 ES es raíz; x 2 = -1 p son divisores de a 0 q son divisores de a n Ruffini Gauss Factoreo 8 e 8 e 8 d 8 d

34 despejamos el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales) Factoreo Buscamos ahora las raíces de entonces x xx x3 = 2y x xx x4 = -2 Conx1 = 0y x2 = -1hallados 8 e 8 e 8 d 8 d

35 Puede factorearse como a = 1; b = 3; c= -7/4 Factoreo Es posible aplicar la fórmula para la ecuación bicuadrática, que no es otra cosa que: a la fórmula de la ecuación de segundo grado Aplicarle nuevamente raíz cuadrada, Aplicarle nuevamente raíz cuadrada, y así 8 d) Si Polinomio de grado cuatro con los términos de grado 3 y 1 nulos 8 e 8 e

36 -5 i 1 i -5 + i 6 - 5i 5 + 6i-1 - 5i 6i 1 -576 -6 0 -i -5 60 1 5i-6i Finalmente Ruffini Factoreo 8 e) Si Sabiendo por la consigna que i es raíz del polinomio Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos raíces conocidas y el polinomio de grado 4 quedará reducido a un polinomio de grado 2

37 Factorear un polinomio es transformar la expresión En otra de tipo Donde los  i son las raíces del polinomiocon 1  i  n Puede suceder que  1 =  2 =  3 entonces diremos que ese valor de  1 es tres veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo  1 es raíz triple de P En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será  1 es raíz doble  3 es raíz triple  2 es raíz doble  4 es raíz simple Raíces múltiples 9999 10

38 9) Para factorear el polinomio x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz doble. Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini -8 2 1 2 -2 2 4-4 1 -46 8 -8 0 2 0 20 1 2 04 Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x = 2 Ahora despejamos x de la expresión resultante Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio Que también se puede escribir Ruffini Factoreo

39 10 a) determinar la multiplicidad de  = 1 en P = (x - 1) 2  (x 2 - 1)  (x 3 - 1) P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1) 2 y (x 2 - 1) son de grado 2 ; y (x 3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7 Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ó ser todas diferentes, etc. Analizamos por separado cada factor(x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) Acá x = 1 es dos veces raíz del polinomio (x 2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1) acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio En x 3 – 1 1 1 1 1 11 0 1 00 1 Resolviendo x 2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes raíces 1 es nuevamente una vez mas raíz del polinomio también x = -1 es raíz del polinomio Ruffini Factoreo 10 b 10 b

40  = 1 es cuatro veces raíz de P; el orden de multiplicidad de  =1 es 4 Resolviendo P = x 2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la ecuación de segundo grado Para a x 2 + b x + c = 0 Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1 P = (x - 1) 2  (x 2 - 1)  (x 3 - 1) es Diferencia de cuadrados Factoreo 10 b 10 b

41 Factoreamos P y obtenemos Con seguridad el factor Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raíz  = 0 en 10 b) Para determinar la multiplicidad de  = 0 en Es k = 3 No tiene raíz Factoreo

42 Relaciones entre Raíces y Coeficientes Dado un polinomio Con raíces  1 ;  2 ;  3 ;....  n-1 ;  n Es posible establecer relaciones entre las raíces  i y los coeficientes a i de P  1 +  2 +  3 +  n-1 +  n =  1   2 +  1   3 +.... +  n-1   n =  1   2   3 +.... +  n-2   n-1   n =  1   2   3       n-2   n-1   n =................................... La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo, dividido por el coeficiente principal La suma de los productos binarios de las raíces es igual al tercer coeficiente, dividido por el coeficiente principal Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n sea par o impar, respectivamente 11a 11b 11c

43 11) a) Sea P = 2 x 3 - 11 x 2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces Por relaciones entre raíces y coeficientes  1   2   3 =  1   2   3       n-2   n-1   n = 3  1   2   3 = 3  1   2 = 11   3 = 33 = 3 -6 2 6 -52 6-15 0 2 -1117 3 peroentonces ahora resolvemos la ecuación x 1 = 2 x 2 = 1/2Factoreando Aplicamos Ruffini con la raíz conocida Te propongo la verificación de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y obtener el polinomio P 11 c 11 c 11 b 11 b

44 11 b i) Dado P = 8 m x 2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m para que las raíces de P sean opuestas Si las raíces de P deben ser opuestas  1 = -  2 Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes  1 +  2 = en nuestro caso  1 +  2 = pero por otro lado, sabemos que  1 +  2 =-  2 +  2 = 0 Entonces podemos escribir  1 +  2 =entonces m  0 y Verificamos para m = 1 Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces 11 c 11 c

45 11 b ii) Dado P = 8 m x 2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m para que las raíces de P sean recíprocas Si las raíces de P deben recíprocas Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes  1   2 = en nuestro caso  1   2 = pero por otro lado, sabemos que  1   2 = Entonces podemos escribir  1   2 = con m  0 y 1 Verificamos para Igualando el polinomio P a 0 y aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado 11 c 11 c

46 P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales  1 =  2 En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado Para que al quedar como soluciones solamentesean  1 =  2 Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado 11 b iii) Dado P = 8 m x 2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m para que las raíces de P sean reales e iguales hacemos 11 c 11 c

47 11 c i) Para hallar las raíces de P = 2 x 3 - x 2 - 18 x + 9 sabiendo que  1 +  2 = 0 Planteamos Pero si  1 +  2 = 0 entonces 9 2 1 0-18 -90 0 2 -18 Buscamos las restantes raíces Entonces  1 = 3 y 2 = - 3 Factoreando Aplicamos Ruffini Podemos escribir Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (a n  0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente principal

48 11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 2 sabiendo que  1 =  2 +  3 Planteamos Pero si  1 =  2 +  3 entonces 2 1 12 -2 0 1 23 Buscamos las restantes raíces Factoreando luego La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i Aplicamos Ruffini

49 Esta función donde se aplican los contenidos aprendidos de Polinomios sirven para resolver expresiones del tipo: Con determinadas restricciones para los c i 12) En sus compras del sábado, Mónica compró 12 naranjas para sus hijos, Graciela, María y Francisco. ¿De cuántas formas se pueden distribuir las 12 naranjas entre los tres hermanos, de manera que Graciela tenga al menos 4 naranjas y María y Francisco al menos 2 naranjas cada uno, pero que Francisco no obtenga mas de cinco? Por ejemplo: Si a la cantidad de naranjas que le correspondió a Graciela, María y Francisco llamamos: c 1, c 2 y c 3 respectivamente, Función generatriz Pero los valores de c 1, c 2 y c 3 pueden variar, de acuerdo a la distribución que se haga.

50 Si c 1 : Graciela - c 2 : María y c 3 : Francisco Graciela debe tener al menos 4 naranjas; María y Francisco deben tener al menos 2 naranjas cada uno, pero Francisco no debe tener mas de 5 naranjas Así las posibles distribuciones son: GMFGMFGMF 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 6 2 4 6 3 3 6 4 2 7 2 3 7 3 2 8 2 2 c 1 + c 2 + c 3 = 12 Observa que las sumas de cada una de las distribuciones da 12 y en todos los casos se verifican las restricciones: Graciela 4 ≤ c 1 María 2 ≤ c 2 Francisco 2 ≤ c 3 ≤ 5 Para resolver esto usando de polinomios, vamos a expresar lo que cada uno de los hijos de Mónica puede recibir mediante un polinomio donde la potencia de la indeterminada expresará la restricción impuesta (x 4 + x5 x5 +x 6 +x 7 +x 8 ) Potencia hasta 8 porque a c 2 y c 3 les corresponderán 2 a cada uno al menos (x 2 + x3 x3 +x 4 +x 5 +x 6 ) Potencia hasta 6 porque a c 1 y c 3 les corresponderán 4 y 2 al menos (x 2 + x3 x3 +x 4 +x 5 ) Potencia de 2 a 5 según la restricción de c 3

51 (x 4 + x 5 +x 6 +x 7 +x 8 ) ∙(x 2 + x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ) ∙(x 2 + x 3 +x 4 +x 5 ) = Así efectuando el producto de los tres polinomios obtenidos: Tendremos 100 términos, = (x 4 x 2 + x 4 x 3 + x 4 x 4 + x 4 x 5 + x 4 x 6 + ∙ (x 2 + x 3 +x 4 +x 5 ) = x 5 x 2 + x 5 x 3 + x 5 x 4 + x 5 x 5 + x 5 x 6 + x 6 x 2 + x 6 x 3 + x 6 x 4 + x 6 x 5 + x 6 x 6 + x 7 x 2 + x 7 x 3 + x 7 x 4 + x 7 x 5 + x 7 x 6 + x 8 x 2 + x 8 x 3 + x 8 x 4 + x 8 x 5 + x 8 x 6 ) (x 4 x 2 x 2 + x 4 x 2 x 3 + x 4 x 2 x 4 + x 4 x 2 x 5 + x 4 x 3 x 2 + x 4 x 3 x 3 + x 4 x 3 x 4 + x 4 x 3 x 5 + x 4 x 4 x 2 + x 4 x 4 x 3 + x 4 x 4 x 4 + x 4 x 4 x 5 + + x 4 x 5 x 2 + x 4 x 5 x 3 + x 4 x 5 x 4 + x 4 x 5 x 5 + x 4 x 6 x 2 + x 4 x 6 x 3 + x 4 x 6 x 4 + x 4 x 6 x 5 + x 5 x 2 x 2 + x 5 x 2 x 3 + x 5 x 2 x 4 + x 5 x 2 x 5 + + x 5 x 3 x 2 + x 5 x 3 x 3 + x 5 x 3 x 4 + x 5 x 3 x 5 + x 5 x 4 x 2 + x 5 x 4 x 3 + x 5 x 4 x 4 + x 5 x 4 x 5 + x 5 x 5 x 2 + x 5 x 5 x 3 + x 5 x 5 x 4 + x 5 x 5 x 5 + + x 5 x 6 x 2 + x 5 x 6 x 3 + x 5 x 6 x 4 + x 5 x 6 x 5 + x 6 x 2 x 2 + x 6 x 2 x 3 + x 6 x 2 x 4 + x 6 x 2 x 5 + x 6 x 3 x 2 + x 6 x 3 x 3 + x 6 x 3 x 4 + x 6 x 3 x 5 + + x 6 x 4 x 2 + x 6 x 4 x 3 + x 6 x 4 x 4 + x 6 x 4 x 5 + x 6 x 5 x 2 + x 6 x 5 x 3 + x 6 x 5 x 4 + x 6 x 5 x 5 + x 6 x 6 x 2 + x 6 x 6 x 3 + x 6 x 6 x 4 + x 6 x 6 x 5 + + x 7 x 2 x 2 + x 7 x 2 x 3 + x 7 x 2 x 4 + x 7 x 2 x 5 + x 7 x 3 x 2 + x 7 x 3 x 3 + x 7 x 3 x 4 + x 7 x 3 x 5 + x 7 x 4 x 2 + x 7 x 4 x 3 + x 7 x 4 x 4 + x 7 x 4 x 5 + + x 7 x 5 x 2 + x 7 x 5 x 3 + x 7 x 5 x 4 + x 7 x 5 x 5 + x 7 x 6 x 2 + x 7 x 6 x 3 + x 7 x 6 x 4 + x 7 x 6 x 5 + x 8 x 2 x 2 + x 8 x 2 x 3 + x 8 x 2 x 4 + x 8 x 2 x 5 + + x 8 x 3 x 2 + x 8 x 3 x 3 + x 8 x 3 x 4 + x 8 x 3 x 5 + x 8 x 4 x 2 + x 8 x 4 x 3 + x 8 x 4 x 4 + x 8 x 4 x 5 + x 8 x 5 x 2 + x 8 x 5 x 3 + x 8 x 5 x 4 + x 8 x 5 x 5 + + x 8 x 6 x 2 + x 8 x 6 x 3 + x 8 x 6 x 4 + x 8 x 6 x 5 = te sugiero que revises esta operación en forma exhaustiva

52 (x 4 x 2 x 2 + x 4 x 2 x 3 + x 4 x 2 x 4 + x 4 x 2 x 5 + x 4 x 3 x 2 + x 4 x 3 x 3 + x 4 x 3 x 4 + x 4 x 3 x 5 + x 4 x 4 x 2 + + x 4 x 6 x 5 + x 5 x 2 x 2 + x 5 x 2 x 3 + x 5 x 2 x 4 + x 5 x 2 x 5 + x 5 x 4 x 3 + x 5 x 4 x 4 + x 5 x 4 x 5 + x 5 x 5 x 2 + x 5 x 5 x 3 + x 5 x 5 x 4 + x 5 x 5 x 5 + x 6 x 2 x 3 + x 6 x 2 x 4 + x 6 x 2 x 5 + x 6 x 3 x 2 + x 6 x 3 x 3 + x 6 x 3 x 4 + x 6 x 3 x 5 + + x 6 x 5 x 3 + x 6 x 5 x 4 + x 6 x 5 x 5 + x 6 x 6 x 2 + x 6 x 6 x 3 + x 6 x 6 x 4 + x 6 x 6 x 5 + + x 7 x 3 x 3 + x 7 x 3 x 4 + x 7 x 3 x 5 + x 7 x 4 x 2 + x 7 x 4 x 3 + x 7 x 4 x 4 + x 7 x 4 x 5 + + x 7 x 6 x 3 + x 7 x 6 x 4 + x 7 x 6 x 5 + x 8 x 2 x 2 + x 8 x 2 x 3 + x 8 x 2 x 4 + x 8 x 2 x 5 + + x 8 x 4 x 3 + x 8 x 4 x 4 + x 8 x 4 x 5 + x 8 x 5 x 2 + x 8 x 5 x 3 + x 8 x 5 x 4 + x 8 x 5 x 5 + x 8 x 6 x 2 + x 8 x 6 x 3 + x 8 x 6 x 4 + x 8 x 6 x 5 = transcribimos los cálculos auxiliares: + x 4 x 4 x 4 + x 4 x 4 x 5 + x 4 x 5 x 2 + x 4 x 5 x 3 + x 4 x 5 x 4 + x 4 x 5 x 5 + x 4 x 6 x 2 + x 4 x 6 x 3 + + x 5 x 3 x 2 + x 5 x 3 x 3 + x 5 x 3 x 4 + + x 5 x 6 x 2 + x 5 x 6 x 3 + x 5 x 6 x 4 + x 6 x 4 x 2 + x 6 x 4 x 3 + x 6 x 4 x 4 + x 7 x 2 x 2 + x 7 x 2 x 3 + x 7 x 2 x 4 + x 7 x 5 x 2 + x 7 x 5 x 3 + x 7 x 5 x 4 + x 8 x 3 x 2 + x 8 x 3 x 3 + x 8 x 3 x 4 + + x 4 x 4 x 3 + x 4 x 6 x 4 + x 5 x 3 x 5 + x 5 x 4 x 2 + x 5 x 6 x 5 + x 6 x 2 x 2 + x 6 x 4 x 5 + x 6 x 5 x 2 + x 7 x 2 x 5 + x 7 x 3 x 2 + x 7 x 5 x 5 + x 7 x 6 x 2 + x 8 x 3 x 5 + x 8 x 4 x 2 + = x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 12 + x 13 + + x 14 + x 15 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 +x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 13 +x 14 + x 15 + x 16 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 12 + x 13 + x 14 x 15 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 15 + x 16 + x 17 + x 18 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 14 + x 15 + + x 16 + x 17 + x 15 + x 16 + x 17 + x 18 + x 16 + x 17 + x 18 + x 19 = x 8 + 3x 9 + 6x 10 + 10 x 11 + 14 x 12 + 16x 13 + 16x 14 + 14x 15 + 10x 16 + 6x 17 + 3x 18 + x 19

53 (x 4 x 2 x 2 + x 4 x 2 x 3 + x 4 x 2 x 4 + x 4 x 2 x 5 + x 4 x 3 x 2 + x 4 x 3 x 3 + x 4 x 3 x 4 + x 4 x 3 x 5 + x 4 x 4 x 2 + + x 4 x 6 x 5 + x 5 x 2 x 2 + x 5 x 2 x 3 + x 5 x 2 x 4 + x 5 x 2 x 5 + x 5 x 4 x 3 + x 5 x 4 x 4 + x 5 x 4 x 5 + x 5 x 5 x 2 + x 5 x 5 x 3 + x 5 x 5 x 4 + x 5 x 5 x 5 + x 6 x 2 x 3 + x 6 x 2 x 4 + x 6 x 2 x 5 + x 6 x 3 x 2 + x 6 x 3 x 3 + x 6 x 3 x 4 + x 6 x 3 x 5 + + x 6 x 5 x 3 + x 6 x 5 x 4 + x 6 x 5 x 5 + x 6 x 6 x 2 + x 6 x 6 x 3 + x 6 x 6 x 4 + x 6 x 6 x 5 + + x 7 x 3 x 3 + x 7 x 3 x 4 + x 7 x 3 x 5 + x 7 x 4 x 2 + x 7 x 4 x 3 + x 7 x 4 x 4 + x 7 x 4 x 5 + + x 7 x 6 x 3 + x 7 x 6 x 4 + x 7 x 6 x 5 + x 8 x 2 x 2 + x 8 x 2 x 3 + x 8 x 2 x 4 + x 8 x 2 x 5 + + x 8 x 4 x 3 + x 8 x 4 x 4 + x 8 x 4 x 5 + x 8 x 5 x 2 + x 8 x 5 x 3 + x 8 x 5 x 4 + x 8 x 5 x 5 + x 8 x 6 x 2 + x 8 x 6 x 3 + x 8 x 6 x 4 + x 8 x 6 x 5 = transcribimos los cálculos auxiliares: + x 4 x 4 x 4 + x 4 x 4 x 5 + x 4 x 5 x 2 + x 4 x 5 x 3 + x 4 x 5 x 4 + x 4 x 5 x 5 + x 4 x 6 x 2 + x 4 x 6 x 3 + + x 5 x 3 x 2 + x 5 x 3 x 3 + x 5 x 3 x 4 + + x 5 x 6 x 2 + x 5 x 6 x 3 + x 5 x 6 x 4 + x 6 x 4 x 2 + x 6 x 4 x 3 + x 6 x 4 x 4 + x 7 x 2 x 2 + x 7 x 2 x 3 + x 7 x 2 x 4 + x 7 x 5 x 2 + x 7 x 5 x 3 + x 7 x 5 x 4 + x 8 x 3 x 2 + x 8 x 3 x 3 + x 8 x 3 x 4 + + x 4 x 4 x 3 + x 4 x 6 x 4 + x 5 x 3 x 5 + x 5 x 4 x 2 + x 5 x 6 x 5 + x 6 x 2 x 2 + x 6 x 4 x 5 + x 6 x 5 x 2 + x 7 x 2 x 5 + x 7 x 3 x 2 + x 7 x 5 x 5 + x 7 x 6 x 2 + x 8 x 3 x 5 + x 8 x 4 x 2 + = x 8 + 3x 9 + 6x 10 + 10 x 11 + 14 x 12 + 16x 13 + 16x 14 + 14x 15 + 10x 16 + 6x 17 + 3x 18 + x 19 GMFGMFGMF 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 6 2 4 6 3 3 6 4 2 7 2 3 7 3 2 8 2 2 El coeficiente del término de grado 12 es la cantidad de formas de distribuir las naranjas, porque cada término de grado 12 del producto representa una de las formas previamente vista en la tabla Son 14 formas posibles de distribuir según las condiciones impuestas

54 CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) - El príncipe de las matemáticas...cuando el famoso viajero y aficionado a las ciencias Alexander Von Humboldt preguntó a Laplace quién era el matemático más grande de Alemania, Laplace replicó Plaff. "Y entonces Gauss, ¿que?", preguntó asombrado Von Humboldt. "Oh, - dijo Laplace-, Gauss es el mayor matemático del mundo." Junto a Arquímedes y Newton, Gauss es sin dudas uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportes en todos los campos de la matemática fueron increíbles, aunque algunos de ellos tuvieron que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente. Nacido en Brunswic, el 30 de abril de 1777, de familia humilde. Su padre se opuso a que su hijo tuviera una educación adecuada a sus capacidades, sin embargo, su madre y el hermano de ésta, fueron fundamentales en la educación y posterior carrera del genio. Tan grande fue el cariño que Gauss sintió por su madre que se ocupó personalmente de ella es sus últimos 20 años de vida, despreocupándose de su fama y su carrera. En febrero de 1792 ingresó al colegio Carolino, donde estudió durante tres años, y ahí conoció la obra de Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia de Newton. Cuando dejó el colegio, en octubre de 1795, aún no había decidido si se dedicaría a las matemáticas o a la filología. Se casó dos veces, la primera con Johanna Ostoff y de su feliz matrimonio (así dice en una carta dirigida a su amigo Wolfgang Bolyai), nacieron tres hijos, el primero de los cuales heredó la capacidad de su padre para los cálculos mentales; pero 4 años después, con el nacimiento de su hijo Luis, su esposa murió. Al año se volvió a casar con Minna Waldeck, amiga íntima de su primera mujer, con la que tuvo dos hijos y una hija. En 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen con la única obligación de dar cursos de matemáticas a los estudiantes de la universidad. La enseñanza no era una tarea que le agradara a Gauss, solo con buenos matemáticos se sentía cómodo impartiendo lecciones. En esa época soportó la presión de los invasores franceses y pagó la contribución involuntaria de 2000 francos a la caja de guerra de Napoleón (su orgullo no le permitió aceptar algunas donaciones para poder pagar esa multa).

55 Nunca ocupó cargos políticos. Tenía como hobbies la lectura de la literatura europea y clásica, el interés crítico por la política mundial, el dominio de lenguas extranjeras y de nuevas ciencias como la botánica y la mineralogía. Desde 1821 hasta 1848 trabajó en Geodesia. Entre 1830 y 1840 se dedicó a la física matemática, concretamente electromagnetismo, pudo demostrar que el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Los últimos años de su vida, entre 1841 y 1855, los dedicó al "análisis situs" y a la geometría asociada a funciones de variable compleja. A principios de 1855 comenzaron a aparecer los síntomas de su última enfermedad. Con dificultades, siguió trabajando hasta que murió pacíficamente el 23 de febrero de 1855. Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección. Su primer aporte a las matemáticas fue la construcción del polígono regular de 17 lados con regla y compás y encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. A los 24 años publicó su primera gran obra "Disquisitiones Arithmeticae", para la teoría de los números esta obra es comparada a la de Euclides para la geometría. Organizó lo existente sobre números enteros, y aportó ideas propias. Aportó a la teoría de números complejos, después que en el Renacimiento se asignaran a estos números propiedades místicas y descripciones caprichosas, Gauss fue más práctico y los representó geométricamente mediante puntos en el plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros.

56 Vamos ! ! ! Que falta menos ! ! ! Vamos ! ! ! Que falta menos ! ! ! Lo esencial es invisible a los ojos A. De Saint Exupery Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto. Leonardo Da Vinci. Uno es el Sol, uno el Mundo, sola y única es la Luna ansí han de saber que Dios no crió cantidá ninguna; el ser de todos los seres solo formó la unidá; lo demás lo ha criado el hombre después que aprendió a contar. J. Hernández (Martín Fierro)